Sở Giáo dục ðào tạo Thanh Hóa Trường THPT chuyên Lam Sơn ðÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI B - D (07/05/2011) Câu Nội dung ðiểm Tập xác ñịnh D = ℝ \ {−1} 0,25 + lim+ y = +∞ ; lim− y = −∞ nên ñồ thị có tiệm cận ñứng x = -1 x →−1 x →−1 + lim y = lim y = nên ñồ thị có tiệm cận ngang y = ; y ' = x →−∞ x →+∞ −2 ( x + 1) < 0, ∀x ≠ −1 0,25 nên hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ;-1) (-1;+∞ ); cực trị 0,25 Câu I.1 (1,0 ñ) ðồ thị : x = ⇒ y = y = ⇒ x = -2 ðồ thị qua ñiểm : (1;3), (-3;1) nhận ñiểm I(-1;2) làm tâm ñối xứng 0,25 + Tiếp tuyến (∆) (H) M có hệ số góc k ⇒ dạng phương trình (∆) : y = kx + m + (∆) (d): y = 3x +1 có véc tơ pháp tuyến n∆ = ( k ; −1) , nd = ( 3; −1) Câu I.2 (1,0 ñ) ( + Góc (∆) (d) 450 nên cos n∆ ; nd ) = cos 45 ⇔ 3k + k + 10 = ⇔ 2k2 +3k - = ⇔ k = -2 k = 1/2 + k = 1/ , ý nghĩa hình học ñạo hàm ⇒ 1/ = y ' ( xM ) = → M + k = -2 có −2 = ⇔ ( xM + 1) = ⇔ xM = 0; xM = −2 → M(0;4) M(-2;0) Câu II.1 (1,0 ñ) ðiều kiện : cos2x ≠ 0; sinx ≠ 0; cosx ≠ sinx ⇔ cos2x ≠ 0; sinx ≠ (*) sin x cos x cos x Khi ñó phương trình tương ñương với : + = cos x sin x cos x − sin x ⇔ ( sin x.sin x + cos x.cos x ) ( cos x − sin x ) = cos x.cos x.sin x ⇔ cos x ( cos x − sin x ) = cos x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) sin x ⇔ cos x = cos x ( cos x + sin x ) sin x (do cos x − sin x ≠ 0) ⇔ cos x 1 − ( cos x + sin x ) sin x = ( ) ⇔ cos x cos x − cos x.sin x = ⇔ cos x 1 − cos x.sin x − sin x = ⇔ cos x ( cos x − sin x ) = ⇔ cos x = (do cos x − sin x ≠ 0) ⇔ x = π / + kπ , k ∈ Z thỏa mãn (*) Trang 1/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung 0 < x − ≠ ðiều kiện ⇔ < x ≠ (*) 0 < x − ≠ ðiểm ( ñó 6x - > 8) 0,25 − ≥0 Với ñiều kiện (*), bất phương trình tương ñương với log ( 3x − ) log ( x − ) log ( x − ) − log ( 3x − 5) ⇔ log ( 3x − ) log ( x − ) Câu II.2 (1,0 ñ) ≥0 ⇔ log ( x − ) − log ( 3x − 5) log ( 3x − 5) ( với ñiều kiện (*) log ( x − ) > ) ≥ (1) 0,25 Trên miền x > 2, ta có log ( 3x − ) > nên (1) ⇔ log ( x − ) − log ( 3x − 5) ≥ ⇔ x − ≥ ( x − ) ⇔ 0,25 ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 3, kết hợp ñiều kiện x > ta có < x ≤ Trên miền / < x < , ta có log ( 3x − ) < nên (1) ⇔ log ( x − ) − log ( 3x − ) ≤ ⇔ x − ≤ ( x − ) ⇔ 0,25 ⇔ x − x + ≥ ⇔ x ≤ x ≥ không thỏa mãn ñiều kiện ñang xét Vậy tập nghiệm S = ( 2;3] ( ) + x x − = 10 ⇔ x3 − x − 100 = ( x ≥ ) ⇔ ( x − ) x + x + 20 = ⇔ x = + Miền (D) hình thang cong OABC với O ( 0;0 ) , A ( 0;10 ) , B ( 5;10 ) , C (1; ) 0,25 ⇒ hình chiếu B Ox H ( 5; ) Câu III V = VOABH − VCBH , ñó VOABH , VCBH thể tích khối tròn xoay hình chữ nhật OABH tam giác cong CBH quay xung quanh trục Ox + Công thức thể tích hình trụ ⇒ VOABH = π OA2 OH = π 10 2.5 = 500π (1,0ñ) ( ) ( 0,25 0, 25 ) VCBH = π ∫ x x − dx = π ∫ x − x dx 1 x x3 344π =π − = 1 344π 1156π ⇒ V = 500π − = (ñvtt) 3 + Hạ SH ⊥ (ABCD) H , có SA = SB = SD ⇒ HA = HB = HD (các hình chiếu có ñường xiên nhau) ; ∆ABD vuông A nên H trung ñiểm BD + BD = 1 a.a 11 a 11 + Vc = dt ( ∆ABD ) SH = a = 3 + Hạ HI ⊥ CD I , theo ñịnh lý ba ñường vuông góc ta có CD ⊥ SI ⇒ SI khoảng cách cần tìm + ∆HID ⇒ HI = HD.sin HID = a 3.sin 600 = + ∆SHI ⇒ SI = SH + HI = = Trang 2/4 0,25 AB + AD = 12a ⇒ HD = a ⇒ SH = SD − HD = 4a − 3a = a Câu IV (1,0ñ) 0, 25 a 13 3a 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung + ðặt ta có x − = a, y + = b với a,b ≥ Giả thiết x + y − = ( x − + y +1 ) a + b = ( a + b ) + ⇔ ( a + b ) − ( a + b ) = 2ab + (1) ðiểm 0,25 1 Bài toán trở tìm Max, M = + với ñiều kiện (1) a,b ≥ a +1 b +1 + Lại ñặt a + b = S , ab = P ðiều kiện (1) ⇒ a + b = S + S − S − = P (1') + Kết hợp (1') ñiều kiện phương trình t − St + P = có nghiệm không âm S ≥ S − 4S − S ≥ P ; S ≥ 0; P ≥ ta có hệ ⇒ S − S − = P S ≥ 0; S − 4S − ≥ S − 8S − ≤ ⇔ ⇔ + ≤ S ≤ + (2) S ≥ 0; S − S − ≥ 1 4 + Có + ≥ với u,v > nên M ≥ = (do a + b = S + ) u v u+v a + b + 4S + 4 mà có (2) nên M ≥ ⇒ M = a = b = + 19 + 12 4+3 +3 ( Câu V (1,0ñ) ( ) 0,25 0,25 ) 1 a + b2 + 4S + (do a + b = S + ) + M = + = = 2 2 a + b + a + b + a b + 4S + + P 4S + 1 + P2 ≥ ⇒ M ≤ = 1+ ≤ 1+ ⇒ max M = + 4S + 4S + 10 + 2+ +2 ( ) 0,25 ðạt ñược a = 0, b = + ngược lại + a = 5, b = ⇒ c = a − b = ⇒ F1 F2 = 2c = 0,25 Câu + Vì F1 M F2 = 900 nên MF12 + MF22 = ( F1 F2 ) = 64 0,25 VIa.1 + ∆MF1 F2 vuông M nên 4dt ( ∆MF1 F2 ) = MF1 MF2 = ( MF1 + MF2 ) − MF12 − MF22 0,25 + Chu vi ∆MF1 F2 p = ( MF1 + MF2 ) + F1 F2 = 2a + 2c ⇒ p = a + c = 0,25 (1,0ñ) 2 mà MF1 + MF2 = 2a = 10 nên 4dt ( ∆MF1 F2 ) = 102 − 64 = 36 ⇒ dt ( ∆MF1 F2 ) = ⇒ r = S / p = / = (ñv dài) + Gọi A' ñiểm ñối xứng A qua (P), ∀M ∈ (P) ta có MA = MA' nên MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B (*) Dấu "=" xảy ⇔ M,A',B thẳng hàng M nằm 0,25 ñoạn A'B, tức M ≡ M0 = A'B ∩ (P); ñó MA − MB lớn Câu VIa.2 (1,0ñ) qua A ( −1; −1;0 ) + Hạ AH ⊥(P) H, AH : ⇒ H ( −1 + t ; −1 + 2t ; −t ) (tham số t) u = n = 1; 2; − ( ) AH P + H ∈ (P) ⇒ ( −1 + t ) + ( −1 + 2t ) − ( −t ) − = ⇔ t = ⇒ H(0;1;-1) H trung ñiểm A'A ⇒ tọa ñộ A' A'(1;3;-2) qua B ( 0; 6; −3) + BM : ⇒ tọa ñộ M ( s; − 3s; −3 + s ) (s tham số) v.t¬ chØ ph−¬ng BA ' = 1; − 3;1 ( ) + M0 ∈ (P) ⇒ s + ( − 3s ) − ( −3 + s ) − = ⇔ s = ⇒ M ( 2; 0; −1) + Rõ ràng xB < x A ' < xM nên M0 nằm ñoạn B A' dấu "=" (*) xảy ⇒ M ( 2; 0; −1) ñiểm cần tìm Trang 3/4 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung ðiểm ( Víi a, b ∈ R ) , từ phương trình (1 − 2i ) z + (1 + 2i ) z = ta có (1 − 2i )( a + bi ) + (1 + 2i )( a − bi ) = ⇔ ⇔ 2a + 4b = + 0i ⇔ a + 2b = + ðặt z = a + bi Câu VIIa (1,0ñ) ( 0,25 (1) ) + Từ phương trình z + 2i z − z + = ta có a + b + 2i.2bi + = 0,25 ⇔ a + b − 4b + = (2) 2 + Từ (1),(2) ta có ( − 2b ) + b − 4b + = ⇔ 5b − 16b + 12 = ⇔ b = ; b = b = ⇒ a = −1 ; b = 3 + 6i ⇒ a = Vậy có số phức cần tìm z1 = −1 + 2i, z2 = 5 + Gọi véc tơ pháp tuyến AB n AB = ( a; b ) (a ) + b > ⇒ nBC = ( b; − a ) Khi ñó cạnh hình vuông d P → AB = d Q→ BC (1) ( Vẽ hình minh họa) 0,25 0,25 0,25 + AB qua M(10;3) nên phương trình AB : a ( x − 10 ) + b ( y − 3) = Câu VIb.1 (1,0ñ) + P(-3;4) ⇒ d P → AB = −13a + b 0,25 (2) a2 + b2 + BC qua N(7;-2) nên phương trình BC : b ( x − ) − a ( y + ) = + Q(4;-7) ⇒ dQ→ BC = −3b + 5a 0,25 (3) a2 + b2 + Từ (1), (2), (3) ta có −13a + b = −3b + 5a → trường hợp: −13a + b = −3b + 5a ⇔ 18a − 4b = , chọn a = ⇒ b = ta có AB : x + y − 47 = −13a + b = 3b − 5a ⇔ 8a + 2b = , chọn a = ⇒ b = - ta có AB : x − y + = 0,25 ⇒ AM = ( −4 + 3t ; − 2t ; + t ) , AB = ( − 1; 0; −1) 0,25 + AM ; AB = = ( 2t − 2; 2t − 8; −2t + ) 1 2 + dt ( ∆AMB ) = AM ; AB = ( 2t − ) + ( 2t − ) + ( −2t + ) = 3t − 12t + 18 2 0,25 + Vì M ∈ (d) nên tọa ñộ M có dạng M ( −2 + 3t ;1 − 2t ;5 + t ) ( t tham số) Câu VIb.2 (1,0ñ) + dt ( ∆AMB ) = ( t − ) + ≥ Dấu "=" ⇔ t = 2, ñó dt ( ∆AMB ) nhỏ → 0,25 ñiểm cần tìm M ( 4; −3;7 ) + ðiều kiện xác ñinh x ≠ 2, y ' = = x2 − x + − m ( x − 2) + ðặt f ( x ) = x − x + − m , yêu cầu toán thỏa mãn phương trình Câu VIIb (1,0ñ) f ( x ) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác thỏa mãn x1 + x2 = 0,25 0,25 0,25 ∆ ' = m + > 0; f ( ) ≠ (1) (2) x x = − m + Kết hợp với ñịnh lý Vi ét ta có hệ x1 + x2 = x + 3x = 0,25 + Từ hai phương trình sau có x1 = 3, x2 = thay vào (2) → m = ñó (1) thỏa mãn Vậy giá trị cần tìm m = 0,25 Ghi : ðáp án có trang - Các cách giải khác ñúng cho ñiểm tối ña Trang 4/4 ... x ≤ x ≥ không thỏa mãn ñiều kiện ñang xét Vậy tập nghiệm S = ( 2;3] ( ) + x x − = 10 ⇔ x3 − x − 100 = ( x ≥ ) ⇔ ( x − ) x + x + 20 = ⇔ x = + Miền (D) hình thang cong OABC với O ( 0;0 ) , A (... (2) → m = ñó (1) thỏa mãn Vậy giá trị cần tìm m = 0,25 Ghi : ðáp án có trang - Các cách giải khác ñúng cho ñiểm tối ña Trang 4/4 ... ⇒ SI khoảng cách cần tìm + ∆HID ⇒ HI = HD.sin HID = a 3.sin 600 = + ∆SHI ⇒ SI = SH + HI = = Trang 2/4 0,25 AB + AD = 12a ⇒ HD = a ⇒ SH = SD − HD = 4a − 3a = a Câu IV (1,0ñ) 0, 25 a 13 3a 0,25