PP Khảo sát hàm số

Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (Phần I) Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) − Tính đạo hàm giá trị f ' ( x0 ) − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 − Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = , đó: − Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a a − Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) − Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A  f ' ( x ) = k − Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) hệ phương trình sau phải có nghiệm:  Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với  f ( x ) = g ( x ) hệ sau có nghiệm   f ' ( x ) = g ' ( x ) Cho hàm số y = x − x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): i Tại điểm có hoành độ x = ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 = iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x + 24 y + 2009 = − x2 − x + có đồ thị (C) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;−1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = −13 x2 − x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) x +1 Cho hàm số y = Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) x + 3x + Cho hàm số y = có đồ thị (C) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b Chứng minh qua điểm M(−3;1) kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho hai tiếp tuyến vuông góc với x2 Cho hàm số: y = có đồ thị (C) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Tìm M ∈ (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng qua M tâm đối xứng (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác m > ∆g = m − > ⇔ ⇔  m < −2  g ( ) = ≠  S = xB + xC = −m Vì xB , xC nghiệm g(x) = ⇒   P = xB xC = Tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = −1 ⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC 9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m  = −1 ⇔ 9 + 6m ( − m ) + 4m  = −1 ⇔ 2m = 10 ⇔ m = ± (nhận so với điều kiện) x2 + Cho hàm số y = Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp x tuyến vuông góc Lời giải: Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0 x2 + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: = k ( x − x0 ) + y0 , ( kx ≠ ) x ⇔ ( − k ) x − ( y0 − kx0 ) x + = ( *) k ≠  k ≠  ⇔  x02 k + ( − x0 y0 ) k + y02 − = d tiếp xúc với (C): ⇔   ∆ = ( y0 − kx0 ) − ( − k ) =  y ≠ kx  ( I)  k1 , k2 ≠ Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:   k1k2 = −1 x ≠   x0 ≠  y02 −  ⇔  = −1 ⇔  x02 + y02 =  x0 y ≠ x   ( y0 − x0 ) ≠ Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn: x + y = loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y = (ĐH Khối−D 2007) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB   ĐS: M  − ; −2 ÷ M ( 1;1)   x2 + x − Cho hàm số y = (ĐH Khối−B 2006) x+2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: b y = − x ± 2 − m 10 Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y = x3 − x + (*) (m tham số) (ĐH Khối−D 2005) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x − y = ĐS: m=4 11 Cho hàm số y = x3 − 3mx − x + 3m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành 12 Cho hàm số y = x + x3 + ( m − 1) x − x − m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành 13 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x2 − Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp x +1 tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − x + Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 16 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 17 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH Khối−B 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) y f(x)=4x^3-6x^2+1 Lời giải: a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = ⇔ x = hay x = 23 461 =−+ yx BBT : x y' y −∞ + −∞ 0 CĐ − +∞ -7 -5 -4 -3 -2 x -1 + +∞ CT −1 b Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – ⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) ⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – = Tư liệu giáo viên -6 -2 -4 -6 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số ⇔ x = –1 hay x =   15 ; y’(−1) = 24; y '  ÷ = 4 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 21 x− 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y = f ( x ) ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: − Nghiệm phương trình f ' ( x ) = hoành độ điểm cực trị  f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực đại x = x0  f '' ( x0 ) < − Nếu   f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực tiểu x = x0  f '' ( x0 ) > − Nếu  Một số dạng tập cực trị thường gặp − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành  a ≠ ⇔  ∆ y ' > ⇔ yCĐ yCT < ⇔ xCĐ xCT <  yCĐ + yCT > ⇔  yCĐ yCT >  yCĐ + yCT < ⇔  yCĐ yCT > ⇔ yCĐ yCT = Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y = ax + bx + cx + d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị ax + bx + c Dạng 2: Hàm số y = dx + e ax + bx + c ' 2a b Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = = x+ d d ( dx + e ) ' ( Chứng minh hàm số y = ( ) ) x + m m2 − x − m4 + x−m có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm đường thẳng y=2x Cho hàm số y = x − mx + ( m + ) x − Định m để: a Hàm số có cực trị b.Có cực trị khoảng ( 0; +∞ ) c Có hai cực trị khoảng ( 0; +∞ ) ( ) Định m để hàm số y = x − 3mx + m − x + b − 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x −3x +3mx+3m+4 Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y = x − 3mx + x + 3m − Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x + ( m + 1) x − m + Cho hàm số y = Chứng minh đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với x−m m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Cho hàm số y = x + ( − 2m ) x + ( − m ) x + m + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ x + 2mx + − 3m Cho hàm số y = Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục x−m tung Cho hàm số y = x − mx + ( 2m − 1) x − m + ( Cm ) Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương x + ( m + 1) x + m + 4m 10 Cho hàm số y = (1) (ĐH Khối−A năm 2007) x+2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=−1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m = −4 ± ( ) 2 11 Cho hàm số y = − x − 3x + m − x − 3m − (1), m tham số (ĐH Khối−B năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ ĐS : b m = ± ( ) 2 12 Cho hàm số y = mx + m − x + 10 (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị f(x)=x^4-8x^2+10 10 y (ĐH Khối−B năm 2002) x -30 -25 -20 -15 -10 -5 -5  m < −3 0 < m <  -10 -15 a b ĐS : x + ( m + 1) x + m + 13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = (*) (m tham số) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Tư liệu giáo viên -20 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số y f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t x -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 MN = L = 20 -4 -6 -8 -10 a b CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒ Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN− NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định miền D − f(x) đồng biến D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀x ∈ D − f(x) nghịch biến D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀x ∈ D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c Nếu ∆ < f(x) dấu với a b b Nếu ∆ = f(x) có nghiệm x = − f(x) dấu với a x ≠ − 2a 2a Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số ∆ > ∆ >   * x1 < x2 < ⇔  P > * < x1 < x2 ⇔  P > S < S >   * x1 < < x2 ⇔ P < Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 1) x + Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) Xác định m để hàm số y = x3 mx − − 2x + a Đồng biến R b Đồng biến ( 1; +∞ ) Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( 12m + ) x + a Định m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) b Định m để hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) Cho hàm số y = mx + x − Định m để hàm số nghịch biến [1;+∞ ) x+2 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đương với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) điểm chung (1) có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 ⇔ (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Cho hàm số y = ( x − 1) có đồ thị (C) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − ( m + ) x − m + = Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 ( ) b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − − 2m + = Cho hàm số y = x + kx − a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3 + kx − = có nghiệm Cho hàm số y = x − x + (ĐH Khối−D 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m > , m ≠ 24 − x + 3x − y = Cho hàm số (1) (ĐH Khối−A 2004) ( x − 1) a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1± ĐS: b m = mx + x + m Cho hàm số y = (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2003) x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=−1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dương ĐS: b − < m < x2 − x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = (1) (ĐH Khối−D 2003) x−2 b Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + − 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m tham số) (ĐH Khối−A 2002) a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số  −1 < k < ĐS: b  , c y = x − m + m k ≠ ∧ k ≠  Tư liệu giáo viên ... để hàm số y = x − 3mx + m − x + b − 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x −3x +3mx+3m+4 Tư liệu giáo viên Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số cực... Cho hàm số y = ( x − 1) có đồ thị (C) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − ( m + ) x − m + = Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị (C) a Khảo sát. .. Cho hàm số (1) (ĐH Khối−A 2004) ( x − 1) a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1± ĐS: b m = mx + x + m Cho hàm số y = (*) (m tham số)