bai giang LTDH

Chuyên Đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vấn Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN • Sinx = Sina ⇔ x= a + k2π ∪ x = π - a+ k2π k ∈ z • Cosx = Cosa ⇔ x = ± a + k2π k ∈ z • Tanx = tana ⇔ x = a + kπ k∈z • Cotx = Cota ⇔ x = a + kπ k∈z Ví dụ : Giải phương trình: Cosx = Ví dụ 2: Giải phương trình : Cosx = o Chú ý Cosx = (= 1) (- ) Sinx = (= 1) (- ) Chỉ có họ nghiệm ⇒ Số + kπ Số + k2π Ví dụ: • Cosx = ⇔ x = + kπ k∈z Cosx = ⇔ x = k2π k∈z • Cosx =-1 ⇔ x = π + k2π k ∈ z Sinx = ⇔ x = kπ k∈z • Sinx = ⇔ x = + k2π k ∈ z Sinx = -1 ⇔ x = - + k2π k ∈ z Ví dụ: Giải phương trình 4Sin x = Cách 1: chia làm hai trường hợp Cách hạ bậc so sánh kết đường tròn o Chú ý Sin x = Cos x = Vấn Đề 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM Dạng Biến Tổng thành tích ⇒ Đạt nhân tử chung o Chú ý • Cosa + Cosb = 2Cos Cos Cosa - Cosb = -2Sin Sin • Sina + sinb = 2Sin Cos Sina - sinb = 2Cos Sin Ví dụ 1(HVQHQT) : Giải phương trình: Cosx + Cos2x + Cos3x + Cos4x = Ví dụ 2(ĐHNT) : Sinx + Sin2x + Sin3x = Cosx + Cos2x + Cos3x o Chú ý Cosx ± Sinx = ⇔ tanx = ± Ví dụ 3(ĐHSPVINH) Sinx + Sin2x + Sin3x +Sin4x + Sin5x + Sin6x = Ví dụ 4(ĐHTCKT) = Ví dụ 5(ĐH 2005B) Ví dụ 6(ĐHDB 2005B) Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ 10 Dạng 1+ Sinx + Cosx + Sin2x + Cos2x = Sin2x - Cos2x = 3Sinx + Cosx - 2Sin2x - Cos2x = 7Sinx + Cosx - 1+ Sinx + Cos3x = Cosx + Sin2x + Cos2x cos3x+cos2x+2sinx-2=0 sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0 Dùng Công Thức hạ Bậc o Chú ý Sin x = Cos x = Mỗi lần hạ bậc làm xuất số Làm số Ví dụ 1(ĐHAG) Ví dụ 2(ĐHQGHN) Ví dụ 3(ĐH2002B) Ví dụ 4(HVQHQT) Ví dụ Ví dụ Sin x + Sin 2x + Sin 3x = Sin x = Cos2x + Cos3x Sin3x - Cos4x = Sin5x - Cos6x Cosx + Cos2x + Cos3x + Cos4x = sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 Ví dụ cos3x+ sin7x=2sin2( + Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ π 5x 9x )-2cos2 2 2 2 sin x+ sin 3x= cos 2x+ cos x Với x ∈ (0; π ) π sin24x-cos26x=sin(10,5π + 10x ) với x ∈ (0; ) cos7x+ sin22x= cos22x- cosx π x cos4xsinx- sin22x=4sin2( − )-7/2 với o Chú ý Sin3x = 3sinx - 4sin x → sin x = Cos3x = 4cos x - 3cosx → cos x = Ví dụ (ĐHMỞ HN) Cos3xcos x + sin xSin3x = Ví dụ (ĐHLN) sin xCos3x + cos xSin3x = Ví dụ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3 Ví dụ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x Dạng Sin x ± Cos x x − nghiệm ∀x∈ R Ví dụ 4: Tìm m để: x + = m( + ) có nghiệm Ví dụ5: Tìm m để: x + 3x -1 ≤ m( - ) có nghiệm Ví dụ 6: Tìm m để ≤ x - 2x + m nghiệm ∀x∈ [-4;6] Ví dụ 7: Tìm m để: + - ≤ m +1 - m nghiệm ∀x∈ [-3;6] Ví dụ 8(ĐH2007A): + m = m = ? pt có nghiệm Ví dụ 9(ĐH2007B): x + 2x - = CMR ∀m > pt có hai nghiêm phân biệt Ví dụ 10(ĐH2008A): + + +2 = m m = ? pt có hai nghiệm Vídụ 11(ĐH2002A):cho pt: log + - 2m - =0 Tìm m để phương trình có nghiệm ∈ [1; 3] Vídụ 12(ĐH2004A): m( - + 2) = + Tìm m để phương trình có nghiệm Vídụ 13(ĐHNN2000)Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dâú (m+3)16 + (2m - 1)4 + m + = Vấn Đề Hằng Số Biến Thiên Định lý lagrăng 13 Hằng số biến thiên: Ví dụ: Giải phương trình: x + = Đặt t = Ví dụ: Giải phương trình: log + log - 5log - 25(log) = đặt log = t Ví dụ: Giải phương trình: x + = 11 = t Ví dụ: Giải phương trình: x + = đặt t = 13 Ví dụ: Giải phương trình: x + = 17 Định lý lagrange: Nếu hàm số f(x) liên tục có đạo hàm ∀x∈ [a;b] ∋ c ∈ (a;b) cho: (a-b)f’( c) = f(b) - f(a) Ví dụ: x = + log - 11 = 12cotx Ví dụ: x + = 2x - =( ) - ( ) Ví dụ: + log = x + x - = ( - )x Ví dụ: - = 8tanx 36 + = 25 + Vấn Đề 3: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CUẢ HÀM SỐ: DẠNG I Phương pháp Tìm m để hàm số đơn điệu tập cuả R • Y = f(x) đồng biến ∀x∈ (a;b) ⇔ f’(x) ≥ ∀x∈ (a;b) • Y = f(x) nghịch biến ∀x∈ (a;b) ⇔ f’(x) ≤ 0∀ x∈ (a;b) Ví dụ 1: Tìm m để y = nghịch biến ∀x∈ [1;+∞) Ví dụ 2: Tìm m để y = x + (m - 1)x + (m + 3)x - đồng biến ∀x(0;3) Ví dụ 3: Tìm m để: y = x - (m - 1)x + 3(m - 2)x + đồng biến ∀x∈ [2;+∞) Ví dụ 4: Tìm m để: y = đồng biến ∀x(1;+∞) Ví dụ 5: Tìm m để : y = nghịch biến (- ∞,1) Ví dụ 6: Tìm m để: y = 2x - 2x + mx - đồng biến (1;+∞) Ví dụ 7: Tìm m để: y = mx - x + 3x + m - đồng biến (-3;0) Ví dụ 8: Tìm m để : y = mx + 2(m - 1)x + (m - 1)x + m đồng biến ∀x∈ (2;+∞) Ví dụ 9: Tìm m để: y = x -(m+1)x-(2m-3m +2)x+m(2m - 1) đồng biến ∀x∈ [1;+∞) Ví dụ 10: Tìm m để y = = mx - (m - 1)x +3(m - 2)x + đồng biến ∀x∈ [2;+∞) DẠNG II Phương pháp SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CM BĐT • Chuyển BPT dạng: f(x) ≥ M(≤ M) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) K • Dùng định nghiã tính đơn điệu kết luận 14 o Chú ý • h/s y = f(x) đồng biến (a;b) ⇔ f(a) ≤ f(b) • h/s y = f(x) nghịch biến (a;b) ⇔ f(a) ≥ f(b) Ví dụ: với ∀x∈ (0; ) chứng minh rằng: sinx + tanx > 2x < 2π sinx < x sinx > x cosx < - + Ví dụ: với ≤ x < Chứng minh rằng: + > Ví dụ: với n > chứng minh rằng: + < Ví dụ: cho x ≥ y ≥ z ≥ chứng minh rằng: + + ≥ + + Ví dụ: CMR: 2sinx + tanx > 3x tanx > x + ∀x∈ (0; ) 15 DẠNG III SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU GIẢI PTRÌNH o Chú ý:Nếu f(x) hàm đơn điệu (a;b) • Phương trình f(x) = k có tối đa nghiệm (a; b) • F(u) = f(v) ⇔ u = v ∀u,v ∈ (a; b) • Y = f(x) y = g(x) hai hàm đơn điệu đối nghịch (a;b) phương trình f(x) = g(x) có tối đa nghiệm ∈ (a;b) Ví dụ: giải phương trình sau: + = + = x + x + = - x - 4x + = 3x - 8x + = - 2x + 2x - x + = + = - x = -x + 3x + x - 12 + = 10 + = 11 + + x = 12 + = + 13 x + x - + = 14 + + + = + + - 2x + 5x - 7x + 17 15 2008 - 2008 = cos2x 16 = 8x - 4x - 1(30/4) 17.(HSGTP) x - 4x - 5x + = 18 3x(2 + ) + (4x+2) ( + 1) = DẠNG III SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU GIẢI BPTRÌNH o Chú ý:Nếu f(x) hàm đơn điệu (a;b) • F(u) ≤ f(v) ⇔ u ≤ v ∀u,v ∈ (a; b) ⇔ f đồng biến (a;b) • F(u) ≤ f(v) ⇔ u ≥ v ∀u,v ∈ (a; b) ⇔ f nghịch biến (a;b) Phương pháp Ví dụ: (1-x) + (1+x) ≤ + > 5 + + ≥ 38 - < (ĐHTL) + ≥ 11 + + + < 12 + + < 181-14x • Chuyển BPT dạng: f(x) ≥ M(≤ M) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) K • Tìm x cho f(x ) = M 2x+3x+6x+16> + + ≤ log + log ≤ (ĐHNT) + 2.2 + 3.3 < 10 + - 2x ≤ 16 DẠNG IV Phương pháp Ví dụ: + =4 + = 44 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU GIẢI HPTRÌNH • CMR: x = y • Giải PT: g(x;y) = x = y • Kết luận nghiệm cuả hệ x +2x = y y + 2y = x X - 3x = y - 3y Y+x=1 x + xy = y + y + =6 x+ =3+1 x - 5x = y - 5y x+y=1 (4x+1)x + (y - 3)= ĐH - 2010 4x + y +2 = sinx - siny = 3x - 3y x + y = x;y > y+ =3+1 x+ =y+ xy + xy + x - y = 2x + = y + y + y 2y + = z + z + z 2z + = x + x + x 17 HSGTB - 2005 Chuyên Đề CỰC TRỊ Hàm Số 18