Dãy fibonacci Những điều bí ẩn và lý thú

Dãy số Fibonacci – điều bí ẩn lý thú… « Maths Physics & more… Dãy số Fibonacci đặc biệt người Ý tên Leonardo Fibonacci công bố năm 1202 biến hóa vô tận Chính điều đó, thu hút nhiều quan tâm làm say mê nghiên cứu, khám phá tính chất Leonardo Fibonacci Vậy dãy số Fibonacci dãy số nào? Ban đầu, ông Fibonacci xét toán sau: (1170 – 1240) Giả sử có cặp thỏ mắn đẻ cuối tháng lại sinh cặp Nếu cặp lại đẻ sau tháng bị chết sau năm có cặp thỏ? Và tiền thân dãy số xác định cách liệt kê phần tử sau: 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … Trong đó: phần tử nằm dãy số luôn tổng số liền trước Nếu lấy tổng hay hiệu số liên tiếp bạn dãy số tương tự Vậy dãy số Fibonacci có đặc biệt? Này nhé: Điều đặc biệt đầu tiên: Gọi An số hạng thứ n dãy số, ta có: An x An+1 = An-1 x An+2 ± An x An+1 = An-2 x An+3 ± An x An+1 = An-3 x An+4 ± An x An+1 = An-4 x An+5 ± 15 Chúng ta thử lại đẳng thức cách chọn số An (An số vị trí thứ n chuỗi), chẳng hạn 34 Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 Ta có: 34 x 55 = 21 x 89 + Các đẳng thức áp dụng toàn dãy số Lấy cặp số khác, chẳng hạn x = (2 x ) – Nếu lấy thêm ví dụ khác nữa, bạn nhận n số chẵn ta cộng Nếu n số lẻ ta trừ Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai: An x An+1 = An-2 x An+3 ± Chọn An = 8, x 13 = x 34 + Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 – Cũng tương tự ta trường hợp An= n =6 (chẵn) nên cộng 2, An = 34 n = (lẻ), trừ Những đẳng thức lại kiểm chứng dễ dàng theo cách tương tự Chú ý rằng, số trên, số mà thêm hay bớt theo thứ tự là: ±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104 … Hiệu số số là: 25 64 … Hay: 12 22 32 52 82 Đây lại điều thú vị nữa, từ kết ta thấy hiệu số thêm vào (hay bớt đi) đẳng thức không khác bình phương số hạng dãy Fibonacci Điều bất ngờ kế tiếp: Chúng ta tiếp tục xét thử lại đẵng thức sau: Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác: Bây giờ, bạn đem nhân đôi số hạng trừ số hạng kết số hạng đứng trước vị trí: Này nhé: với A5 = 5: x – = = A3 Điều thú vị có tên bình phương: Bây từ dãy Fibonacci ta tạo dãy cách đem bình phương số hạng có dãy Với dãy Fibonacci: 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … Ta có dãy số là: 1 25 64 169 441 1156 3025 7921 20736 54289 … (*) Bây giờ, cộng cặp số liên tiếp dãy số Ta có: 13 34 89 233 610 1597 … dãy số sau số có mặt dãy Fibonacci vị trí lẻ Tiếp theo, từ dãy số bình phương (*), ta lấy hiệu hai số cách số giữa, ta tiếp tục có: 21 55 144 377 987 … số có mặt dãy Fibonacci vị trí chẵn Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm: Nếu bạn biết điều thú vị sau dãy Fibonacci bạn luôn thắng đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số Và, thế, trò chơi thường gọi tên tính nhẩm Fibonacci Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, gạch số cột Tổng số nằm phía đường kẻ luôn số hạng thứ sau đường kẻ trừ Giả sử bạn gạch số 21 tổng số phía đường kẻ : + + + + + + 13 + 21 = 54 Còn số hạng đứng đường kẻ vị trí 55 Hay bạn gạch số 233 chắn tồng chữ số từ số vị trí đến số 233 phải 610 – = 609 Do vậy, trò chơi chắn làm ngơ ngẩn không quen thuộc với dãy số Fibonacci Các số dường chọn ngẫu nhiên, bí mật trò ảo thuật nằm chỗ đáp số luôn số thứ hai sau trừ Định lý Pitagore dãy Fibonacci (F): Bây giờ, ta ký hiệu số liên tiếp dãy F a, b, c, d gọi n vị trí a dãy số ta có công thức tuyệt đẹp liên quan đến định lý Pitagore tiếng Đó là: Hay ta có: Đây phương trình đặc biệt, khám phá Tiến sĩ Jekuthiel Ginsburg Chúng ta thử kiểm chứng lại kết Ví dụ ta chọn dãy số liên tiếp 13 21 Ở n = Ta có: Rõ ràng, số 233 số vị trí 2.5 + = 13 dãy (F) Bạn kiểm chứng lại kết dãy số liên tiếp dãy (F) Vậy luôn có tam giác vuông ới độ dài cạnh tạo nên từ số có mặt dãy (F) Lại điều thú vị khám phá TS Jekuthiel Ginsburg: TS Jekuthiel Ginsburg nghiên cứu dãy (F) ông tìm điều đặc biệt Số 89 vị trí thứ 11 dãy (F) số vô quan trọng Bởi lẽ, Số nghịch đảo tổng tất số dãy (F) Điều giải thích viết sau: Lại điều kỳ thú dãy (F) khám phá TS Jekuthiel Ginsburg: Ông cho biết: Trong số liên tiếp dãy (F) tổng lập phương số lớn trừ lập phương số nhỏ luôn số dãy (F) Ta thử kiểm chứng với số liên tiếp Giả sử: 13 Ồ ! 2584 số vị trí thứ 18 dãy Fibonacci Ngạc nhiên chưa!!! Dãy Fibonacci chứa đựng tỷ số vàng: Bạn nghe đến “tỷ số vàng” chưa? Đó số tỷ lệ Tỷ lệ có từ hình chữ nhật có tính chất đặc biệt với độ thẩm mỹ thú vị “Hình chữ nhật với chiều rộng 1, chiều dài x Khi lấy hình vuông có cạnh hình chữ nhật lại có tỷ lệ so với hình chữ nhật ban đầu” Vì hình chữ nhật có chiều rộng x – chiều dài nên tương đương tỷ lệ có nghĩa là: Từ đó, ta có “tỷ số vàng” rộng rãi lĩnh vực xây dựng mỹ thuật Hiện nay, Tỷ lệ nàyđược sử dụng Trở lại với dãy số Fibonacci Thật kỳ lạ thấy tỷ số có mặt suốt dãy Thật vậy, nhân số dãy với tỷ số vàng , bạn tiến lúc xác đến giá trị số Này nhé: x 1.618033989… = 1.618033989 89 x 1.618033989… = 144.005025 = = – 0.381966011 144 + 0.005025 x 1.618033989… = 3.236067977 144 x 1.618033989… = 232.9968944 = + 0.236067977 = 233 – 0.003105622 x 1.618033989… = 4.854101966 233 x 1.618033989… = 377.0019194 = – 0.145898033 = 377 + 0.0019194 x 1.618033989… = 8.090169944 377 x 1.618033989… = 609.9988138 = + 0.090169944 = 610 – 0.001186246 x 1.618033989… = 12.94427191 610 x 1.618033989… = 987.0007331 = 13 – 0.05572809 = 987 + 0.0007331 13 x 1.618033989… = 21.03444185 987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 21 + 0.03444185 = 1597 – 0.00045312 21 x 1.618033989… = 33.97871376 987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 34 – 0.021286236 = 1597 – 0.00045312 34 x 1.618033989… = 55.01315562 1597 x 1.618033989… = 2584.00028 = 55 + 0.01315562 = 2584 + 0.00028 55 x 1.618033989… = 88.99186938 = 89 – 0.008130619 ………………………………… ... 5: x – = = A3 Điều thú vị có tên bình phương: Bây từ dãy Fibonacci ta tạo dãy cách đem bình phương số hạng có dãy Với dãy Fibonacci: 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … Ta có dãy số là: 1 25... 987 … số có mặt dãy Fibonacci vị trí chẵn Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm: Nếu bạn biết điều thú vị sau dãy Fibonacci bạn luôn thắng đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số Và, thế, trò chơi... chơi chắn làm ngơ ngẩn không quen thuộc với dãy số Fibonacci Các số dường chọn ngẫu nhiên, bí mật trò ảo thuật nằm chỗ đáp số luôn số thứ hai sau trừ Định lý Pitagore dãy Fibonacci (F): Bây giờ,