S¸ng kiÕn kinh nghiƯm CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I- Nhận thức: Toán học môn khoa học trừu tượng Muốn tìm hiểu xác , theo dạy toán cho học sinh, yêu cầu bật phát triển tư cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi toán khó Do , đòi hỏi học sinh phải có tư lô gic cao, biết kết hợp kiến thức cũ cách chặt chẽ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung) - Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt hạng tử - Đặt ẩn phụ (còn gọi đổi biến số) - Dùng phương pháp hệ số bất đònh - Tìm nghiệm đa thức - Quy tắc HORNER (Hoóc - Ne) B MỘT SỐ BÀI TOÁN: I PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài1 Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz) Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) -1Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử đa thức đa thức cho không chứa thừa số chung, dạng đẳng thức đáng nhớ nào, nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc Vậy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử x3 – 7x – Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – x – 6x, ta có: x3 – 7x – = x3 – x – 6x – = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách hạng tử – = – 14 ,ta có: x3 – 7x – = x3 + – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ -2Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giải: a) Đặt x2 + x + = y ta có x2 + x + =y +1 Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) 2 Do đó: (x + x + 1)(x + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m, ta có 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 * DẠNG ĐẶC BIỆT Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có số m, n cho m.n = a.c, m + n = b ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp a, b, c nguyên trước hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trò tuyệt đối m n nhỏ b sau chọn m, n thoả mãn m + n = b Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 áp dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: 6y + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do dó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) y = (x + c)(x + d) y = x2 + (a + b) x Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = a + b = =c + d Biến đổi: -3Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) 2 Do dó P(x) = (x +5x + 1)(x + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến đổi Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2 Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do dó P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10) Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy sử dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta có : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do dó , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) d2 Đa thức dạng: P(x) = x + bx + cx + dx + e với e = b -4- Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d biến đổi P(x) dạng chứa hạng b tử y2+ bxy sử dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n cho m.n = - 6x2 m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta có Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dó, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2) * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c a+b Cách giải: Đặt biến phụ y = x + biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thành nhân tử Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do dó P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1) BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 4) D(x) = (7 – x)4 + ( – x)4 – 5) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 6) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giải: a) Kết tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac -5Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Đồng hệ số hai đa thức , ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên tích ac = - 30, a, c ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 b = - thoả mãn hệ Đó số phải tìm tức x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ Như nến đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng đa thức với đa thức cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc = bd =1 Từ hệ tìm được: a = b = d = , c = Vậy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x) P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta chia đa thức cho nhò thức (x – a) Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương phép chia Q(x) Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Thế nghiệm số kép? Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x) Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = -6Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhò thức x – , ta thương số Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) VI QUY TẮC HOÓC – NE (HORNER) Quy tắt Hoóc – Ne giúp chia nhanh đa thức cho nhò thức bậc Bài toán: Giả sử chia đa thức P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia cho nhò thức x - a Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vò Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn - Số dư r số bậc r < bậc (x – a) Ta có: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) Đồng hệ số, ta có: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 Ta xếp thành bảng sau: a a0 a1 b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b3 = a3 + ab2 ………………………… bn – = an – + abn - r = an + abn -1 a2 b2 = a2 +ab1 ……… an - bn – = an -1 + abn - an r = an + abn -1 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử -7- Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Giải: Ta có P(1) = – + = Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xác đònh Q1(x) quy tắc Hoóc – Ne 3 -4 -1 -1 -1 r = p(1) =0 Do Q1(x) = 3x3 – x2 – x – Nhận xét Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác đònh Q2(x) cách sử dụng quy tắc Hoóc – Ne: -1 -1 -1 2 Suy ra: Q2(x) = 3x + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1) -8- Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm -9- Gi¸o Viªn: T« Nh Qnh