Đề I Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau : a) + 27 300 1 + ữ: x x ( x 1) x x b) Bài (1,5 điểm) a) Giải phơng trình: x2 + 3x = b) Giải hệ phơng trình: 3x 2y = 2x + y = Bài (1,5 điểm) Cho hàm số : y = (2m 1)x + m + với m tham số m # Hãy xác định m trờng hơp sau : a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 ) b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt A , B cho tam giác OAB cân Bài (2,0 điểm): Giải toán sau cách lập phơng trình hệ phơng trình: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau chuyển động ngợc dòng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km vận tốc dòng nớc Km/h Tính vận tốc thực ca nô (( Vận tốc ca nô nớc đứng yên ) Bài (3,0 điểm) Cho điểm M nằm đờng tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B hai tiếp điểm) a) Chứng minh MAOB tứ giác nội tiếp b) Tính diện tích tam giác AMB cho OM = 5cm R = cm c) Kẻ tia Mx nằm góc AMO cắt đờng tròn (O;R) hai điểm C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AB OM Chứng minh EA tia phân giác góc CED Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đáp án Bài 1: a) A = Bài : a) x1 = ; x2 = -4 b) 3x 2y = x b) B = + 2x + y = 3x 2y = 7x = 14 x=2 4x + 2y = 2x + y = y=1 Bài : a) Vì đồ thị hàm số qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số : y = (2m 1)x + m + (1) Thay x = -1 ; y = vào (1) ta có: = -(2m -1 ) + m + = 2m + m + = m m = Vậy với m = Thì ĐT HS : y = (2m 1)x + m + qua điểm M ( -1; 1) c) ĐTHS cắt trục tung A => x = ; y = m+1 => A ( ; m+1) => OA = m + cắt truc hoành B => y = ; x = m m m => B ( ; ) => OB = 2m 2m 2m Tam giác OAB cân => OA = OB m + = m Giải PT ta có : m = ; m = -1 2m Bài 4: Gọi vận tốc thực ca nô x ( km/h) ( x>5) Vận tốc xuôi dòng ca nô x + (km/h) Vận tốc ngợc dòng ca nô x - (km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng : 60 ( giờ) x+5 Thời gian ca nô xuôi dòng : 60 ( giờ) x5 Theo ta có PT: 60 60 + =5 x+5 x5 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 25) x2 120 x 125 = x1 = -1 ( không TMĐK) x2 = 25 ( TMĐK) Vậy vân tốc thực ca nô 25 km/h Bài 5: A D C E M O B a) Ta có: MA AO ; MB BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau) ã ã => MAO = MBO = 900 0 ã ã Tứ giác MAOB có : MAO + MBO = 90 + 90 = 180 => Tứ giác MAOB nội tiếp đờng tròn b) áp dụng ĐL Pi ta go vào MAO vuông A có: MO2 = MA2 + AO2 MA2 = MO2 AO2 MA2 = 52 32 = 16 => MA = ( cm) Vì MA;MB tiếp tuyến cắt => MA = MB => MAB cân A MO phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO đờng trung trực => MO AB Xét AMO vuông A có MO AB ta có: AO2 = MO EO ( HTL vuông) => EO = => ME = - AO = (cm) MO 16 = (cm) 5 áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông E ta có:AO2 = AE2 +EO2 AE2 = AO2 EO2 = - 81 144 12 = = 25 25 12 ( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE MO đờng trung trực AB) 24 1 16 24 192 AB = (cm) => SMAB = ME AB = = (cm2) 2 5 25 c) Xét AMO vuông A có MO AB áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông AMO AE = ta có: MA2 = ME MO (1) ã mà : ãADC = MAC = Sđ ằAC ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung) MA MD = => MA2 = MC MD (2) MC MA MD ME = Từ (1) (2) => MC MD = ME MO => MO MC MD ME ã ã ả chung; = ) => MEC ( góc tứng) ( 3) MCE : MDO ( c.g.c) ( M = MDO MO MC OA OM Tơng tự: OAE : OMA (g.g) => = OE OA OA OM OD OM = => = = ( OD = OA = R) OE OA OE OD chong ; OD = OM ) => OED ã ã Ta có: DOE : MOD ( c.g.c) ( O ( góc t ứng) (4) = ODM OE OD ã ã ã Từ (3) (4) => OED mà : ãAEC + MEC =900 = MEC ãAED + OED ã =900 ã => ãAEC = ãAED => EA phân giác DEC MAC : DAM (g.g) => II phần a: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm) Từ câu đến câu 8, chọn phơng án viết chữ đứng trớc phơng án vào làm Câu 1: Biểu thức có nghĩa khi: 2x A x B x > C x < D x = Câu 2: Đờng thẳng qua điểm A(1;2) song song với đờng thẳng y = 4x - có phơng trình là: A y = - 4x + B y = - 4x - C y = 4x + D y = 4x - Câu 3: Gọi S P lần lợt tổng tích hai nghiêm phơng trình x2 + 6x - = Khi đó: A S = - 6; P = B S = 6; P = C S = 6; P = - D S = - ; P = - x + y = có nghiệm là: x y = x = x = B C y =1 y = Câu 4: Hệ phơng trình x = y =1 A x = y = D Câu 5: Một đờng tròn qua ba đỉnh tam giác có độ dài ba cạnh lần lợt 3cm, 4cm, 5cm đờng kính đờng tròn là: A cm B 5cm C cm D 2cm Câu 6: Trong tam giác ABC vuông A có AC = 3, AB = 3 tgB có giá trị là: A B C D Câu 7: Một nặt cầu có diện tích 3600 cm2 bán kính mặt cầu là: A 900cm B 30cm C 60cm D 200cm Câu 8: Cho đờng tròn tâm O có bán kính R (hình vẽ bên) Biết ã COD = 1200 diện tích hình quạt OCmD là: m R A R2 B R C R2 D D 1200 O C phần b: tự luận (8,0 điểm) Bài 1: (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 27 12 b) Giải phơng trình : 2(x - 1) = Bài 2: (1,5 điểm) Cho hàm số bậc y = mx + (1) a) Vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox trục Oy lần lợt A B cho tam giác AOB cân Bài 3: (1,0 điểm) Một đội xe cần chở 480 hàng Khi khởi hành đội đợc điều thêm xe nên xe chở dự định Hỏi lúc đầu đội xe có chiếc? Biết xe chở nh Bài 4: (3,0 điểm) E Cho A điểm đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi B điểm đối D P xứng với O qua A Kẻ đờng thẳng d M qua B cắt đờng tròn (O) C D ( d Q F C không qua O, BC < BD) Các tiếp tuyến đờng tròn (O) C D cắt E Gọi M giao điểm OE B A O H CD Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB) Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, H, M, E thuộc đờng tròn b) OM.OE = R2 c) H trung điểm OA Lời giải: Gọi giao BO với đờng tròn N, Giao NE với (O) P, giao AE với (O) Q, giao EH với AP F Ta có góc ãAPN = 900 góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn suy F trực tâm tam giác AEN suy NF vuông góc với AE Mặt khác NQ AE suy NQ NF trùng Suy ba điểm N, F, Q thẳng hàng Mặt khác ta có: góc QEF = góc FNH, góc AEF = góc ABF (góc nội tiếp chắn cung AF) Do góc FBH = góc FNH suy tam giác BNF cân F, suy BH = HN, mà AB = ON AH = HO Hay H trung điểm AO Bài 5: (1, điểm) Cho hai số a,b khác thoả mãn 2a2 + b2 + = 4(1) a2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ab + 2009 Lời giải: Ta có (1) tơng đơng với; (a-1/a)2+(a+b/2)2 ab =0 Suy ra: ab = (a-1/a)2+(a+b/2)2 -2 (vì (a-1/a)2+(a+b/2)2 0) Dấu = xảy (a=1;b=2) (a=-1;b=-2) Suy minS = -2 + 2009 =2007 (a=1;b=2) (a=-1;b=-2) ===Hết=== N Bi ( im ) a/ Gii phng trỡnh: 2x2 3x = x + y = b/ Gii h phng trỡnh: x y = Bi ( im) Cho hm s y = x cú th l parabol (P) v hm s y = x + m cú th l ng thng (D) a/ V parabol (P) b/ Tỡm giỏ tr ca m (D) ct (P) ti hai im phõn bit Bi (2,5 im) (3 + x ) ( x ) M= 2 ( x 0) 1+ x b/ Tỡm giỏ tr ca k phng trỡnh x2 (5 + k)x + k = cú hai nghim x1 , x2 tho iu kin x12 + x22 = 18 a/ Rỳt gn biu thc : Bi ( im) Cho na ng trũn tõm O cú ng kớnh AB = 2R Ax, By l cỏc tia vuụng gúc vi AB ( Ax, By v na ng trũn thuc cựng mt na mt phng cú b l ng thng AB) Qua im M thay i trờn na ng trũn ( M khỏc A, B), k tip tuyn vi na ng trũn ln lt ct Ax, By ti C v D a/ Chng minh t giỏc ACMO ni tip 1 + = b/ Chng minh OC vuụng gúc vi OD v 2 OC OD R c/ Xỏc nh v trớ ca M ( AC + BD ) t giỏ tr nh nht Bi ( 0,5 im) Cho a + b , 2a v x l cỏc s nguyờn Chng minh y = ax2 + bx + 2009 nhn giỏ tr nguyờn - HT Hng dn: Bi 4: ã ã a Xột t giỏc ACMO cú CAO = CMO = 900 => T giỏc ACMO ni tip b Vỡ AC v CM l tip tuyn ca (O) =>OC l tia phõn giỏc ca gúc AOM (t/c) Tng t DM v BD cng l tip tuyn ca (O) => OD l tia phõn giỏc ca gúc BOM (t/c) ã Mt khỏc ãAOM k bự vi BOM => CO OD * Ta cú COD vuụng ti O v OM l ng cao => theo h thc lng tam giỏc vuụng ta 1 1 + = = c 2 OC OD OM R c Vỡ Ax, By, CD l cỏc tip tuyn ct ti C v D nờn ta cú CA = CM , MD = DB => AC + BD = CM + MD = CD AC + BD nh nht thỡ CD nh nht M C, D thuc hai ng thng // => CD nh nht CD Ax v By => M l im chớnh gia cung AB Bi 5: Vỡ a+b, 2a Z => 2(a+b) 2a Z => 2b Z Do x Z nờn ta cú hai trng hp: * Nu x chn => x = 2m (m Z) => y = a.4m2 + 2m.b +2009 = (2a).2m2 +(2b).m +2009 Z * Nu x l => x = 2n +1 (nZ) => y = a(2n+1)2 + b(2n+1) +2009 = (2a).(2m2 + 2m) + (2b)m + (a + b) + 2009 Z Vy y = ax2 + bx +2009 nhn giỏ tr nguyờn vi k u bi Bi ( im ) a + Cho biu thc K = ữ: ữ a a a a +1 a a) Rỳt gn biu thc K b) Tớnh giỏ tr ca K a = + 2 c) Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho K < mx y = Bi ( im ) Cho h phng trỡnh: x y = 334 a) Gii h phng trỡnh cho m = b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh vụ nghim Bi ( 3,5 im ) Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, im I nm gia A v O cho AI = AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I Gi C l im tựy ý thuc cung ln MN cho C khụng trựng vi M, N v B Ni AC ct MN ti E a) Chng minh t giỏc IECB ni tip c mt ng trũn b) Chng minh AME ACM v AM2 = AE.AC c) Chng minh AE.AC - AI.IB = AI2 d) Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht Bi ( 1,5 im ) Ngi ta rút y nc vo mt chic ly hỡnh nún thỡ c cm Sau ú ngi ta rút nc t ly chiu cao mc nc ch cũn li mt na Hóy tớnh th tớch lng nc cũn li ly P N Bi a) iu kin a > v a (0,25) a K = + ữ: ữ a ( a 1) a + ( a + 1)( a 1) a a a +1 : a ( a 1) ( a + 1)( a 1) a a = ( a 1) = a ( a 1) a b) a = + 2 = (1 + )2 a = + + 2 2(1 + 2) K= = =2 1+ 1+ c) a < a K < = > x + 3y = + y = y =1 Giải hệ phơng trình: Vởy hệ phơng trình có nghiệm Câu II: (2,0đ) 1.Giải phơng trình x2-2x+1=0 phơng trình có nghiệm képt x1=x2=1 Hàm số y=2009x+2010 đồng biến bến R.vì a=2009>0 Câu III: (1,0đ) Hai số nghiệm phơng trình X2-7X-12=0 Câu IV(1,5đ) Goị vận tốc ôtô tải x (km/h) đk x>0 vận tốc ôtô khách x+10 (km/h) theo đề ta có phơng trình 180 180 = x x + 10 Giải phơng trình ta có x1=50(tm) x2=-60(loại) Câu V:(3,0đ) Câu VI:(0,5đ) xyz= 16 16 =>x+y+z= x+ y+z xyz P=(x+y)(x+z)=x2+xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x 16 16 16 yz = (bđt cosi) +yz= + yz xyz yz yz Vây GTNN P=8 10 Câu I: (2,0 điểm) 26 27 Tính + Cho hàm số y=x-1.Tại x=4 y có giá trị bao nhiêu? Câu II: (1,0 điểm) x + y = x y = Giải hệ phơng trình Câu III: (1,0đ) x + x x x + 1ữ 1ữ ữ ữ với x 0; x x + x Rút gọn biểu thức A= Câu IV(2,5 điểm) Cho phơng trình x2+2x-m=0 (1) (ẩn x,tham số m) 1.Giải phơng trình (1) với m=3 2.Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm Câu V:(3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB cố định.Điểm H thuộc đoạn thẳng OA (H khác O,A H không trung điểm OA).Kẻ MN vuông góc với AB H.Gọi K điểm cung lớn MN(K khác M,N B).Các đoạn thẳng AK MN cắt E 1/Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp đợc đờng tròn 2/Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM 3/Cho điểm H cố định xác định vị trí điểm K cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác KME nhỏ Câu VI(0,5 điểm) Tìm số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0 Hết -Họ tên thí sinh .SBD: Gợi ý đáp án Câu I: (2,0đ) 27 28 Tính + =3+2 = Tại x=4 hàm số y=x-1=4-1=3 Vậy x=4 giá trị hàm số y=3 Câu II: (1,0 điểm) x + y = x y = Giải hệ phơng trình x = x = + y = y =1 Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x;y) = (4;1) Câu III: (1,0đ) x + x x x + 1ữ 1ữ ữ ữ với x 0; x x + x A= x + x x x x ( x + 1) x ( x 1) + 1ữ 1ữ + 1ữ 1ữ ữ ữ= ữ ữ = ( x + 1)( x 1) = x x +1 x x + x A= Câu IV(2,5 điểm) Phơng trình x2+2x-m=0 (1) (ẩn x,tham số m) 1.Khi m=3 phơng trình (1) có dạng x2+2x-3=0 Ta có a+b+c=1+2-3=0 theo định lý Viet phơng trình có hai nghiệm x1=1;x2=-3 2.Ta có: =22-4.1.(-m)=4+4m Để phơng trình có nghiệm 4+4m 4m -4 m -1 Vậy để phơng trình có nghiệm m -1 Câu V:(3,0đ) 3/Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác KME M Ta có ãAME = ãABM nên ta chứng minh đợc AM tiếp tuyến dờng tròn (O') M O' (tham khảo chứng minh 30 (SGK toán tập trang 79) O E A Từ suy O' thuộc MB H Vậy khoảng cách từ N đến O' nhỏ NO' vuông góc với MB Từ tìm đợc vị trí điểm K: Từ N kẻ NO' vuông góc với MB Vẽ (O', O'M) N cắt đờng tròn tâm O K Câu VI(0,5 điểm) Tìm số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0 K B C1: Đa phơng trình bậc hai ẩn x: (y2 - 1)x2 - yx - y2 = C2: Đa phơng trình ớc số: x + xy + y = x y x + xy + y = x y + xy ( x + y ) = ( xy + 1) 2 ( x + y ) ( xy + 1) = 2 KQ: (0; 0); (1; -1) (-1; 1) 28 29 11 Câu I: (2,0đ) 29 30 Tính 25 x = x + 3y = Giải hệ phơng trình: Câu II: (2,0đ) 1.Giải phơng trình x2-2x+1=0 Hàm số y=2009x+2010 đồng biến hay nghịch biến R? Vì sao? Câu III: (1,0đ) Lập phơng trình bậc hai nhận hai số nghiệm? Câu IV(1,5đ) Một ôtô khách ôtô tải xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B đờng dài 180 km vận tốc ôtô khách lớn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút.Tính vận tốc ôtô Biết trình từ A đến B vận tốc ôtô không đổi Câu V:(3,0đ) 1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao BH CK tam giác ABC cắt điểm I Kẻ đờng kính AD đờng tròn tâm O, đoạn thẳng DI BC cắt M.Chứng minh a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc đờng tròn b/OM BC 2/Cho tam giác ABC vuông A,các đờng phân giác goác B góc C cắt cạnh AC AB lần lợt D E Gọi H giao điểm BD CE, biết AD=2cm, DC= cm tính độ dài đoạn thẳng HB Câu VI:(0,5đ) Cho số dơng x, y, z thỏa mãn xyz - 16 =0 x+ y+z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x+y)(x+z) Hết -Họ tên thí sinh .SBD: Câu I: (2,0đ) đáp án: 30 31 Tính 25 = 2.5 = 10 x = x = x = < = > < = > x + 3y = + y = y =1 Giải hệ phơng trình: Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x;y) = (2;1) Câu II: (2,0đ) x2 - 2x +1 = (x -1)2 = x -1 = x = Vậy PT có nghiệm x = Hàm số hàm số đồng biến vì: Hàm số hàm bậc có hệ số a = 2009 > Hoặc x1>x2 f(x1) > f(x2) Câu III: (1,0đ) Lập phơng trình bậc hai nhận hai số nghiệm? Giả sử có hai số thực: x1 = 3; x2 = Xét S = x1 + x2 = + = 7; P = x1 x2 = 3.4 = 12 =>S2 - 4P = 72 - 4.12 = > Vậy x1; x2 hai nghiệm phơng trình: x2 - 7x +12 = Câu IV(1,5đ) Đổi 36 phút = h 10 Gọi vận tốc ô tô khách x ( x >10; km/h) Vận tốc ôtô tải x - 10 (km/h) 180 (h) x 180 Thời gian xe tải hết quãng đờng AB là: (h) x 10 Thời gian xe khách hết quãng đờng AB là: Vì ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT: 180 180 = x 10 10 x 180.10 x x( x 10) = 180.10( x 10) x 10 x 3000 = ' = + 3000 = 3025 ' = 3025 = 55 x1 = +55 = 60 ( TMĐK) x2 = - 55 = - 50 ( không TMĐK) Vậy vận tốc xe khách 60km/h, vận tốc xe tải 60 - 10 = 50km/h Câu V:(3,0đ) 1/ A K a) AHI vuông H (vì CA HB) B AHI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI I AKI vuông H (vì CK AB) H O M AKI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đờng tròn đờng kính AI D b) C 31 32 Ta có CA HB( Gt) CA DC( góc ACD chắn nửa đờng tròn) => BH//CD hay BI//CD (1) Ta có AB CK( Gt) AB DB( góc ABD chắn nửa đờng tròn) => CK//BD hay CI//BD (2) Từ (1) (2) ta có Tứ giác BDCI hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song) Mà DI cắt CB M nên ta có MB = MC => OM BC( đờng kính qua trung điểm dây vuông góc với dây đó) 2/ Cách 1: B Vì BD tia phân giác góc B tam giác ABC; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: AD AB AB E H = = BC = AB DC BC BC Vì ABC vuông A mà BC = 2AB nên A C D ^ACB = 30 ; ^ABC = 60 Vì ^B1 = ^B2(BD phân giác) nên ^ABD = 30 Vì ABD vuông A mà ^ABD = 300 nên BD = 2AD = = 4cm => AB = BD AD = 16 = 12 Vì ABC vuông A => BC = AC + AB = 36 + 12 = Vì CH tia phân giác góc C tam giác CBD; nên áp dụng tính chất đờng phân giác 0 DC DH DH = = BH = 3DH BC HB HB 3BH + 3HD = BH + HD = BH (1 + ) = Ta có: BH = HD BH = HD 4 ( 1) BH = = = ( 1) Vậy BH = ( 1)cm (1 + ) ta có: Cách 2: BD phân giác => AD AB AB AB 2 = = ữ = DC BC BC AB + AC 4 AB = 4( AB + 36) = 16 AB AB = 4.36 16 AB + 36 Câu VI:(0,5đ) Cách 1:Vì xyz - 16 = => xyz(x+y+z) = 16 x+ y+z P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dơng x(x+y+z) yz ta có P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz xyz ( x + y + z ) = 16 = ; dấu đẳng thức xẩy x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ P Cách 2: xyz= 16 16 =>x+y+z= x+ y+z xyz P=(x+y)(x+z)=x2+xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x 16 16 16 yz = (bđt cosi) +yz= + yz xyz yz yz Vây GTNN P=8 12 A/ Phần trắc nghiệm (Từ câu đến câu 2) Chọn két ghi vào làm 32 33 Câu 1: (0,75 điểm) Đờng thẳng x 2y = song song với đờng thẳng: 2 B y = x + A y = 2x + C y = x D y = x Câu 2: (0,75 điểm) Khi x < x A bằng: x2 x B x C D.-1 B/ Phần Tựu luận (Từ câu đến câu 7) Câu 3: (2 điểm) Cho biểu thức: A = 2x x + 11x x + 3 x x2 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Câu 4: (1,5 điểm) Hai giá sách có chứa 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tính số sách lúc đầu giá sách Câu 5: (1,5 điểm) Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - = (1) (m tham số) a/ Giải phơng trình (1) với m = b/ Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 + = x1 x2 Câu 6: (3,0 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đờng tròn vẽ tuyếp tuyến thứ hai MC(C tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đờng thẳng MB cắt đờng tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: a/ Tứ giác AMQI nội tiếp b/ ãAQI = ãACO c/ CN = NH Câu 7: (0,5 điểm) Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ABC, a độ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng: 1 + = 2 R r a 13 Bi 1(2,0 im): 33 34 1- Cho hm s y =1 + x a) Tỡm cỏc giỏ tr ca y khi: x = ; x = b) V th ca hm s trờn mt phng to 2- Khụng dựng mỏy tớnh cm tay: a) Gii phng trỡnh: x + x = x + y = b) Gii h phng trỡnh: 3x y = Bi 2(2,0 im): Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh: Tỡm hai s cú tng bng v tớch bng x xy + y x y + y x Bi 3(2,0 im): Cho: M = x y xy 1- Tỡm iu kin M cú ngha 2- Rỳt gn M (vi iu kin M cú ngha) 3- Cho N = y y Tỡm tt c cỏc cp s ( x; y ) M = N Bi 4(3,0 im): di cỏc cnh ca mt tam giỏc ABC vuụng ti A, tho cỏc h thc sau: AB = x , AC = x + , BC = x + 1- Tớnh di cỏc cnh v chiu cao AH ca tam giỏc 2- Tam giỏc ABC ni tip c na hỡnh trũn tõm O Tớnh din tớch ca phn thuc na hỡnh trũn nhng ngoi tam giỏc 3- Cho tam giỏc ABC quay mt vũng quanh cnh huyn BC Tớnh t s din tớch gia cỏc phn cỏc dõy cung AB v AC to Bi 5(1,0 im): Tớnh P = x + y v Q = x 2009 + y 2009 Bit rng: x > , y > , + x + y = x + xy + y Ht -HNG DN CHM im Ni dung Bi 1(2,0 im): 1- Cho hm s y = + x a) Tỡm cỏc giỏ tr ca y khi: x = ; x = b) V th ca hm s trờn mt phng to 2- Khụng dựng mỏy tớnh cm tay: a) Gii phng trỡnh: x + x = x + y = (1) x y = (2) b) Gii h phng trỡnh: 0,25 0,25 0,25 1-(1,0 ) a) (0,5 ) * Khi x = 0, ta cú y = 1+ = hay y = * Khi x = -1, ta cú y = 1-1 = hay y = b) (0,5 ) * Xỏc nh hai im (0; 1) v (-1; 0) trờn y y = 1+ x -1 x 34 35 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 mt phng to * th hm s y = + x (hỡnh v) 2-(1,0 ) a) (0,5 ) * Vỡ a + b + c = 1+1+(-2) = 1+ 1-2 = * Phng trỡnh ó cho cú hai nghim: x = 1, x = -2 b) (0,5 ) * Ly (1) + (2), ta cú x = x = * Thay x =1 vo x + y = ta cú + y = y =1 x = y = Nghim ca h phng trỡnh ó cho l : 0,25 0,25 0,25 Bi 2(2,0 im): Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh: Tỡm hai s cú tng bng v tớch bng * Gi hai s phi tỡm l x v y * Vỡ tng ca hai s bng 5, nờn ta cú x + y = * Vỡ tớch hai s bng 6, nờn ta cú: xy = 0,25 * Ta cú h phng trỡnh: 0,25 0,25 0,25 0,25 x + y = xy = * Cỏc s x v y l nghim ca phng trỡnh: X2 -5X + = (1) * Ta cú = 25-24 = 1> => * (1) cú hai nghim: X = +1 = 3, X2 = =2 2 * Hai s phi tỡm l v Bi 3(2,0 im): Cho M = x xy + y x y + y x x y xy 1- Tỡm iu kin M cú ngha 2- Rỳt gn M (vi iu kin M cú ngha) 3- Cho N = y y Tỡm tt c cỏc cp s ( x; y ) M = N 1-(0,5 ) x y xy 0,25 0,25 * M cú ngha, ta cú: 0,25 * Vi x y, x 0, y ta cú: M = 0,25 0,25 * M = x yx y * M = y 3-(0,75 ) * y y cú ngha thỡ y (2) Vi x y, x 0, y > (kt hp (1) v (2)), ta cú y = y y * ( y ) + 2( y ) = t a = y , a > 0, ta cú a + 2a = * = (a 1) + (2a 2) = (a 1)(a + a + 1) + 2(a 1)(a + 1) = (a 1)(a + 3a + 3) 0,25 0,25 0,25 * x y, x 0, y 2-(0,75 ) (1) ( x y ) xy ( x + y ) x y xy 35 36 3 a =1 > (vỡ a + 3a + = (a + ) + > 0) Do a =1 nờn y = > y x M = N Vy cỏc cp s ( ; ) phi tỡm l: x tu ý 0, 1; y = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bi 4(3,0 im): di cỏc cnh ca mt tam giỏc ABC vuụng ti A, tho cỏc h thc sau: AB = x , AC = x + , BC = x + 1- Tớnh di cỏc cnh v chiu cao AH ca tam giỏc 2- Tam giỏc ABC ni tip c na hỡnh trũn tõm O Tớnh din tớch ca phn thuc na hỡnh trũn nhng ngoi tam giỏc 3- Cho tam giỏc ABC quay mt vũng quanh cnh huyn BC Tớnh t s din tớch gia cỏc phn cỏc dõy cung AB v AC to C 1-(1,25 ) * Theo nh lý Pitago tam giỏc vuụng ABC, ta cú: BC2 = AB2 + AC2 hay: ( x +2)2 = x + ( x +1)2 x +2 x +1 * x + x + = x + x + x + O x x = H A * x = > 0, x = -1 < (loi) * Vy AB = 3, AC = 4, BC = AB AC 3.4 12 = * AH = = BC 5 x B 2-(1,0 ) * Gi din tớch ca phn thuc na hỡnh trũn nhng ngoi tam giỏc l S; din tớch na hỡnh trũn tõm O l S1; din tớch tam giỏc ABC l S2 , ta cú: 1 OA AB AC 2 1 1 * Vỡ OA = BC , nờn S = BC AB AC 2 25 12 25 48 = *= 8 * Vy S = (25 48) S = S1 S2 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3- (0,75 ) * Khi tam giỏc ABC quay mt vũng quanh cnh huyn BC: Gi S3 l din tớch phn dõy cung AB to (din tớch xung quanh hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy AH, ng sinh AB), ta cú: S3 = AH AB = AH * Gi S4 l din tớch phn dõy cung AC to (din tớch xung quanh hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy AH, ng sinh AC), ta cú: S4 = AH AC = AH S3 * Vy S = 4 Bi 5(1,0 im): Tớnh P = x + y v Q = x 2009 + y 2009 Bit rng: x > 0, y > 0, + x + y = x + xy + y (1) * Vỡ x > 0, y > (1) + x + y = x + xy + y 36 37 0,25 0,25 0,25 2.( 1) + 2( x ) + 2( y ) = x + x y + y * (( 1) x + ( x ) ) + (( x ) x y + ( y ) ) + (( 1) y + ( y ) ) = 2 * ( x ) + ( x y ) + ( y ) = x = x =1 * x y = x = y hay x = y = y =0 y =1 Vy P = Q = Chỳ ý: - Thớ sinh lm cỏch khỏc ỳng, hp lý cho im ti a - im ca bi thi l tng s im ca tng bi, im ca tng bi l tng s im ca tng phn (im bi thi, im tng bi, im tng phn ca bi khụng lm trũn s) 14 Bài (2 điểm) 37 38 1) Rút gọn biểu thức: A = ( + ) 288 2) Giải phơng trình: a) x2 + 3x = b) x4 + 8x2 + = Bài (2 điểm) Giải toán cách lập phơng trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho đợc số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Bài (1 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P): y = - 3x2 Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = -2x + cắt (P) điểm có tung độ y = -12 Bài (1điểm) Giải phơng trình: x + + x = x + 14 Bài 5.(4điểm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =a Gọi Ax, By tia vuông góc với AB (Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O); cắt Ax, By lần lợt E F a) Chứng minh: Góc EOF 900 b) Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng c) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh: MK vuông góc với AB d) Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a - Hết Hớng dẫn chấm Bài (2 điểm) 1) (1 điểm) A = + 12 + 18 12 = 22 0,75 0,25 38 39 2) (1 điểm) x = a) (0,5đ) x2 + 3x = x(x + 3) = x = b) (0,5đ) Đặt t = x2 ta có phơng trình: -t2 + 8t + = t = t = -1 (loại) Với t = => x = Kết luận phơng trình có nghiệm: x = -3; x = Bài (2 đ) Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x, điều kiện x N, < x Chữ số hàng đơn vị số cần tìm y, điều kiện y N, y Tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 nên có phơng trình: x + y = 14 Đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho đợc số lớn số cho 18 đơn vị nên có phơng trình: 10y + x (10x + y) = 18 x + y = 14 x = y x = y = 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Giải hệ phơng trình: 0,5 Số cần tìm 68 Bài (1 đ) Đờng thẳng cần tìm song song với đờng thẳng y = -2x + nên có phơng trình: y = -2x + b -12 = - 3x2 x =2 => Trên (P) có điểm mà tung độ -12 A(-2;-12); B(2; -12) Đờng thẳng y = -2x + b qua A(-2; -12) -12 = + b b = -16 Đờng thẳng y = -2x + b qua B(2; -12) -12 = -4 + b b = -8 KL: có hai đờng thẳng cần tìm: y = -2x -16 y = -2x -8 Bài (1 điểm) 0,25 x + x 3(*) x ( 0,25 0,25 0,25 0,25 đk: x + + x = x + 14 0,25 ) x + + ( x 1) = 0,25 x + = x = Vì ( x 3) ( x 1) với x thoả mãn (*) x = (tm) Bài (4điểm) a) (1,5đ) Hình vẽ Có EA AB => EA tiếp tuyến với (O), mà EM tiếp tuyến => OE phân giác góc AOM Tơng tự OF phân giác góc BOM => góc EOF = 900 (phân giác góc kề bù) b) (1đ) có góc OAE = góc OME = 900=> Tứ giác OAEM nội tiếp Tứ giác OAEM nội tiếp => góc OAM = góc OEM 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 39 40 Có góc AMB = 900 (AB đờng kính) => OEF MAB tam giác vuông => OEF MAB đồng dạng c) (0,75đ) có EA // FB => KA AE = KF FB 0,25 0,25 EA EM tiếp tuyến => EA = EM FB FM tiếp tuyến => FB = FM => KA EM = KF MF AEF => MK // EA mà EA AB => MK AB d) (0,75đ) Gọi giao MK AB C, xét AEB có EA // KC => 0,25 0,25 KC KB = EA EB KM KF = EA FA KA KE KF KB = => = AE//BF=> KF KB FA EB KC KM = Do => KC = KM => SKAB = SMAB EA EA MB MAB vuông M => SMAB = MA xét AEF có EA //KM => a a ; MB = 2 = a (đơn vị diện tích 16 MB = MA => MA = => S MAB = a => S KAB 0,5 0,25 Chú ý: - Các giải khác với đáp án cho điểm tơng ứng với biểu điểm - Điểm thi không làm tròn 40 [...]... = 0 C©u IV(1,5®) §ỉi 36 phót = 6 h 10 Gäi vËn tèc cđa « t« kh¸ch lµ x ( x >10; km/h) VËn tèc cđa «t« t¶i lµ x - 10 (km/h) 180 (h) x 180 Thêi gian xe t¶i ®i hÕt qu·ng ®êng AB lµ: (h) x − 10 Thêi gian xe kh¸ch ®i hÕt qu·ng ®êng AB lµ: V× «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót nªn ta cã PT: 180 6 180 − = x − 10 10 x ⇔ 180 .10 x − 6 x( x − 10) = 180 .10( x − 10) ⇔ x 2 − 10 x − 3000 = 0 ∆' = 5 2 + 3000 = 3025... nhÊt cđa biĨu thøc P=(x+y)(x+z) C©u I: (2,0®) Gỵi ý GIẢI: 25 26 1 TÝnh 4 25 = 100 = 10 2 x = 4 x = 2 x = 2 < = > < = > x + 3y = 5 2 + 3 y = 5 y =1 2 Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: Vëy hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy C©u II: (2,0®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh x2-2x+1=0 vËy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiƯm kÐpt x1=x2=1 2 Hµm sè y=2009x+2 010 ®ång biÕn bÕn trªn R.v× sao a=2009>0 C©u III: (1,0®) Hai sè 3 vµ 4 lµ nghiƯm... tèc cđa «t« t¶i lµ x (km/h) ®k x>0 vËn tèc cđa «t« kh¸ch lµ x +10 (km/h) theo ®Ị bµi ta cã ph¬ng tr×nh 180 180 3 − = x x + 10 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x1=50(tm) x2=-60(lo¹i) C©u V:(3,0®) C©u VI:(0,5®) xyz= 16 16 =>x+y+z= x+ y+z xyz P=(x+y)(x+z)=x2+xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x 16 16 16 yz = 8 (b®t cosi) +yz= + yz ≥ 2 xyz yz yz V©y GTNN cđa P=8 Đề 10 C©u I: (2,0 ®iĨm) 26 27 1 TÝnh 9 + 4 2 Cho hµm sè y=x-1.T¹i... nhÊt cđa biĨu thøc P=(x+y)(x+z) HÕt C©u I: (2,0®) Gỵi ý GIẢI 23 24 1 TÝnh 4 25 = 100 = 10 2 x = 4 x = 2 x = 2 < = > < = > x + 3y = 5 2 + 3 y = 5 y =1 2 Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: Vëy hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy C©u II: (2,0®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh x2-2x+1=0 2 Hµm sè y=2009x+2 010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R?v× sao? C©u III: (1,0®) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ... tr×nh: C©u II: (2,0®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh x2-2x+1=0 2 Hµm sè y=2009x+2 010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R?v× sao? C©u III: (1,0®) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiƯm? C©u IV(1,5®) Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xt ph¸t tõ ®Þa ®iĨm A ®i ®Õn ®Þa ®iĨm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cđa «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót TÝnh vËn tèc cđa mçi «t«... + 8m + 7 13 14 F C E D A O B Bài 4: 1) · · ODB = OBD (∆OBD can ) · · ⇒ ODB = EBF va so le trong ·EBF = CBD · 2) (tia phan giac) ⇒ OD//BC · · ADB = ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) 3) * ∆vAEB, đường cao AD: Có AB2 = BD.BE (1) * ∆vAFB, đường cao AC: Có AB2 = BC.BF (2) Từ (1) và (2) ⇒ BD.BE = BC.BF Từ BD.BE = BC.BF BD BF = ⇒ ∆BCD : ∆BFE BC BE · · ⇒ CDB = CFE ⇒ ⇒ Tứ giác CDEF nội tiếp... tr×nh: C©u II: (2,0®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh x2-2x+1=0 2 Hµm sè y=2009x+2 010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R?v× sao? C©u III: (1,0®) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiƯm? C©u IV(1,5®) Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xt ph¸t tõ ®Þa ®iĨm A ®i ®Õn ®Þa ®iĨm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cđa «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót TÝnh vËn tèc cđa mçi «t«... tr×nh: C©u II: (2,0®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh x2-2x+1=0 2 Hµm sè y=2009x+2 010 ®ång biÕn hay nghÞch biÕn trªn R? V× sao? C©u III: (1,0®) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiƯm? C©u IV(1,5®) Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xt ph¸t tõ ®Þa ®iĨm A ®i ®Õn ®Þa ®iĨm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cđa «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót.TÝnh vËn tèc cđa mçi «t«... gi¸c CDEF néi tiÕp 11 12 4- X¸c ®Þnh sè ®o cđa gãc ABC ®Ĩ tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi AOCD theo R 12 13 Hướng dẫn Bài 1: 2x − 3y = 4 2x − 3y = 4 ⇔ 1 Giải hệ phương trình: 3x + 3y = 1 ⇔ 5x = 5 −2 y = 3 x = 1 2 Giải phương trình: a) x 2 − 8x + 7 = 0 Có dạng : a + b + c = 1 +(-8) + 7 = 0 x = 1 ⇒ 1 x 2 = 7 b) 16x + 16 − 9x + 19 + 4x + 14 = 16... kh«ng trïng víi R) Qua R kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E Gäi F lµ giao ®iĨm cđa PQ vµ RE a) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®ỵc trong mét ®êng trßn b) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DEF c) TÝnh sè ®o gãc QFD d) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng QE Chøng minh r»ng ®iĨm M lu«n n»m trªn cung trßn cè ®Þnh khi tia Qx thay ®ỉi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR §¸p ¸n 20 21 PhÇn I Tr¾c nghiƯm ... lµ: V× «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 nªn ta cã PT: 180 180 − = x − 10 10 x ⇔ 180 .10 x − x( x − 10) = 180 .10( x − 10) ⇔ x − 10 x − 3000 = ∆' = + 3000 = 3025 ∆' = 3025 = 55 x1 = +55 = 60 ( TM§K)... vÞ b»ng 14 nªn cã ph¬ng tr×nh: x + y = 14 §ỉi ch÷ sè hµng chơc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cho th× ®ỵc sè míi lín h¬n sè ®· cho 18 ®¬n vÞ nªn cã ph¬ng tr×nh: 10y + x –(10x + y) = 18 x + y = 14 x =... b) mx − y = y = mx − ⇔ x y − = 334 y = x − 100 2 = 10 y = mx − y = mx − ⇔ ⇔ 3 m − mx − = x − 100 2 ÷x = 100 1 2 (*) Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ (*) vơ nghiệm