de thi chuyen toan vao truong chuyen khtn

Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Đề1 Bài : a) Tính : ( + 1)( − 1) b) Giải hệ phương trình : x − y =  x + y = Bài : Cho biểu thức :  x x − x x +  2( x − x + 1) A =  − ÷ ÷: x −1 x − x x + x   a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Bài : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô Bài : Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H · · a) Chứng minh : BMD , từ suy tứ giác AMHK nội tiếp = BAC b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2 Bài : Cho hai số a b khác thỏa mãn : 1 + = a b Chứng minh phương trình ẩn x sau có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = HƯỚNG DẪN Bài 3: Do ca nô xuất phát từ A với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa: =2 (h) Gọi vận tốc ca nô x (km/h) (x>4) 24 24 − 24 16 + =2⇔ + =2 x+4 x−4 x+4 x−4  x = 0(loai ) ⇔ x − 40 x = ⇔  &  x = 20 Theo ta có: Vận tốc thực ca nô 20 km/h -1- Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Bài 4: » = BD » (GT) → BMD · · a) Ta có BC (2 góc = BAC nội tiếp chắn cung nhau) · · → A, M nhìn HK góc * Do BMD = BAC → MHKA nội tiếp » = BD » ), OC = OD (bán b) Do BC = BD (do BC kính) → OB đường trung trực CD → CD ⊥ AB (1) Xét MHKA: tứ giác nội tiếp, ·AMH = 900 (góc nt chắn nửa đường tròn) → · HKA = 1800 − 900 = 900 (đl) → HK ⊥ AB (2) Từ (1) (2) → HK // CD B C D O H M K A S Bài 5:  x + ax + b = (*) ( x + ax + b)( x + bx + a ) = ⇔   x + bx + a = (**) (*) → ∆= (**) a2- 4b, Để PT có nghiệm → ∆ = b − 4a a − 4b ≥ ⇔ a ≥ 4b ⇔ Để PT có nghiệm b − 4a ≥ ⇔ 1 1 + ≥ + a b a b 1 1 1 11 1 1 ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔  + ÷≤ ⇔ ≤ 4a 4b 4a b a b 1 ≥ a b 1 ≥ b a (3) (4) Cộng với ta có: -2- (luôn với a, b) Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Đề Câu : a) Cho phương trình x − (m + 4m) x + 7m − = Định m để phương trình có nghiệm phân biệt tổng bình phương tất nghiệm 10 b) Giải phương trình: + = x ( x + 1) x + x +1 Câu : a) Cho góc nhọn α Rút gọn không dấu biểu thức : P = cos α − − sin α + b) Chứng minh: ( + 15 ) ( − ) − 15 = Câu : Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức : a + b + c +1 ≥ ( ab + bc + ca + a + b + c ) Khi đẳng thức xảy ? Câu : Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) điểm thứ hai E, F a) Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn c) Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ HƯỚNG DẪN Câu : a) Đặt X = x2 (X ≥ 0) Phương trình trở thành X − (m + 4m) X + 7m − = (1) Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt dương -3- Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng (m + 4m) − 4(7 m − 1) > ∆ >   ⇔  S > ⇔  m + 4m > (I) 7 m − > P >   2 Với điều kiện (I), (1) có nghiệm phân biệt dương X1 , X2 ⇒ phương trình cho có nghiệm x1, = ± X ; x3, = ± X ⇒ x12 + x22 + x32 + x42 = 2( X + X ) = 2(m + 4m) m = 2 Vậy ta có 2(m + 4m) = 10 ⇔ m + 4m − = ⇔  m = −5  Với m = 1, (I) thỏa mãn Với m = –5, (I) không thỏa mãn Vậy m = b)Đặt t = x + x + (t ≥ 1) Được phương trình + = 3(t − 1) t 3t2 – 8t – = ⇒ t = ; t = − (loại) Vậy x + x + = ⇒ x = ±1 Câu : a) P = cos2 α − − sin α + = cos α − cos α + P = cos α − 2cos α + (vì cosα > 0) P = (cos α − 1) P = − cos α (vì cosα < 1) b) ( + 15 ) ( − ) − 15 = ( − ) = Câu : ( a− b ) ( 5− ) (4+ ) 15 = ( (8−2 ) (4− 15 ) ( + 15 ) + 15 15 ) = ( 5− ) + 15 = ≥ ⇒ a + b ≥ ab Tương tự, a + c ≥ ac b + c ≥ bc a +1 ≥ a b +1 ≥ b c +1 ≥ c Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = -4- Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Câu : a)Ta có : ABC = 1v ABF = 1v ⇒ B, C, F thẳng hàng AB, CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy · · b) ECA (cùng chắn cung AE (O) = EBA Mà · ECA = ·AFD (cùng I E phụ với hai góc đối đỉnh) A · · · · ⇒ EBA hay EBI ⇒ Tứ giác BEIF nội = EFD = EFI tiếp c)Gọi H giao điểm AB PQ Chứng minh tam giác AHP PHB đồng dạng O O’ B C HP HA = ⇒ ⇒ HP2 = HA.HB HB HP D P H F Q Tương tự, HQ2 = HA.HB ⇒ HP = HQ ⇒ H trung điểm PQ Đề Câu 1: Cho biểu thức A= x +1− x x + x + x −1 x +1 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị x ABC) Vẽ đường tròn tâm (O') đường kính BC.Gọi I trung điểm AC Vẽ dây MN vuông góc với AC I, MC cắt đường tròn tâm O' D -5- Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng a) Tứ giác AMCN hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp? c) Xác định vị trí tương đối ID đường tròn tâm (O) với đường tròn tâm (O') Híng dÉn Câu 1: a) A có nghĩa b) A= ( c) A0  ⇒  2m − ⇒m  ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3  m < −  - 10 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Giải hai hệ ta : Nghiệm hệ : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị Bài a.Ta có CA = CM; DB = DM Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC ⊥ OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đường cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD ⇒ R2 = AC BD D b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp M · · · · ⇒ MCO = MAO ;MDO = MBO C ⇒ ∆COD : ∆AMB ( g g ) Chu.vi.VCOD OM = Chu.vi.VAMB MH1 Do : Do MH1 ≤ OM nên (MH1 ⊥ A AB) H B O OM ≥1 MH1 ⇒ Chu vi VCOD ≥ chu vi VAMB Dấu = xảy ⇔ MH1 = OM ⇔ M ≡ O Bài Ta có : ⇒ a− a + ⇒ a+b+ ⇒ 1 1    a − ÷ ≥ 0;  b − ÷ ≥ 2 2   1 ≥ 0; b − b + ≥ 4 ∀ Mặt khác   ( a + b) 1  ab ( a+ b ) ≥ 2a b + 2b a Bài Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp Gọi E giao điểm AD (O) Ta có: ∆ABD : ∆CED (g.g) ⇒ a,b>0 a + b ≥ ab > Nhân vế ta có : ( a + b ) ( a + b ) +  ≥ 2 a,b>0 1 ⇒ (a − a + ) + (b − b + ) ≥ ∀ 4 ≥ a+ b >0 ⇒ ( a + b) + M điểm cung VABC A BD AD = ⇒ AB.ED = BD.CD ED CD ⇒ AD ( AE − AD ) = BD.CD ⇒ AD = AD AE − BD.CD B - 19 - D E C »AB Một số đề ôn thi vào lớp 10 Lại có : Biên soạn: Đinh Văn Hưng ∆ABD : ∆AEC ( g g ) AB AD = ⇒ AB AC = AE AD AE AC ⇒ AD = AB AC − BD.CD ⇒ Đề Câu 1: Cho hàm số f(x) = x − 4x + a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f ( x) x2 − x ≠ ±2  x( y − 2) = ( x + 2)( y − 4) Câu 2: Giải hệ phương trình ( x − 3)(2 y + 7) = (2 x − 7)( y + 3)  Câu 3: Cho biểu thứcA =  x x +1 x −1       x −1 − x −1 :  x +    x   x −  với x > x ≠ a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 HƯỚNG DẪN - 20 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Câu 1a) f(x) = Biên soạn: Đinh Văn Hưng x − x + = ( x − 2) = x − 2 Suy f(-1) = 3; f(5) = b)  x − = 10  x = 12 f ( x) = 10 ⇔  ⇔  x − = −10  x = −8 c) A= x−2 f ( x) = x − ( x − 2)( x + 2) x+2 Với x > suy x - > suy A= Với x < suy x - < suy A=− x+2 Câu  x( y − 2) = ( x + 2)( y − 4)  xy − x = xy + y − x −  x − y = −4  x = -2 ⇔ ⇔ ⇔   ( x − 3)(2 y + 7) = (2 x − 7)( y + 3) 2 xy − y + x − 21 = xy − y + x − 21 x + y = y = Câu a) Ta có: A=  x x +1 x −1       x −1 − x −1 :  x +     ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1)  : − +  ( x − 1)( x + 1)   x − x −    x − x +1− x +1 x −1 b) A=3⇒ : x x −1 = − x +2 x −1 : x   x −  x x −1 = = x  = x −   x − x +1 x −1   x − x + x   : = −     x − x − x −     − x +2 x −1 ⋅ x −1 = x 2− x x 2− x = ⇒ 3x + x − = ⇒ x = x P Câu Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) a) A nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH CH = PB CB ; (1) E B Mặt khác, PO // AC (cùng vuông góc với AB) - 21 - O H C Một số đề ôn thi vào lớp 10 · ⇒ POB = ·ACB Biên soạn: Đinh Văn Hưng (hai góc đồng vị) ⇒ ∆AHC : ∆POB Do đó: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm AH b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) AH = 2EH ta có AH = (2 R − AH.CB AH.CB ) 2PB 2PB ⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB ⇔ AH = = 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 2 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R d − R 2.R d − R = 4(d − R ) + 4R d2 Câu Để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ > ⇔ (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ suy m ≠ 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có: 2m −   x1 + x = −  m −1  x x = ⇔   3x − 4x = 11   Giải phương trình 13 - 4m   x1 =  7m −   x1 = 26 - 8m  7m −  13 - 4m 3 − 26 - 8m = 11  13 - 4m 7m − −4 = 11 26 - 8m ta m = - m = 4,125 (2) - 22 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11 Đề 10 Câu 1: Cho P = x+2 x +1 + x x −1 x + x +1 x +1 x −1 - a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < với x ≥ x ≠ Câu 2: Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = (1); m tham số a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Câu 3: a/ Giải phương trình : x + b/ Cho a, b, c số thực thỏa mãn − x2 =2 a≥0   b≥0  :  a + 2b − 4c + =   2a − b + 7c − 11 = Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c Câu 4: Cho ∆ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp ∆BCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao? c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành HƯỚNG DẪN Câu 1: Điều kiện: x P= ≥ x ≠ x+2 x +1 + x x −1 x + x +1 - x +1 ( x + 1)( x − 1) - 23 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 = x+2 ( x )3 − = x + + ( x + 1)( x − 1) − ( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) = x− x ( x − 1)( x + x + 1) b/ Với x ⇔ ⇔ ⇔ Biên soạn: Đinh Văn Hưng ≥ + x +1 x + x +1 = - x −1 x x + x +1 x ≠ Ta có: P < x ⇔ x + x +1 x +1>0) < 3 x < x + x + ; ( x + x-2 x +1>0 ( x - 1)2 > ( Đúng x ≥ x ≠ 1) Câu 2:a/ Phương trình (1) có nghiệm ∆ ’ ≥ ⇔ (m - 1)2 – m2 – ≥ ⇔ – 2m ≥ ⇔ m ≤ b/ Với m ≤ (1) có nghiệm Gọi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta có:  a + 3a = 2m −   a.3a = m − m −1 m −1 ⇒ a= ⇒ 3( ) = m2 – 2 ⇔ m2 + 6m – 15 = ⇔ m = –3 ± ( thỏa mãn điều Câu 3: Điều kiện x ≠ ; – x2 > Đặt y = − x > Ta có: ⇔ x ≠ kiện) 0; x <  x + y = (1)  1  x + y = (2)  Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = xy = A K * Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phương trình: x2 – 2x + = ⇔ x = ⇒ x = y = 1 x+ y - =0 ⇔ * Nếu xy = x2 + x = -1 Khi x, y nghiệm phương trình: x= D −1 ± O - 24 - B C Một số đề ôn thi vào lớp 10 Vì y > nên: y = −1 + Biên soạn: Đinh Văn Hưng ⇒ x= −1 − Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = −1 − Câu 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang ⇔ AB // CK Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành ⇔ ·ACK = sđ » EC · · Nên BCD = BAC Mà = » sđ BD = · BAC = ·ACK · DCB · · = BAC Dựng tia Cy cho BCy Khi đó, D giao điểm » BCA · · · Với giả thiết »AB > BC > BAC > BDC ⇒ D ∈ AB Vậy điểm D xác định điểm cần tìm »AB Cy Đề 11 Câu 1: a) Xác định x ∈ R để biểu thức :A = b Cho biểu thức: P = x xy + x + + x2 +1 − x − y yz + y + + x2 +1 − x z zx + z + Là số tự nhiên Biết x.y.z = , tính P Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a Chứng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC Câu3 Giải phương trình: x − − − x = Câu Cho đường tròn (O;R) điểm A cho OA = R Vẽ tiếp tuyến · = 45° cắt đoạn thẳng AB AC D E AB, AC với đường tròn Một góc xOy Chứng minh rằng: a.DE tiếp tuyến đường tròn ( O ) b R < DE < R HƯỚNG DẪN Câu 1: a - 25 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 A= x2 +1 − x − Biên soạn: Đinh Văn Hưng x +1 + x ( x + − x).( x + + x) 2 A số tự nhiên ⇔ -2x = x + − x − ( x + + x ) = −2 x số tự nhiên ⇔x = k (trong k ∈ Z k ≤ ) b.Điều kiện xác định: x,y,z ≥ 0, kết hpọ với x.y.z = ta x, y, z > Nhân tử mẫu hạng tử thứ với x ; thay mẫu hạng tử thứ được: P= x xy + x + + xy xy + x + + z z ( x + + xy = x + xy + xy + x + xyz = xyz ta =1 P > Câu 2: a.Đường thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đường thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đường thẳng AB y = 2x + Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đường thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đường thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàn b.Ta có : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ∆ABC vuông C ⇒ P =1 Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC = 10 10 = Câu 3: Đkxđ x ≥ 1, đặt x − = u; ( đơn vị diện tích ) 2− x = v ta có hệ phương trình: u − v =  u + v = Giải hệ phương trình phương pháp ta được: v = ⇒ x = 10 Câu B a.Áp dụng định lí Pitago tính AB = AC = R ⇒ ABOC hình D vuông Kẻ bán kính OM cho M ∠BOD = ∠MOD ⇒ A E ∠MOE = ∠EOC (0.5đ) - 26 - O C Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Chứng minh ∆BOD = ∆MOD ⇒ ∠OMD = ∠OBD = 900 Tương tự: ∠OME = 900 ⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đường tròn (O) b.Xét ∆ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta được: 3DE > 2R Vậy R > DE > ⇒ DE > R R Đề 12 CÂU : Tính giá trị biểu thức: A= 3+ + 5+ + + .+ 7+ 3333 35 43 97 + 99 B = 35 + 335 + 3335 + + 99 so′ˆ CÂU :Phân tích thành nhân tử : a)x2 -7x -18 b)(x+1) (x+2)(x+3)(x+4) c)1+ a5 + a10 CÂU : a)Chứng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) b)áp dụng : cho x+4y = Tìm GTNN biểu thức : M= 4x + 4y2 CÂU : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đường thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q a)Chứng minh DM.AI= MP.IB b)Tính tỉ số : MP MQ CÂU 5: Cho P = x − 4x + 1− x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức HƯỚNG DẪN CÂU : a) A = 3+ + 5+ + 7+ + .+ 97 + 99 - 27 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 ( 5− 3+ = Biên soạn: Đinh Văn Hưng 7− 5+ 9− 7+ .+ 99 − 97 ) = ( 99 − ) 43 = b) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35 ˆ3 99 so′ =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + B=  10101 − 10  27     +165 CÂU 2: a)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1đ) b)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) c) a10+a5+1= = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) CÂU 3: a) Ta có : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) a2b2+2abcd+c2d2 ≤ a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 ≤ a2d2 - 2cbcd+c2b2 ≤ (ad - bc)2 (đpcm ) Dấu = xảy ad=bc b) áp dụng đẳng thức ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) ≤ (x2 + y2) (1 + 16) ⇒ x2 + y2 ≥ CÂU : Ta có : 25 ⇒ 17 4x2 + 4y2 100 17 ≥ · DMP = ·AMQ = ·AIC DM MP = ⇒ DM ×IA = MP ×CI CI IA · Ta có: ·ADC = CBA dấu = xảy Mặt khác góc x= 20 ;y= 17 17 ·ADB = BCA · ⇒ ∆MPD : ∆ICA ⇒ hay DM.IA=MP.IB - 28 - (1) Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng · · DMQ = 180° − ·AMQ = 180° − ·AIM = BIA Do ∆DMQ : BIA ⇒ DM MQ = ⇒ DM.IA=MQ.IB (2) BI IA MP Từ (1) (2) ta suy MQ = CÂU Để P xác định : x2-4x+3 ≥ 1-x >0 Từ 1-x > => x < Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có : (x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa Với x < Ta có : P= x − 4x + 1− x = ( x − 1)( x − 3) 1− x = 3− x Đề 13 Câu : a Rút gọn biểu thức A = b Tính giá trị tổng Câu : Cho pt 1+ B = 1+ 1 + a ( a + 1) Với a > 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 100 x − mx + m − = a Chứng minh pt luôn có nghiệm với b Gọi x1 , x hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN bt P= Câu : Cho x ≥ 1, ∀m y ≥1 x1 x + x1 + x + 2( x1 x + 1) 2 Chứng minh 1 + ≥ 2 + xy 1+ x 1+ y Câu Cho đường tròn tâm O dây AB M điểm chuyển động đường tròn, từM kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi E F hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với è cắt dây AB D Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn - 29 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Chứng minh MA AH AD = MB BD BH HƯỚNG DẪN Câu a Bình phương vế c ⇒ A= a2 + a +1 a ( a + 1) (Vì a > 0) Áp dụng câu a A = 1+ 1 − a a +1 9999 = 100 100 cm ∆ ≥ ∀m ⇒ B = 100 − Câu a : B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:  x1 + x = m 2m + ⇒P=  m +2  x1 x = m − 1 ⇒ − ≤ P ≤1 ⇒ GTLN = − ⇔ m = −2 GTNN = ⇔ m = (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn Câu : Chuyển vế quy đồng ta bđt x( y − x ) y( x − y ) + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ⇔ ( x − y ) ( xy − 1) ≥ xy ≥ ⇔ ( ) ( ) Câu 4: a - Kẻ thêm đường phụ - Chứng minh MD đường kính (o) E' => E b Gọi E', F' hình chiếu D MA MB.A Đặt HE = H1 - 30 - M o F F' D B H I Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng HF = H2 AH AD HE.h1 MA = BD BH HF h2 MB ⇔ ∆HEF ∞ ∆DF ' E ' ⇒ HF h2 = HE.h (1) ⇒ Thay vào (1) ta có: MA AH AD = MB BD BH Đề 14 Câu 1: Cho biểu thức D =  a+ b a + b   a + b + 2ab  +   : 1+ − ab  + ab    − ab a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2− c) Tìm giá trị lớn D Câu 2: Cho phương trình 2− x2- mx + 2− m2 + 4m - = (1) a) Giải phương trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoã mãn 1 + = x1 + x x1 x Câu 3: Cho tam giác ABC đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Chứng minh AI = 2bc.Cos b+c α Aˆ = α (α = 90 ) (Cho Sin2 α = 2SinαCosα ) Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm N di động nửa đường tròn cho   NA ≤ NB Vễ vào đường tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đường thẳng NP qua điểm cố định Q b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp - 31 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng c) Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = x + y + z = -1 Hãy tính giá trị của: B= xy zx xyz + + z y x HƯỚNG DẪN Câu 1: a) - Điều kiện xác định D a ≥  b ≥ ab ≠  - Rút gọn D D=  a + 2b a   a + b + ab    :   − ab   − ab  D= a a +1 b) a = 2+ Vậy D = = 2(2 + = ( + 1) ⇒ a = + 1 2+2 3−2 = +1 − 3 c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có a ≤ a +1⇒ D ≤ Vậy giá trị D Câu 2: a) m = -1 phương trình (1) ⇔ x + x − = ⇔ x + 2x − = 2  x = −1 − 10 ⇒  x = −1 + 10 b) Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ m + 4m − ≠ ( ) Để phương trình có nghiệm khác m1 ≠ −4 − * ⇒ m2 ≠ −4 +  x + x2 = 1 + = x1 + x ⇔ ( x1 + x )( x1 x − 1) = ⇔  x1 x  x1 x − = ⇔ + + - 32 - ( ) * Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng m = 2 m =  ⇔ ⇔ m = −4 − 19 m + 8m − =  m = −4 + 19 Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta m = Câu 3: + S ∆ABI = m = −4 − 19 α AI cSin ; 2 A α + S ∆AIC = AI bSin ; + S ∆ABC = bcSinα ; S ∆ABC = S ∆ABI + S ∆AIC ⇒ bcSinα = AISin a α (b + c) B 2bcCos α α 2 I b C c α bcSinα = α b+c Sin (b + c) Câu 4: a) Nˆ = Nˆ Gọi Q = NP ∩ (O) ) ) ⇒ QA = QB Suy Q cố định b) Aˆ = Mˆ (= Aˆ ) ⇒ AI = 1 ⇒ Tứ giác ABMI nội tiếp c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF N ⇒ ∆ ABF vuông A ⇒ Bˆ = 45 ⇒ AFˆB = 45 ˆ ˆ Lại có P1 = 45 ⇒ AFB = P1 ⇒ Tứ giác APQF nội tiếp ⇒ APˆ F = AQˆ F = 90 Ta có: APˆ F + APˆ M = 90 + 90 = 180 ⇒ M1,P,F Thẳng hàng Câu 5: Biến đổi B = xyz  1  + + y z x A M I 1 P   =  = xyz =2 xyz  Q F - 33 - B [...]... (0.5đ) - 26 - O C Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Chứng minh ∆BOD = ∆MOD ⇒ ∠OMD = ∠OBD = 900 Tương tự: ∠OME = 900 ⇒ D, M, E thẳng hàng Do đó DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) b.Xét ∆ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng từng vế ta được: 3DE > 2R Vậy R > DE > ⇒ DE > 2 R 3 2 R 3 Đề 12 CÂU... và một điểm A sao cho OA = R 2 Vẽ các tiếp tuyến · = 45° cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E AB, AC với đường tròn Một góc xOy Chứng minh rằng: a .DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) 2 b 3 R < DE < R HƯỚNG DẪN Câu 1: a - 25 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 A= x2 +1 − x − Biên soạn: Đinh Văn Hưng x +1 + x 2 ( x + 1 − x).( x + 1 + x) 2 2 A là số tự nhiên ⇔ -2x = x 2 + 1 − x − ( x 2 + 1 + x ) = −2... ôn thi vào lớp 10 Vì y > 0 nên: y = −1 + 3 2 Biên soạn: Đinh Văn Hưng ⇒ x= −1 − 3 2 Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = −1 − 3 2 Câu 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang ⇔ AB // CK Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành ⇔ ·ACK = 1 sđ » EC 2 · · Nên BCD = BAC Mà = 1 » sđ BD 2 = · BAC = ·ACK · DCB · · = BAC Dựng tia Cy sao cho BCy Khi đó, D là giao điểm của » thì BCA · · · Với giả thi t... BD = R2 b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất - 17 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Bài 5.Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng : ( a + b) 2 + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC HƯỚNG DẪN Bài 1 Từ giả thi t ta có :  x2 + 2 y + 1 = 0  2  y + 2z +1 = 0 z 2 + 2x + 1 = 0  Cộng từng vế các... Từ đó suy ra m ≠ 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thi t ta có: 2m − 1   x1 + x 2 = − 2  m −1  x 1 x 2 = ⇔  2  3x 1 − 4x 2 = 11   Giải phương trình 3 13 - 4m   x1 = 7  7m − 7   x1 = 26 - 8m  7m − 7  13 - 4m 3 7 − 4 26 - 8m = 11  13 - 4m 7m − 7 −4 = 11 7 26 - 8m ta được m = - 2 và m = 4,125 (2) - 22 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Đối chiếu điều kiện... đường kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I là trung điểm của MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi - 15 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định HƯỚNG DẪN Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng 2) Chọn D Kết quả khác: Đáp số là: 1 Bài 2... ADM có MA AB 1 AB 4 · MAB AD MA 1 = = 2 MB MA ∆ABM : ∆ADM ⇒ = =2 MD AD (chung) D A MD = 2MD Xét ba điểm M, D, C : MD + MC ≥ DC (không đổi) MB + 2 MC = 2( MD + MC ) ≥ 2 DC Do đó - 16 - M C Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng ⇔ Dấu "=" xảy ra M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC * Cách dựng điểm M - Dựng đường tròn tâm A bán kính - Dựng D trên tia Ax sao cho AD...Một số đề ôn thi vào lớp 10 b Giải phương trình: ( m − 2) 3 Biên soạn: Đinh Văn Hưng − (m + 3) = 50 3 ⇔ 5(3m 2 + 3m + 7) = 50 ⇔ m 2 + m − 1 = 0  −1+ 5 m1 =  2 ⇔ m = − 1 − 5  2 2 Bài 3: a) Vì x1 là nghiệm của... 72 = 0 ⇒ X 1 = 12; X 2 = 6 u = 12 ⇒ v = 6 ; u = 6  v = 12  x ( x + 1) = 12 ⇒   y ( y + 1) = 6 ;  x ( x + 1) = 6   y ( y + 1) = 12 - 18 - u ; v là nghiệm của phương trình : Một số đề ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị Bài 4 a.Ta có CA = CM; DB = DM Các tia OC và OD là phân giác... + ) + (b − b + ) ≥ 0 ∀ 4 4 1 ≥ a+ b >0 2 ⇒ ( a + b) + M là điểm chính giữa của cung VABC A BD AD = ⇒ AB.ED = BD.CD ED CD ⇒ AD ( AE − AD ) = BD.CD ⇒ AD 2 = AD AE − BD.CD B - 19 - D E C »AB Một số đề ôn thi vào lớp 10 Lại có : Biên soạn: Đinh Văn Hưng ∆ABD : ∆AEC ( g g ) AB AD = ⇒ AB AC = AE AD AE AC ⇒ AD 2 = AB AC − BD.CD ⇒ Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x 2 − 4x + 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) ... DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta được: 3DE > 2R Vậy R > DE > ⇒ DE > R R Đề 12 CÂU : Tính giá trị biểu thức:... ôn thi vào lớp 10 Biên soạn: Đinh Văn Hưng Chứng minh ∆BOD = ∆MOD ⇒ ∠OMD = ∠OBD = 900 Tương tự: ∠OME = 900 ⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đường tròn (O) b.Xét ∆ADE có DE < AD +AE mà DE. .. E AB, AC với đường tròn Một góc xOy Chứng minh rằng: a .DE tiếp tuyến đường tròn ( O ) b R < DE < R HƯỚNG DẪN Câu 1: a - 25 - Một số đề ôn thi vào lớp 10 A= x2 +1 − x − Biên soạn: Đinh Văn Hưng