Tìm hiểu về một số nhóm điểm

Khi nghiên cứu phương pháp lý thuyết nhóm chúng ta có cơ hội tìmhiểu về một số nhóm điểm, qua đó có thêm kiến thức để giải một số bài tập cơhọc lượng tử hoặc có thể giải thích tính chất,

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN HUY THẢO

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2dưới sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS NguyễnHuy Thảo

Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướngdẫn, giảng dạy em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tạitrường ĐHSP Hà Nội 2

Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Huy Thảo đãtận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình tìm hiểu và hoàn thành khóaluận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhấtsong do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạnchế về kiến thức và kinh nghiệm nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhấtđịnh

Em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để khóa luậnđược hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Nga

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân,được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo

Những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này trung thực

Đề tài này không trùng với bất kỳ đề tài nào khác

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Nga

Mục lục

1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm 6

1.1.1 Định nghĩa về nhóm 6

1.1.2 Định nghĩa nhóm con 6

1.1.3 Một số ví dụ về nhóm 7

1.2 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 8

1.2.1 Định nghĩa về biểu diễn nhóm 8

1.2.2 Đặc biểu 8

2 Các phần tử của các nhóm điểm 11 2.1 Định nghĩa nhóm điểm 11

2.2 Các phần tử của các nhóm điểm 11

2.3 Phân lớp các nhóm điểm 12

2.4 Phần tử đối xứng 13

3 Tìm hiểu về một số nhóm điểm 14 3.1 Nhóm Cn 14

3.2 Nhóm C nv 16

3.3 Nhóm Cnh 24

3.4 Nhóm Dn 26

3.5 Nhóm Dnh 29

3.6 Các nhóm T, Td, Th 31

3.7 Các nhóm O, Oh 33

Tài liệu tham khảo 36

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Khi học bộ môn cơ học lượng tử đã có phương pháp giải một số bài toán vật

lý đơn giản: bài toán hàng rào thế, chuyển động với hố thế năng, chuyển độngcủa dao động tử điều hòa

Phạm vi giải các phương pháp khác nhau của cơ học lượng tử một cáchchính xác rất hẹp Vì vậy vị trí của các phương pháp khác nhau của cơ họclượng tử rất quan trọng

Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán cơ học lượng tử trong

đó có phương pháp lý thuyết nhóm

Khi nghiên cứu phương pháp lý thuyết nhóm chúng ta có cơ hội tìmhiểu về một số nhóm điểm, qua đó có thêm kiến thức để giải một số bài tập cơhọc lượng tử hoặc có thể giải thích tính chất, cấu trúc của các hạt cơ bản

Chính vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: "Tìm hiểu về một số nhómđiểm"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về một số nhóm điểm

3 Đối tượng nghiên cứu

Họ các nhóm điểm

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giới thiệu về lý thuyết nhóm

Giới thiệu về một số nhóm điểm

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán

c = a ∗ b ∈ G, ∀a, b ∈ G(ii) Phép nhân của nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi phần tử a, b, ccủa tập con G ta luôn có: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

(iii) Trên tập hợp G tồn tại một phần tử e gọi là phần tử đơn vị, mà với mọiphần tử a ∈ G ta luôn có:

e ∗ a = a ∗ e = a(iv) Với mọi phần tử a ∈ G bao giờ cũng có phần tử a−1 ∈ G, gọi là nghịch đảocủa a, sao cho: a−1∗ a = a ∗ a−1= e Do tính chất kết hợp của phép nhân ta

có thể xác định đơn giá lũy thừa n của một phần tử a bất kỳ, kí hiệu là an

(i) Nếu {a}, {b} là hai phần tử của G1 thì tích ab cũng là phần tử của G1

a ∗ b ∈ G1∀a, b ∈ G1(ii) Tập hợp con G1 chứa phần tử đơn vị e của nhóm G: e ∈ G1

(iii) Nếu a là một phần tử của G1 thì a−1 cũng là phần tử của G1

a ∈ G 1 → a−1∈ G 1

Nhận xét: Từ điều kiện 1 và 3 ta có thể suy ra điều kiện 2

Thật vậy, lấy một phần tử a tùy ý của tập con G1

Theo điều kiện 3: a ∈ G1→ a−1 ∈ G1

Theo điều kiện 1: a ∈ G1, a−1 ∈ G1→ a.a−1 = e ∈ G1

Phần tử nghịch đảo (Cnk)−1= Cnn−1 do Cnn = e

Nhóm này là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n

Ví dụ 1.1.3 Nhóm SO(2)

Ta xét tập hợp tất cả các phép quay g(ϕ) trong mặt phẳng Các phần tửđược xác định bằng góc quay ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π)

Phép nhân xác định như sau: g(ψ).g(ϕ) = g(ψ + ϕ)

Đơn vị: e = g(0)

Phần tử nghịch đảo: g−1(ϕ) = g(−ϕ)

Rõ ràng tập hợp trên làm thành một nhóm liên tục, giao hoán kí hiệu làSO(2) Nhóm Cn là nhóm con của nhóm SO(2)

1.2 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

1.2.1 Định nghĩa về biểu diễn nhóm

Cho một không gian tuyến tính n chiều M và một nhóm D các phép biến đổinào đó trong không gian đó Lại cho một nhóm G nào đó

Ta gọi nhóm T các phép biến đổi trong không gian M là một biểu diễncủa nhóm G nếu có một phép đồng cấu của nhóm G lên nhóm D

G → DNghĩa là ứng với mỗi phần tửg, h của nhómG có phép biến đổiT (g), T (h)

Ta nói có một biểu diễn của nhóm G trong không gian M và không gian

M thực hiện biểu diễn D của nhóm G

1.2.2 Đặc biểu

Nếu thay đổi cơ sở trong không gian M thì các ma trậnD(g)thực hiện biểu diễn

D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng: D0(g) = S.D(g).S−1

S: Ma trận thực hiện biến đổi của cơ sở

D0(g): Một biểu diễn của nhóm G, gọi là biểu diễn tương đương với D

Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương, nên các biểu diễntương đương làm thành một lớp và tất cả các phần tử thuộc lớp đều xem nhưnhau

Có hai vấn đề tự nhiên đề ra ở đây:

Vì các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêulên các đặc trưng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liênquan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các phép biến đổi cơ sở của khônggian biểu diễn

Trong một lớp biểu diễn xác định, chọn biểu diễn nào thuận lợi nhất.Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết

X(g) = SpD(g)

Cho hai phần tửh, g của nhóm, liên hợp với nhau,h = x−1gx, h, g, x ∈ G Ta có:

Suy ra nếu nhóm có s lớp K1, K2, , Ks thì đặc biểu là một tập hợp của slượng: Xi = X(Ki) (i = 1, 2, 3, 4 )

Ví dụ 1.2.1 Đặc biểu nhóm D3

Nhóm D3 chia thành 3 lớp (s = 3)

K1= e, K2 = d, f , K3= a, b, c

Đặc biểu của biểu diễn nhóm là những véctơ ba chiều

Đặc biểu của biểu diễn nhóm một chiều là véctơ

X1(2)= 1, X2(2)= 1, X3(2) = −1.

Đặc biểu của biểu diễn hai chiều là véctơ

X1(3) = 2, X2(3)= −1, X3(3)= 0Với biểu diễn đơn vị:

Ví dụ 1.2.3 Tìm bảng đặc biểu của nhóm C3.

Giải:

Nhóm C3 có ba lớp e, C3, C32, biểu diễn đơn vị X1(0)= 1, X2(0)= 1, X3(0)= 1,đặc biểu của biểu diễn một chiều X1(2) = 1, X2(2)= , X3(2)= 2, đặc biểu của biểudiễn hai chiều X1(3)= 1, X2(3) = 2, X3(3)= 

Xét các phép biến đổi tạo thành một nhóm đối xứng của phân tử hoặctinh thể Nếu tất cả các phép đối xứng của nhóm đó đều giữ cố định cùng mộtđiểm, thì nhóm này được gọi là nhóm điểm.

Định nghĩa khác: Các nhóm con hữu hạn của nhóm trực giao O(3) gọi làcác nhóm điểm

Phần tử:

S(ϕ) = σ.g(ϕ) = g(ϕ).σ (2.2)

Tích của một phép quay quanh một trục thẳng góc với một mặt phẳng σ nào

đó và một phép phản chiếu σ qua mặt phẳng đó gọi là phép quay gương, trụcquay gọi là trục quay gương

Cho hai trục đối xứng quak và l của nhómG Nếu có một phần tử g ∈ Gsao cho k = gl, thì hai trục đối xứng k và l tương đương với nhau

Các mặt phẳng phản chiếu tương đương với nhau cũng được định nghĩatương tự như thế

Từ (2.1); (2.2) → S(ϕ) = g(ϕ + π)I = Ig(ϕ + π)

2.3 Phân lớp các nhóm điểm

Ta xét phần tử sau của nhóm điểm G:

Cl.(ϕ) = g.Ck.(ϕ).g−1, g ∈ G ∈ SO(3)liên hợp vớiCk(ϕ) dog, các kí hiệul, kchỉ các trục quay theo cơ sở đó: Ck(ϕ).ei=

aji.ej Nếu e0j = g.ej, ej = g−1.e0j thì

Cl.(ψ).e0j = g.Ck.(ϕ).g−1.e0j = g.Ck.(ϕ).ej = g.aij.ei= aij.e0j.

Như thế trong cơ sởe0i phần tử liên hợpCl có ma trận giống ma trận phần tử Cktrong cơ sở ei Nhưng vì ma trận của phép quay hoàn toàn xác định góc quay

và vị trí của véc tơ quay so với véctơ cơ sở nên kết quả vừa rồi chứng tỏ rằng

h.Ck(ϕ).h−1 = Ig.Ck.(ϕ).g−1.I = I.Cgk(ϕ).I = Cgk(ϕ) = Chkl(ϕ)

Tức là

hCk(ϕ).h−1= C−hk(ϕ) (2.4)

Do Ik = −k Từ các kết quả trên ta có kết luận:

Các phép quay cùng một góc quanh những trục tương đương với nhau làthuộc cùng một lớp

Tương tự ta có thể chứng minh:

gSk(ϕ).g−1= Sgk(ϕ) (2.5)h.Sk(ϕ).h−1= S−hk(ϕ) (2.6)

Như vậy các phép quay gương cùng một góc quanh những trục tương đương vớinhau là thuộc cùng một lớp.

Ta có nhận xét:

Nếu g = C2 mà trục C2 thẳng góc với k thì theo (2.3) ta được:

C2.Ck(ϕ).C2−l = Ck(ϕ) = Ck(−ϕ) = Ck−l(ϕ)Tức là Ck(ϕ) liên hợp với Ck−l.(ϕ)

Nếu có tồn tại 1 mặt phẳng phản chiếuσ nào đó đi qua trục k thì theo (2.5) với

h = σ, ta có:

σ.Ck(ϕ).σ = C−σ.k(ϕ) = C−k(ϕ) = Ck(−ϕ) = Ck−l(−ϕ).

Các trục k có tính chất trên gọi là trục hai phía

Kết luận: Nếu tồn tại các trục hai phía thì các phần tử quay quanh cáctrục đó và các phần tử nghịch đảo với nó cũng thuộc cùng một lớp

2.4 Phần tử đối xứng

Các trục quay và các mặt phẳng phản chiếu của một nhóm gọi là các trục đốixứng và mặt đối xứng của nhóm Ngoài ra nhóm có thể có tâm đối xứng Trụcđối xứng Cn cấp cao nhất (tức là có n lớn nhất thường vẽ thẳng đứng)

Mặt σ đi qua trục cấp cao nhất kí hiệu là: σv, mặt σ thẳng góc với trục

đó kí hiệu là σh

định với các góc quay bằng một số nguyên lần góc 2π

n trong đó n là một sốnguyên dương

Trường hợp n = 1 là một trường hợp đặc biệt Nhóm C1 chỉ gồm các gócquay bằng một số nguyên lần góc 2π Nghĩa là chỉ gồm một phần tử là biếnđổi đồng nhất E

Mọi nhóm Cn với các số nguyên dương n > 1 đều có thể là nhóm đối xứngcủa một hình hữu hạn nào đó (ví dụ như hình trụ thẳng đứng, đáy là hình

đa giác n giác đều) hoặc một phần tử nào đó

(i) Nhóm C1

Chỉ gồm một phần tử đơn vị E

Không có phần tử đối xứng nào

Phần tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng

Nếu n = 2p + 1 thì các mặt đối xứng là tương đương với nhau.

Nếu n = 2p thì các mặt đối xứng chia làm hai loại

Loại đánh số lẻ tương đương với nhau

Loại đánh số chẵn tương đương với nhau

Kết quả:

Nhóm C2p+10 v có p + 2 lớp: e, {σ} {C2p+1k , C2p+1−k }, k = 1, 2 p

Nhóm C2p0 v có p + 3 lớp: e,σ0v, ,σv00 , C2pp ,C2pp , C2pp , k = 1, 2 p − 1.Trong đó σv0, σ00v đại diện cho lớp các σv chẵn(lẻ)

• Biểu diễn

Gọi ψ m là cơ sở của các biểu diễn một chiều của nhóm giao hoán C n

Cnkψm = exp2π.kim

n .ψm, (m = 1, 2 , n − 1)Mặt khác chọn các vecto ψ−m có tính chất:

Cnkψ−m = exp



−2π.kim n



ψ−m

Theo (3.1) → σv.ψm = ψ−m Như thế, các cặp vecto {ψm, ψ−m} làm thànhnhững không gian thực hiện những biểu diễn bất khả quy hai chiều củanhóm.

Ta hãy tính số biểu diễn bất khả quy hai chiều này

Khi n = 2p các vec tơ ψm và ψ−m là độc lập với nhau, nếu m 6= 0 và m 6= pthành thử trong trường hợp này chúng ta có thể lập 2p − 2 biểu diễn haichiều có dạng:

Vì số lớp bằng p + 3 nên còn lại bốn biểu diễn bất khả quy một chiều mà

ta có thể tìm bằng phương pháp khác

Khi n = 2p + 1 các ma trận (3.2) cho phép lập 2p biểu diễn hai chiều, trong

đó tất cả là phép biểu diễn bất khả quy không tương đương với nhau

Vì trong trường hợp này số lớp bằng p + 2 nên cần tìm hai biểu diễn mộtchiều còn lại bằng phương pháp khác

• Các giá trị của n

n nhận các giá trị: 2, 3, 4, 6

(i) Nhóm C2v

Nhóm C 2v gồm các phần tử E, C 2 của nhóm quay C 2, phép phản xạ gương

σv qua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng kí hiệu là σv và các tổhợp của chúng Nếu trục quay là Oz

C2: (x, y, z) → (−x, −y, −z)Mặt phẳng gương σv là mặt phẳng xOz

σ v : (x, y, z) → (−x, −y, −z)Thì mặt phẳng gương σ0v là mặt phẳng yOz σv0 : (x, y, z) → (−x, −y, −z) Dễthử lại rằng:

C 2 σ v = σ v C 2 = σ0v

C2σ0v = σv0 = σv

σvσv0 = σv0σv = C2Vậy nhóm C2v là nhóm giao hoán gồm bốn phần tử: E, C2, σv, σ0v với bảngnhân nhóm sau đây:

Nhóm C3v gồm ba phần tử E, C3, C3−1 của nhóm con C3 và ba phép phản

xạ gương σv, σv0, σ00v qua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng kí hiệu là

σ v , σv0, σ00v

Mặt phẳng σv0 thu được từ mặt phẳng σv sau khi thực hiện phép quay

C32 = C3−1, tức là thu được từ mặt phẳng σv0 sau khi thực hiện phép quay

C 3

Các phần tử đối xứng trục quay C3 và ba mặt phẳng gương chứa trục quay

σv, σv0, σ00v chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm conC3 Chọntrục quay C3 làm trục Oz và mặt phẳng gương σv làm mặt phẳng tọa độxOz

Hình 3.5:

Trên Hình 3.5 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox0, Ox00 của mặt phẳng tọa độ xOyvới ba mặt phẳng trực gương σv, σv0, σ00v Các trục Ox0, Ox00 tạo với trục Oxcác góc bằng 2π

3 và 4π

3

Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vec tơ R của nó tạo vớitrục Ox một góc ϕ.

σ00v : ϕ → −ϕ + 4π

3 ∼ −(ϕ +2π

Nhận xét: Ta có thể thêm hoặc bớt từ góc ϕ một đại lượng là bội số của2π, do đó −ϕ + 4π

3 → −(ϕ + 2π

3 ) = −ϕ −

2π 3Nghĩa là:

Còn nếu ta lấy a và σ v thì các phần tử liên hợp với nó là:

Vậy ba phép phản xạ gương σv, σv0, σv00 tạo thành một lớp các phần tử liênhợp.

Tóm lại nhóm C 3v chia thành ba lớp các phần tử liên hợp sau:

C1 = {E} , C2 =C3, C3−1 , C3=nσv, σ0v, σ00vo

(iii) Nhóm C4v

Nhóm C4v gồm các phần tử E, C4, C2, C4−1 của nhóm con C4 và các phépphản xạ gương σv, σv0, σv00, σ000v qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trụcquay cũng kí hiệu là σ v , σ0v, σ00v, σv000 trong đó σv0 trực giao với σ v và thu được

từ σ0v sau khi thực hiện phép quay C4, σ00v, σv00 là hai mặt phẳng phân giác củahai góc vuông giữa các mặt phẳng σv, σ0v.

Nhóm C 4v là một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứngđáy vuông

Với những lý luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C3v ta có thể thiếtlập được bảng nhân nhóm sau đây

Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta

có thể nghiệm lại rằng nhóm C4v chia thành năm lớp các phần tử liên hợp

Trên hình ta vẽ hình lục giác đều là đáy của hình trụ và các giao tuyến củacác mặt phẳng gương nói trên với mặt phẳng đáy.

Với phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương xOy

σh : (x, y, z) → (−x, −y, −z)Chính là phép nghịch đảo:

i : (x, y, z) → (−x, −y, −z)không phụ thuộc vào thứ tự của chúng σhC 2 = C 2 σh = i

Vậy nhóm C2h là nhóm giao hoán gồm 4 phần tử E, C2, σh, i với bảngnhóm nhân sau đây:

Các phần tử đối xứng của nhóm C2h là trục quay C2, mặt phẳng gương

σh và tâm nghịch đảo i là giao điểm của chúng

Nhóm C 2 là nhóm đối xứng của nhóm C2h

(iii) Nhóm C3h

Là nhóm giao hoán gồm ba phần tử E, C3, C32= C3−1 của nhóm con C3.Phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trụcquay và các tổ hợp của chúng

Cả hai phần tử đối xứng là trục quay C3 và mặt phẳng gương σh trựcgiao với nhau

(iv) Nhóm C4h

Là nhóm giao hoán gồm bốn phần tử E, C 4 , C 2 , C4−1 của nhóm con C 4,phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trụcquay cũng gọi là mặt phẳng gương σh của tổ hợp của chúng

Trong các tổ hợp này có tích σhC 2 = C 2 σh, đó là phép nghịch đảo i đốivới giao điểm của trục quay C4 và mặt phẳng gương σh

Vậy ngoài trục quay C4 và mặt phẳng gươngσh là hai phần tử đối xứngcho từ trước còn có một phần tử đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo.(v) Nhóm C6h

Là nhóm giao hoán gồm 6 phần tử E, C6, C3, C2, C3−1, C6−1 của nhóm con

C6

Phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trụcquay cũng gọi là mặt phẳng gương σh và các tổ hợp của chúng

Vì trong số các phần tửC6h có cả phép quayC2lần phép phản xạ gương

σh qua một mặt phẳng trực giao với trục quay C2 cho nên nhóm C6hcòn chứa phép nghịch đảo i đối với tâm nghịch đảo là giao điểm củatrục C6 và mặt phẳng gương σh

Vậy ngoài hai phần tử đối xứng đã cho từ trước là trục quay C6 và mặtphẳng gương σh trực giao với nhau, còn có các phần tử đối xứng thứ 3

là tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của chúng