Tìm hiểu về một số nhóm điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ————————————— HOÀNG THỊ NGA TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ NHÓM ĐIỂM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ——————————- HOÀNG THỊ NGA TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ NHÓM ĐIỂM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HUY THẢO Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội nỗ lực thân hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy em suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường ĐHSP Hà Nội Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Huy Thảo tận tình bảo, giúp đỡ em suốt trình tìm hiểu hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên tránh khỏi thiếu sót định Em mong góp ý quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu thực cá nhân, thực hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo Những kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực Đề tài không trùng với đề tài khác Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Nga Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Giới thiệu lý thuyết nhóm 1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm 1.1.1 Định nghĩa nhóm 1.1.2 Định nghĩa nhóm 1.1.3 Một số ví dụ nhóm 1.2 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 1.2.1 Định nghĩa biểu diễn nhóm 1.2.2 Đặc biểu 6 6 8 11 11 11 12 13 14 14 16 24 26 29 31 33 Các 2.1 2.2 2.3 2.4 phần tử nhóm điểm Định nghĩa nhóm điểm Các phần tử nhóm điểm Phân lớp nhóm điểm Phần tử đối xứng Tìm hiểu số nhóm điểm 3.1 Nhóm Cn 3.2 Nhóm Cnv 3.3 Nhóm Cnh 3.4 Nhóm Dn 3.5 Nhóm Dnh 3.6 Các nhóm T, Td , Th 3.7 Các nhóm O, Oh Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khi học môn học lượng tử có phương pháp giải số toán vật lý đơn giản: toán hàng rào thế, chuyển động với hố năng, chuyển động dao động tử điều hòa Phạm vi giải phương pháp khác học lượng tử cách xác hẹp Vì vị trí phương pháp khác học lượng tử quan trọng Có nhiều phương pháp để giải toán học lượng tử có phương pháp lý thuyết nhóm Khi nghiên cứu phương pháp lý thuyết nhóm có hội tìm hiểu số nhóm điểm, qua có thêm kiến thức để giải số tập học lượng tử giải thích tính chất, cấu trúc hạt Chính lí mà chọn đề tài: "Tìm hiểu số nhóm điểm" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số nhóm điểm Đối tượng nghiên cứu Họ nhóm điểm Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu lý thuyết nhóm Giới thiệu số nhóm điểm Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán Chương Giới thiệu lý thuyết nhóm 1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm 1.1.1 Định nghĩa nhóm Tập hợp G gồm phần tử a, b, c gọi nhóm có tính chất sau đây: (i) Trên tập hợp G tồn phép tính "*" gọi phép nhân nhóm Phép tính đặt tương ứng với cặp phần tử a b tập hợp G phần tử c thuộc tập hợp này, gọi tích a b kí hiệu a ∗ b: c = a ∗ b ∈ G, ∀a, b ∈ G (ii) Phép nhân nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa với phần tử a, b, c tập G ta có: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (iii) Trên tập hợp G tồn phần tử e gọi phần tử đơn vị, mà với phần tử a ∈ G ta có: e∗a=a∗e=a (iv) Với phần tử a ∈ G có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho: a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e Do tính chất kết hợp phép nhân ta xác định đơn giá lũy thừa n phần tử a bất kỳ, kí hiệu an a.a.a a = an Để đơn giản ta bỏ dấu "*" biểu thức 1.1.2 Định nghĩa nhóm Một tập hợp G1 nhóm G gọi nhóm G phép nhân nhóm G, tập hợp G1 tạo thành nhóm, nghĩa G1 thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) Nếu {a}, {b} hai phần tử G1 tích ab phần tử G1 a ∗ b ∈ G1 ∀a, b ∈ G1 (ii) Tập hợp G1 chứa phần tử đơn vị e nhóm G: e ∈ G1 (iii) Nếu a phần tử G1 a−1 phần tử G1 a ∈ G1 → a−1 ∈ G1 Nhận xét: Từ điều kiện ta suy điều kiện Thật vậy, lấy phần tử a tùy ý tập G1 Theo điều kiện 3: a ∈ G1 → a−1 ∈ G1 Theo điều kiện 1: a ∈ G1 , a−1 ∈ G1 → a.a−1 = e ∈ G1 1.1.3 Một số ví dụ nhóm Ví dụ 1.1.1 Nhóm Ci Tập hợp: Ci = {e, I} Với I phép nghịch đảo không gian, phép nhân nhóm phép thực liên tiếp phép biến đổi nhóm Nhóm nhóm tuần hoàn, hữu hạn cấp nên ta có: I = e, I −1 = Ví dụ 1.1.2 Nhóm Cn Tập hợp:Cn = e, Cn , Cn2 , ., Cnn−1 Với Cn phép quay mặt phẳng vớí góc ϕ = 2π , làm thành nhóm n Phép nhân phép thực liên tiếp phép quay mặt phẳng Phần tử nghịch đảo (Cnk )−1 = Cnn−1 Cnn = e Nhóm nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n Ví dụ 1.1.3 Nhóm SO(2) Ta xét tập hợp tất phép quay g(ϕ) mặt phẳng Các phần tử xác định góc quay ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π ) Phép nhân xác định sau: g(ψ).g(ϕ) = g(ψ + ϕ) Đơn vị: e = g(0) Phần tử nghịch đảo: g −1 (ϕ) = g(−ϕ) Rõ ràng tập hợp làm thành nhóm liên tục, giao hoán kí hiệu SO(2) Nhóm Cn nhóm nhóm SO(2) 1.2 1.2.1 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm Định nghĩa biểu diễn nhóm Cho không gian tuyến tính n chiều M nhóm D phép biến đổi không gian Lại cho nhóm G Ta gọi nhóm T phép biến đổi không gian M biểu diễn nhóm G có phép đồng cấu nhóm G lên nhóm D G→D Nghĩa ứng với phần tử g, h nhóm G có phép biến đổi T (g), T (h) Ta nói có biểu diễn nhóm G không gian M không gian M thực biểu diễn D nhóm G 1.2.2 Đặc biểu Nếu thay đổi sở không gian M ma trận D(g) thực biểu diễn D nhóm G biến thành ma trận đồng dạng: D (g) = S.D(g).S −1 S : Ma trận thực biến đổi sở D (g): Một biểu diễn nhóm G, gọi biểu diễn tương đương với D Vì quan hệ đồng dạng quan hệ tương đương, nên biểu diễn tương đương làm thành lớp tất phần tử thuộc lớp xem Có hai vấn đề tự nhiên đề đây: Vì biểu diễn thuộc lớp xem nhau, nên cần nêu lên đặc trưng nội cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa tìm đại lượng liên quan đến biểu diễn, bất biến phép biến đổi sở không gian biểu diễn Trong lớp biểu diễn xác định, chọn biểu diễn thuận lợi Một đặc trưng nêu lên vết n SpD(g) = Dii (g) i=1 Vì giá trị vết không thay đổi hoán vị vòng quanh nhân tử có mặt biểu thức vết, ta có SpD (g) = Sp SD(g)S −1 = Sp S −1 SD(g) = SpD(g) Vết biểu diễn gọi đặc biểu biểu diễn, kí hiệu X(g) X(g) = SpD(g) 22 C3−1 σv = σv C3 = σv Từ hệ thức ta thu hệ thức mới: σv σv = σv σv = σv σv = C3 σv σv = σv σv = σv σv = C31 Ta có bảng nhân nhóm C3v E C3 C3−1 σv σv σv E E C2 C3−1 σv σv σv C3 C3 C3−1 E σv σv σv C3−1 C3−1 E C3 σv σv σv σv σv σv σv E C3−1 C3 σv σv σv σv C3 E C3−1 σv σv σv σv C3−1 C3 E Nếu a phần tử nhóm G tất phần tử gag −1 với phần tử g nhóm G tạo thành lớp phần tử liên hợp với phần tử a Nếu a phần tử đơn vị E tất phần tử gag −1 trùng với E Vậy phần tử đơn vị E lớp Ta lấy a C3 Các phần tử liên hợp với σv C3 σv = σv σv = C3−1 σv C3 σv = σv σv = C3−1 σv C3 σv = σv σv = C3−1 Vậy hai phần tử C3 C3−1 tạo thành lớp phần tử liên hợp Còn ta lấy a σv phần tử liên hợp với là: C3 σv C3−1 = σv C3−1 = σv C3−1 σv (C3−1 )−1 = σv C3 = σv σv σv σv = σv σv σv σv = C3−1 σv = σv σv σv σv C3 σv = σv 23 Vậy ba phép phản xạ gương σv , σv , σv tạo thành lớp phần tử liên hợp Tóm lại nhóm C3v chia thành ba lớp phần tử liên hợp sau: C1 = {E} , C2 = C3 , C3−1 , C3 = σv , σv , σv (iii) Nhóm C4v Nhóm C4v gồm phần tử E, C4 , C2 , C4−1 nhóm C4 phép phản xạ gương σv , σv , σv , σv qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay kí hiệu σv , σv , σv , σv σv trực giao với σv thu từ σv sau thực phép quay C4 , σv , σv hai mặt phẳng phân giác hai góc vuông mặt phẳng σv , σv Nhóm C4v nhóm phép đối xứng hình trụ thẳng đứng đáy vuông Với lý luận giống nghiên cứu nhóm C3v ta thiết lập bảng nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm C4v E C4 C2 C4−1 σv σv σv σv E E C4 C2 C4−1 σv σv σv σv C4 C4 C2 C4−1 E σv σv σv σv C2 C2 C4−1 E C4 σv σv σv σv C4−1 C4−1 E C4 C2 σv σv σv σv σv σv σv σv σv E C2 C4−1 C4 σv σv σv” σv σv C2 E C4 C4−1 σv σv σv σv σv C4 C4−1 E C2 σv σv σv σv σv C4−1 C4 C2 E Các phần tử đối xứng trục quay C4 bốn mặt phẳng gương chứa trục quay σv , σv , σv , σv Sử dụng quy tắc nhân nhóm trình bày bảng nhân nhóm ta nghiệm lại nhóm C4v chia thành năm lớp phần tử liên hợp C1 = {E}, C2 = {C4 , C4−1 }, C3 = {C2 } C4 = {σv , σv }, C5 = {σv , σv } (iv) Nhóm C6v Nhóm C6v nhóm đối xứng hình trụ thẳng đứng mà đáy lục giác đều, gồm phần tử nhóm C6 sáu phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương chứa trục quay 24 Trên hình ta vẽ hình lục giác đáy hình trụ giao tuyến mặt phẳng gương nói với mặt phẳng đáy Hình 3.9: 3.3 Nhóm Cnh • Định nghĩa Định nghĩa 3.3.1 Đó nhóm Cnh = Cn ⊗ Cs Ví dụ 3.3.1 Phân tử C2 H2 Cl2 Hình 3.10: • Phần tử đối xứng Một trục quay bậc n mặt phẳng phản xạ gương trực giao với trục quay Số phần tử nhóm: 2n • Lớp Nhóm Cnh có số lớp lần số lớp nhóm Cn tức 2n lớp 25 • Biểu diễn Nhóm Cnh có biểu diễn tích trực tiếp thông thường • Các giá trị n n = 1, 2, 3, 4, 5, Với n = 2, 4, nhóm Cnh chứa phép nghịch đảo (i) Nhóm C1h Là nhóm giao hoán gồm hai phần tử: đơn vị E phép phản xạ gương σ Chỉ có phần tử đối xứng mặt phẳng gương σ Vì trục quay nên ta phân biệt mặt phẳng gương thẳng đứng hay nằm ngang (ii) Nhóm C2h Gồm hai phần tử E, C2 nhóm quay C2 , phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay tổ hợp chúng Tổ hợp phép quay C2 quanh trục Oz : C2 : C(x, y, z) → C(−x, −y, −z) Với phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương xOy σh : (x, y, z) → (−x, −y, −z) Chính phép nghịch đảo: i : (x, y, z) → (−x, −y, −z) không phụ thuộc vào thứ tự chúng σh C2 = C2 σh = i Vậy nhóm C2h nhóm giao hoán gồm phần tử E, C2 , σh , i với bảng nhóm nhân sau đây: E C2 σh i E E C2 σh i C2 C2 E i σh σh σh i E C2 i i σh C2 E Bảng 3.1: Bảng nhân nhóm C2h Các phần tử đối xứng nhóm C2h trục quay C2 , mặt phẳng gương σh tâm nghịch đảo i giao điểm chúng Nhóm C2 nhóm đối xứng nhóm C2h 26 (iii) Nhóm C3h Là nhóm giao hoán gồm ba phần tử E, C3 , C32 = C3−1 nhóm C3 Phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay tổ hợp chúng Cả hai phần tử đối xứng trục quay C3 mặt phẳng gương σh trực giao với (iv) Nhóm C4h Là nhóm giao hoán gồm bốn phần tử E, C4 , C2 , C4−1 nhóm C4 , phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay gọi mặt phẳng gương σh tổ hợp chúng Trong tổ hợp có tích σh C2 = C2 σh , phép nghịch đảo i giao điểm trục quay C4 mặt phẳng gương σh Vậy trục quay C4 mặt phẳng gương σh hai phần tử đối xứng cho từ trước có phần tử đối xứng thứ ba tâm nghịch đảo (v) Nhóm C6h Là nhóm giao hoán gồm phần tử E, C6 , C3 , C2 , C3−1 , C6−1 nhóm C6 Phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay gọi mặt phẳng gương σh tổ hợp chúng Vì số phần tử C6h có phép quay C2 lần phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng trực giao với trục quay C2 nhóm C6h chứa phép nghịch đảo i tâm nghịch đảo giao điểm trục C6 mặt phẳng gương σh Vậy hai phần tử đối xứng cho từ trước trục quay C6 mặt phẳng gương σh trực giao với nhau, có phần tử đối xứng thứ tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm chúng 3.4 Nhóm Dn • Định nghĩa Định nghĩa 3.4.1 Là nhóm gồm tất phép quay làm hình lăng trụ n cạnh trùng với • Phần tử đối xứng Có trục quay bậc n n trục quay bậc hai trực giao với trục quay bậc n 27 • Lớp Trục n trục hai phía Khi n = 2p + 1, trục C2 tương đương với Khi n = 2p, trục C2 chia làm hai lớp, lớp gồm trục đánh số chẵn lớp gồm trục đánh số lẻ Từ đó, ta kết sau: −k k Nhóm D2p+1 có p + lớp: e, {C2p+1 , C2p+1 , k = 1, 2, , p} p k , C −k , k = p}, {C }, {C } Nhóm D2p có p + lớp: e, C2p = C2 , {C2p 2 2p Trong kí hiệu C2 (C2 ) đại diện cho lớp C2 chẵn (lẻ) • Biểu diễn Dễ dàng chứng minh Dn ≈ Cnv , Cnk ↔ Cnk , C2 ↔ σv Từ đó, biểu diễn bất khả quy nhóm Dn trùng với nhóm Cn Hình 3.11: Hình 3.12: 28 • Các giá trị n n = 2, 3, 4, (i) Nhóm D2 Có ba phần tử đối xứng trục quay C2 vuông góc với đôi hình 3.13 Trong phép quay C2 quanh trục trục khác chuyển thành đổi chiều ngược lại Hình 3.13: (ii) Nhóm D3 Có phần tử đối xứng trục quay C3 nằm mặt phẳng hình 3.14, ta kẻ ba trục quay C2 chọn trục quay trùng với trục tọa độ Ox Trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O ba trục quay C2 Hình 3.14: (iii) Nhóm D4 29 Có phần tử đối xứng trục quay C4 bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 nằm mặt phẳng Hình 3.15: Trên hình 3.15 ta kẻ bốn trục quay C2 chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ Ox Oy Khi hai trục quay C2 khác đường phân giác hai góc vuông tạo trục Oz Oy Trục C4 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O trục C2 (iv) Nhóm D6 Có phần tử đối xứng trục quay C6 nằm mặt phẳng Trên hình 3.15 ta kẻ sáu trục quay C2 đó, chọn hai trục trùng với trục tọa độ Ox Oy Π Trục quay C6 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O trục quay C2 Góc hai trục quay C2 bội số 3.5 Nhóm Dnh • Định nghĩa Định nghĩa 3.5.1 Là nhóm gồm tất phần tử nhóm O(3) làm hình lăng trụ đáy có n cạnh trùng với Ta có Dnh = Dn ⊗ Cs Ví dụ 3.5.1 Phân tử C2 H6 30 Hình 3.16: Phân tử C2 H4 Hình 3.17: • Phần tử đối xứng Nhóm Dnh thu từ nhóm Dn cách thêm vào mặt phẳng phản xạ gương trực giao với trục quay bậc n (nằm ngang), có phần tử đối xứng nhóm Dn Một mặt đối xứng σh Hai loại phần tử đối xứng kéo theo n mặt đối xứng σv qua trục C2 Khi n = 2p dễ thấy nhóm có chứa phần tử I, từ ta D2p h = D2p ⊗ Ci • Lớp Số lớp nhóm hai lần số lớp nhóm Dn • Biểu diễn 31 Các biểu diễn tính theo phương thức biểu diễn tích trực tiếp chứng minh D3h ≈ D6 ≈ C6v • Các giá trị n n = 2, 3, 4, Vói n = 2, 4, nhóm Dnh chứa phép nghịch đảo (i) Nhóm D2h Gồm phần tử nhóm D2 , phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa hai trục quay C2 tổ hợp chúng Ngoài phần tử đối xứng nhóm D2 ba trục quay C có thêm hai phần tử đối xứng mặt phẳng gương σh tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm ba trục quay (ii) Nhóm D3h Gồm phần tử nhóm D3 , phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2 có tổ hợp chúng Các phần tử đối xứng trục quay C3 , ba trục quay C2 trực giao với trục quay C3 nằm mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2 (iii) Nhóm D4h Gồm phần tử nhóm D4 , phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 tổ hợp chúng Các phần tử đối xứng là: trục quay C4 , bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 nằm mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 tâm nghịch đảo trùng với giao điểm trục (iv) Nhóm D6h Gồm phần tử nhóm D6 , phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa trục quay C2 tổ hợp chúng Ngoài phần tử đối xứng biết nhóm D6 có hai phần tử đối xứng mặt phẳng gương σh tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm trục quay 3.6 Các nhóm T, Td , Th • Nhóm T Định nghĩa 3.6.1 Là nhóm gồm tất phép quay làm hình tứ diện trùng với 32 Phần tử đối xứng: bốn trục C3 qua đỉnh tâm điểm mặt đối diện, ba trục C2 qua trung điểm cạnh đối diện Số phần tử nhóm 12 Lớp: trục C3 tương đương với nhau, trục C2 Từ ta thấy nhóm T có bốn lớp: e, 3C2 , 4C3 , 4C32 • Nhóm Td Định nghĩa 3.6.2 Tập hợp tất phần tử nhóm O(3) tứ diện trùng với làm thành nhóm gọi nhóm Td Nhóm Td nhóm đối xứng phần tử tứ diện CH4 Nhóm Td thu cách thêm 6i, C4 6σd vào nhóm T Số phần tử nhóm 24 Lớp: Nhóm Td có lớp: e, 8C3 , 3S42 , 6σd , 6S4 Trong 8C3 lớp gồm phép C3 C32 quanh bốn trục hai phía C3 tương đương với 6σd lớp gồm phép phản chiếu qua mặt phẳng tương đương với nhau, qua cạnh tâm điểm cạnh đối diện Ngoài nhóm có trục S4 qua tâm điểm cạnh đối diện, phần tử tương ứng với trục chia làm hai lớp 3S42 6S4 Hình 3.18: 33 Hình 3.19: • Nhóm Th Định nghĩa 3.6.3 Đó tích trực tiếp Th = T ⊗ Ci Nhận xét 3.6.1 Tứ diện không đối xứng với phép nghịch đảo Th nhóm đối xứng hình tứ diện 3.7 Các nhóm O, Oh • Nhóm O Định nghĩa 3.7.1 Là nhóm gồm tất phép quay làm hình lập phương trùng với Hình 3.20: Phần tử đối xứng: ba trục C4 qua mặt đối diện, bốn trục C3 qua đỉnh đối diện, sáu trục C2 qua cạnh đối diện 34 Số phần tử nhóm 24 Lớp: nhóm O có lớp: e, 8C3 , 3C42 , 6C2 , 6C4 Nhóm O đẳng cấu với nhóm Td • Nhóm Oh Định nghĩa 3.7.2 Là nhóm gồm tất phần tử nhóm O(3) làm hình lập phương trùng với Có thể chứng minh Oh = O ⊗ Ci Số phần tử nhóm 48 Ví dụ 3.7.1 Phân tử Os F8 (hình 3.21) Hình 3.21: Os F8 35 KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt đạt kết sau: • Giới thiệu số khái niệm lý thuyết nhóm: Định nghĩa nhóm, định nghĩa nhóm đưa số ví dụ nhóm Luận văn đề cập đến vấn đề biểu diễn nhóm đặc biểu nhóm • Luận văn tìm hiểu số nhóm điểm: Nhóm Cn , nhóm Cnv , nhóm Cnh , nhóm Dn , nhóm Dnh , nhóm T, Td , Th , nhóm O, Oh TRong đưa định nghĩa biểu diễn nhóm điểm Trong trình học tập tìm hiểu, cố gắng, song điều kiện hạn chế khách quan lẫn chủ quan nên chắn tập lớn em tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp giúp đỡ quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! 36 Tài liệu tham khảo [1] "Nhập môn học lượng tử", Nguyễn Hoàng Phương, NXB GD, 1999 [2] "Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử", Nguyễn Hoàng Phương, NXB Khoa học kĩ thuật, 2002 Trên mạng internet [3] www.dost-dongnai.net [4] Ebook.edu.vn [5] www.mientayvn.com [...]... tinh thể Nếu tất cả các phép đối xứng của nhóm đó đều giữ cố định cùng một điểm, thì nhóm này được gọi là nhóm điểm Định nghĩa khác: Các nhóm con hữu hạn của nhóm trực giao O(3) gọi là các nhóm điểm 2.2 Các phần tử của các nhóm điểm a) Các phần tử quay Do tính chất hữu hạn của các nhóm điểm, rõ ràng ta chỉ có những phép quay với 2π những góc , kí hiệu là Cn (n là số nguyên) và các lũy thừa Cnk (k=0,1,... 4, 6 Nhóm Cn các phép quay quanh một trục cố 15 định với các góc quay bằng một số nguyên lần góc 2π trong đó n là một số n nguyên dương Trường hợp n = 1 là một trường hợp đặc biệt Nhóm C1 chỉ gồm các góc quay bằng một số nguyên lần góc 2π Nghĩa là chỉ gồm một phần tử là biến đổi đồng nhất E Mọi nhóm Cn với các số nguyên dương n > 1 đều có thể là nhóm đối xứng của một hình hữu hạn nào đó (ví dụ như... thuộc cùng một lớp 2.4 Phần tử đối xứng Các trục quay và các mặt phẳng phản chiếu của một nhóm gọi là các trục đối xứng và mặt đối xứng của nhóm Ngoài ra nhóm có thể có tâm đối xứng Trục đối xứng Cn cấp cao nhất (tức là có n lớn nhất thường vẽ thẳng đứng) Mặt σ đi qua trục cấp cao nhất kí hiệu là: σv , mặt σ thẳng góc với trục đó kí hiệu là σh 14 Chương 3 Tìm hiểu về một số nhóm điểm 3.1 Nhóm Cn •... phần tử của các nhóm điểm 2.1 Định nghĩa nhóm điểm Trong một phép tịnh tiến của không gian, tất cả các điểm đều dịch chuyển không có điểm nào là bất động cả Trái lại, trong mỗi phép quay, mỗi phép phản xạ gương và mỗi phép nghịch đảo đều có ít nhất một điểm bất động: điểm bất kỳ trên trục quay, điểm bất kỳ trên mặt phẳng gương và tâm của phép nghịch đảo Xét các phép biến đổi tạo thành một nhóm đối xứng... nhau, các trục C2 cũng thế Từ đó ta thấy nhóm T có bốn lớp: e, 3C2 , 4C3 , 4C32 • Nhóm Td Định nghĩa 3.6.2 Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm O(3) là tứ diện đều trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm Td Nhóm Td là nhóm đối xứng của các phần tử tứ diện như CH4 Nhóm Td thu được bằng cách thêm 6i, C4 và 6σd vào nhóm T Số phần tử của nhóm là 24 Lớp: Nhóm Td có 5 lớp: e, 8C3 , 3S42 , 6σd ,... mặt phẳng đáy Hình 3.9: 3.3 Nhóm Cnh • Định nghĩa Định nghĩa 3.3.1 Đó là các nhóm Cnh = Cn ⊗ Cs Ví dụ 3.3.1 Phân tử C2 H2 Cl2 Hình 3.10: • Phần tử đối xứng Một trục quay bậc n và một mặt phẳng phản xạ gương trực giao với trục quay Số phần tử của nhóm: 2n • Lớp Nhóm Cnh có số lớp bằng 2 lần số lớp của nhóm Cn tức là 2n lớp 25 • Biểu diễn Nhóm Cnh có những biểu diễn của một tích trực tiếp thông thường... nhóm C2h là nhóm giao hoán gồm 4 phần tử E, C2 , σh , i với bảng nhóm nhân sau đây: E C2 σh i E E C2 σh i C2 C2 E i σh σh σh i E C2 i i σh C2 E Bảng 3.1: Bảng nhân nhóm C2h Các phần tử đối xứng của nhóm C2h là trục quay C2 , mặt phẳng gương σh và tâm nghịch đảo i là giao điểm của chúng Nhóm C2 là nhóm đối xứng của nhóm C2h 26 (iii) Nhóm C3h Là nhóm giao hoán gồm ba phần tử E, C3 , C32 = C3−1 của nhóm. .. đều) hoặc một phần tử nào đó (i) Nhóm C1 Chỉ gồm một phần tử đơn vị E Không có phần tử đối xứng nào Phần tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng (ii) Nhóm C2 Là nhóm giao hoán gồm hai phần tử: đơn vị E và phép quay C2 một góc π quanh một trục nào đó Ta có: C2−1 = C2 ; C22 = E Có một phần tử đối xứng là trục quay C2 (iii) Nhóm C3 Nhóm giao hoán C3 là nhóm vòng sinh ra bởi phép quay C3 một góc 2π... đã biết của nhóm D6 còn có hai phần tử đối xứng là mặt phẳng gương σh và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay 3.6 Các nhóm T, Td , Th • Nhóm T Định nghĩa 3.6.1 Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tứ diện đều trùng với chính nó 32 Phần tử đối xứng: bốn trục C3 đi qua một đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện, ba trục C2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện Số phần tử của nhóm là 12... σv = σv σv = C2 Vậy nhóm C2 v là nhóm giao hoán gồm bốn phần tử: E, C2 , σv , σv với bảng nhân nhóm sau đây: Bảng nhân nhóm C2v E C2 σv σv E E C2 σv σv C2 C2 E σv σv σv σv σv E C2 σv σv σv C2 E Có ba phần tử đối xứng trục quay C2 và hai mặt phẳng gương chứa trục quay σv , σv trực giao với nhau Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2v (ii) Nhóm C3v Nhóm C3v gồm ba phần tử E, C3 , C3−1 của nhóm con C3 và ba phép ... thuyết nhóm: Định nghĩa nhóm, định nghĩa nhóm đưa số ví dụ nhóm Luận văn đề cập đến vấn đề biểu diễn nhóm đặc biểu nhóm • Luận văn tìm hiểu số nhóm điểm: Nhóm Cn , nhóm Cnv , nhóm Cnh , nhóm Dn , nhóm. .. tử nhóm điểm Định nghĩa nhóm điểm Các phần tử nhóm điểm Phân lớp nhóm điểm Phần tử đối xứng Tìm hiểu số nhóm điểm 3.1 Nhóm Cn 3.2 Nhóm Cnv 3.3 Nhóm. .. chọn đề tài: "Tìm hiểu số nhóm điểm" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số nhóm điểm Đối tượng nghiên cứu Họ nhóm điểm Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu lý thuyết nhóm Giới thiệu số nhóm điểm Phương pháp