nhiệt động lực học và vật lý thống kê

tiểu luận có mục đích:tóm tắt cơ sở lý thuyết của vật lý thống kê cổ điểnphân loại và hướng dẫn giải một số bài tập nhiệt động lực học và vật lý thống kê cổ điển trong học phần nhiệt động lực học và vật lý thống kê

PHẦN MỞ ĐẦU 3

I Lý do chọn đề tài 3

II Mục tiêu nghiên cứu 4

III Nhiệm vụ nghiên cứu 4

IV Đối tượng nghiên cứu 4

V Phạm vi nghiên cứu 4

VI Phương pháp nghiên cứu 4

PHẦN NỘI DUNG 6

I Cơ sở lí thuyết 6

1 Không gian pha 6

1.1 Không gian pha 6

1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha 6

2 Định lí Liouville 7

3 Áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực 11

3.1 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng 11

3.1.1 Tích phân trạng thái của khí lí tưởng 11

3.1.2 Hàm nhiệt động 12

3.2 Định lí trung bình động năng và định lý Vrian 13

3.2.1 Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do 13

3.2.2 Định lí Vrian 15

II Bài tập 16

1 Không gian pha- Định lí Liouville 16

1.1 Xác định và vẽ quỹ đạo pha 16

1.1.1 Phương pháp chung 16

1.2.1 Bài tập 17

1.2 Nghiệm lại định lí Liouville 25

1.2.1 Phương pháp chung 25

1.2.2 Bài tập 26

1.3 Tính thể tích pha 31

1.3.1 Phương pháp chung 31

1.3.2 Bài tập 32

2 Áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực 38

2.1 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động 38

2.1.1 Phương pháp chung 38

2.1.2 Bài tập 40

2.2 Định lí phân bố đều động năng và định lí Vrian 47

2.2.1 Phương pháp chung 47

2.2.2 Bài tập 47

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Vật lý thống kê là một trong những học phần quan trọng trong phânngành vật lý lí thuyết Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học nghiêncứu các hệ nhiều hạt, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bàitoán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự docao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, màphải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.Hiện nay các phương pháp của vật lý thống kê được áp dụng rộng rãi trongcác lĩnh vực khác nhau của vật lý hiện đại đặc biệt trong vật lý chất rắn, vật lýhạt cơ bản, quang lượng tử, vật lý học các hạt ngưng tụ vật lý và vật liệu siêudẫn, vật liệu bán dẫn Chỉ có vật lý thống kê là đã cho phép ta đoán nhận đượccác thông số nhiệt động như nhiệt độ, entrôpi, năng lượng tự do Vì vậy, đểhiểu sâu nắm chắc cơ sở lí thuyết của vật lý thống kê cũng như ý nghĩa củatừng đại lượng vật lý có nhiều phương pháp khác nhau nhưng một trongnhững phương pháp chung nhất là từ cơ sở lí thuyết ta vận dụng giải một sốcác bài tập Tuy nhiên, số lượng bài tập của vật lý thống kê là rất nhiều, điều

đó gây khó khăn trong việc giải bài tập Vì vậy, cần phân loại và sắp xếp bàitập một cách có hệ thống để tiện cho việc nghiên cứu được chính xác và sâusắc hơn

Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tượngnày hay hiện tượng khác mà người ta thường tách vật lý thống kê làm haiphần: vật lý thống kê cổ điển và và vật lý thống kê lượng tử

Xuất phát từ mong muốn tìm hiểu lí thuyết của vật lý thống kê cổ điển

từ đó đưa ra các phương pháp giải và vận dụng để giải một số bài tập liênquan cũng như gắn lý thuyết với thực hành, nâng cao khả năng giải một số bài

tập trong phần vật lý thống kê cổ điển Đây chính là lí do em chọn đề tài: “Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển”.

Trong quá trình thực hiện đề tài, do kiến thức còn hạn hẹp, cũng như kỹnăng phân tích chưa cao nên còn nhiều thiếu sót, kính mong thầy cô và cácbạn đóng góp thêm ý kiến để đề tài của em thành công hơn Em xin chânthành cảm ơn

II Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu chính của đề tài là tìm hiểu một cách khái quát cơ

sở lí thuyết về vật lý thống kê cổ điển

Phân loại một số dạng bài tập vật lý thống kê cổ điển và vận dụng đểgiải một số bài tập liên quan để có cái nhìn tổng quát về các dạng bài tập phầnvật lý thống kê cổ điển

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu khái quát cơ sở lí thuyết của không gian pha, định lí Liouville

và áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực

Phân loại và đưa ra phương pháp chung để giải một số dạng bài tập vật

lý thống kê cổ điển bao gồm: không gian pha – định lí Liouville, áp dụngphân bố Gipxơ cho các hệ khí thực

Vận dụng để giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển có liên quan

IV Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ thống và phân loại một số dạngbài tập vật lý thống kê cổ điển và giải các bài tập liên quan

VI Phương pháp nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của vật lý thống kê là hệ nhiều hạt mà đối với hệnhiều hạt sẽ xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê Do đó,phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê là phương pháp thống kê dựatrên lý thuyết xác suất

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lí thuyết

1 Không gian pha

1.1 Không gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưavào không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ củakhông gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ(tức là tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ).Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc, vì rằng, việc mô

tả tích chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải nhữngkhó khăn rất lớn Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lý thực, không gian pha

là không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tửkhí lí tưởng đơn giản nhất là không gian sáu chiều

Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha, làkhông gian  và không gian K Không gian  là không gian của một hạt, thí

dụ như một phân tử khí chẳng hạn Do đó để khảo sát hành vi của một phân tửkhí lý tưởng có ba bậc tự do chúng ta đưa vào không gian  6 chiều có sáutọa độ, và, khi đó, trạng thái vi mô của hệ đó được xác định bằng một điểmtrong không gian  đó Không gian K được đưa vào để khảo sát hệ nhiều hạt,thí dụ như, một khối khí xét toàn bộ, và không gian đó có 2fN chiều Trạngthái vi mô của một hệ phức tạp được xác định, như ta đã biết, bởi 2fN thông

số qk và pk và do đó “được biểu diễn” bằng một điểm trong không gian K Đốivới các hệ vĩ mô thì N rất lớn và do đó không gian là một không gian rấtnhiều chiều

1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

Điểm pha (điểm trong không gian pha): trạng thái của hệ được xác địnhbởi các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu

thành hệ và được biểu điễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểmpha.

Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ

“chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thờimỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác địnhnào đó của hệ Dựa vào quỹ đạo pha, ta biết được sự biến đổi trạng thái vi môcủa hệ Quỹ đạo của hệ không cắt nhau trong không gian pha

Mặt năng lượng (siêu diện năng lượng): đối với một hệ cô lập, nănglượng toàn phần là không đổi, nghĩa là: E E (qk, p k) const Điều kiện đó cóthể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái,

và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt được gọi là siêu diệnnăng lượng, hay là mặt năng lượng trong không gian pha, có 2fN  chiều.1

Thể tích pha: tích của các vi phân tọa độ pha

divj t

Đối với vận tốc pha ta có:

2

k k

k k

Ta có thể nói rằng: tập hợp các điểm biểu diễn pha, hay tập hợp các

hệ trong trong tập hợp thống kê, thỏa mãn các phương trình Hamilton, xử sựtrong không gian pha như một chất lỏng không nén được

2 d 0

dt



 suy ra const  12

Thay vào (0.1) ta được: dX1dX2

Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lí về sự bảotoàn thể tích nguyên tố pha, cụ thể là: Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễnpha của các hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữnguyên không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng Đây chính là định

lí Liouville

Phương trình Liouville

đề của lý thuyết thống kê về các quá trình không cân bằng (hay vật lý thống

kê không cân bằng) Người ta còn gọi phương trình đó là phương trìnhLouville

Điều kiện cân bằng thống kê:

Phương trình Liouville mô tả xác suất trạng thái vi mô theo thời gian

Ở trạng thái cân bằng F là một đại lượng không phụ thuộc vào t

( , )

F F X t dX const

Để F không phụ thuộc tường minh vào thời gian t thì

( , ) 0X t t









Hay (X, t) (X)không phụ thuộc tường minh vào thời gian, từphương trình (1.7) ta có H ,  0 Theo lí thuyết lượng tử thì hàm phân bốthống kê là tích phân chuyển động.

( )X f H X a,

3 Áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực

3.1 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng

3.1.1 Tích phân trạng thái của khí lí tưởng

Xét hệ khí lí tưởng có N hạt đơn nguyên tử đựng trong bình kín

N i i

N

E H

N N

i N

vì các hạt là đồng nhất nên tích phân trạng thái của mỗi hạt là như nhau

Ở đây z i là tích phân trạng thái đối với mỗi hạt Ta xét biểu thức củai

z một cách cho tiết hơn.

Đối với z thông thường ta có thể chuyển sang hệ tọa độ cầu trong p i

không gian xung lượng

2

2 2

0

4

i

p mkT p

2 32

i p

z  mkT

Giả sử không có bất kì một trường lực nào tác dụng lên các hạt

0

i q

z e dxdydzdV Vvới V là thể tích bình chứa trong đó các hạt chuyển động

3.2 Định lí trung bình động năng và định lý Vrian

3.2.1 Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do

Hàm Hamilton của bất kì một hệ nào đó có f bậc tự do có thể biểu thịqua hàm Lagrăngiơ dưới dạng sau đây

f i d

Thay vào công thức tính năng lượng trung bình ta có

2

i

H kT i d

i i

Khi thay các giới hạn p  hàm Hamilton trở thành bằng vô cực i

(bởi vì khi đó động năng trở thành vô cực) và e kT H bằng không và chỉ còn lại

biểu thức sau đây

H kT i

i

p H kT E

p





Ta nhận thấy kết quả tính được không phụ thuộc vào bậc tự do Điều đóchứng tỏ động năng trung bình đối với mọi bậc tự do đều bằng nhau và bằng

i i

dựa vào điều kiện là khi p  hàm Hamilton trở thành bằng vô cực (bởi vì i

thế năng tăng nhanh đén vô cực tại các thành của bình chứa)

H kT i

q







Hệ thức trên được gọi là định lí Vrian

Ta cũng có Vrian trung bình của cả hệ bằng f kT2

Định lí Vrian cũng được áp dụng để nghiên cứu tính chất của một số hệ

cụ thể

II Bài tập

1 Không gian pha- Định lí Liouville

1.1 Xác định và vẽ quỹ đạo pha

k

H q

p H p

chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi kx dọc theo một đườngthẳng nào đó Bởi vì chất điểm đó chỉ có một bậc tự do, cho nên để làm tọa độsuy rộng q ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theođường thẳng nào đó Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung

lượng suy rộng p mv như sau:

p m H

chính là các phương trình thông số của quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa,

và do dó phương trình quỹ đạo là

Bình phương hai vế hệ phương trình trên và biến đổi đơn giản, ta có:

2 0

Như vậy quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa là elip có tâm ở gốc tọa

độ, các bán trục q và 0 p Dễ dàng thấy rằng, với các điều kiện ban đầu khác0

nhau ta có các elip khác nhau

Bài 2: Vẽ quỹ đạo pha đối với một hạt có khối lượng m, chuyển động

theo quán tính với vận tốc v 0

Bài giảiĐối với hạt chuyển động theo quán tính chỉ có một bậc tự do:

k fN   Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp hai chiều,trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suyrộng p Động năng của hạt chuyển động theo quán tính được biểu thị qua

xung lượng suy rộng p mv như sau:

p m H p

k  fN   Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp hai chiều,trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suyrộng p Động năng của hạt chuyển động rơi tự do được biểu thị qua xung

lượng suy rộng p mv như sau:

2

2

d

p E

m



và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q x như sau:

Chọn gốc thế năng tại mặt đất (U=0), chiều dương (+) hướng lên thì ta có:

U mgq

p m H

Khử t ta thu được kết quả:

Thay tmg p vào phương trình của p ta có

2 2 2

Có thể nhận thấy rằng quỹ đạo của hạt chuyển động rơi tự do là mộtparabol

Bài 4: Vẽ quỹ đạo pha của một hạt chuyển động với vận tốc không đổi

giữa hai vách của một ngăn Kích thước của ngăn dọc theo hướng chuyểnđộng bằng 2a

Bài giải

Ở bên trong vách ngăn hạt chuyển động theo quán tính với vận tốckhông đổi và phần quỹ đạo pha tương ứng là đường thẳng Tương tự bài 2 tacó:

p m H

Trong thực tế do tác dụng của lực giả đàn hồi kq , động năng chuyển

thành thế năng 2

2

kq nên quỹ đạo pha bị bẻ cong và trong không gian pha phần

tương ứng của quỹ đạo pha là một cung elip

Bài 5: Xác định quỹ đạo pha của một hạt khối lượng m và có điện tích

e

 chuyển động dưới tác động của lực hút từ một hạt cố định có điện tích e1

Vị trí ban đầu là r , vận tốc ban đầu là 0 v 0 0

Bài giải

Để đơn giản bài toán, ta chọn gốc tọa độ ở vị trí đặt điện tích cố định e1

Gọi r là khoảng cách từ điện tích e đến điện tích e 1

Theo định luật Culông ta có:

1 2

ee dp

dt  r

Mặt khác ta lại có

dr

p m dt

1 2

p mee c r

Tại thời điểm t  ta chọn 0 p  , do đó:0

1 0

trong đó m là khối lượng của điện tích e , p là xung lượng tương ứng

Dựa vào hình dạng quỹ đạo ta thấy, nhánh trên ứng với chuyển độngcủa hạt từ r tới gốc tọa độ Nhánh thứ hai ứng với chuyển động của hạt từ 0 e1

tới r0

Bài 6: Xác định và vẽ quỹ đạo pha của con lắc vật lí có khối lượng m,

momen quán tính I, độ dài rút gọn L nếu năng lượng ban đầu của con lắc

0 2

Bài giảiCon lắc vật lí là một vật rắn quay được quanh một trục nằm ngang cốđịnh Đối với con lắc vật lí chuyển động chỉ có một bậc tự do, ta có:

k  fN   chiều

Ta thiết lập phương trình Hamilton cho con lắc vật lí

Từ định luật bảo toàn năng lượng ta suy ra:

Động năng của con lắc vật lí được xác định theo công thức

2

2

d

p E

Các giá trị khả dĩ của góc nằm trong giới hạn 0  0, trong đó 0

được xác định bởi điều kiện p0 0 Chọn tọa độ suy rộng là sine của gócthông thường, xung lượng suy rộng là xung lượng thường, ta có quỹ đạo pha

có dạng hình elip và mô tả chuyển động của con lắc

1.2 Nghiệm lại định lí Liouville

1.2.1 Phương pháp chung

- Phương pháp chung để nghiệm lại định lí Liouville là tìm quỹ đạo phatrong không gian pha k 2fN chiều (cách tìm quỹ đạo pha được tiến hànhtương tự như các bước của loại bài tập xác định và vẽ quỹ đạo pha)

- Chọn một thể tích pha giới hạn bởi các điểm pha Cho các điểm pha dichuyển ta thu được các điểm pha mới, các điểm pha này giới hạn một thể tíchpha mới

- Bảo toàn thể tích pha chính là bảo toàn diện tích bởi các điểm pha;hay nói cách khác ta cần xét đến diện tích pha; nếu diện tích pha cũ bằng diệntích pha mới thì định lí Liouville được nghiệm đúng, nếu không thì ngược lại

Cần chú ý rằng ta phải chọn các điểm pha sao cho việc tính diện tíchpha là dễ dàng nhất

1.2.2 Bài tập

Bài 1: Hãy kiểm nghiệm lại định lí Liouville đối với các chất điểm

chuyển động theo quán tính

Bài giảiĐối với chất điểm chuyển động theo quán tính, quỹ đạo pha là nhữngđường thẳng song song với trục q (bài 2, phần 1.2.1) Lấy hai đường p1mv1

và p2mv2(v2 v1) Trên đó chọ 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình chữ nhậtABCD

Do p mv m dq

dt

  nên ta có q vt C 

Giả sử tại thời điểm t=0, q=q0 thay vào phương trình trên ta có C=q0

Đối với điểm pha A’: q A' v t q A'  0 'A v t q2  A

Vì v không thay đổi nên tung độ p của các điểm pha là không đổi Do

đó ta chỉ xét đến sự thay đổi của hoành độ q

Đối với điểm pha B’: qB' v t qB'  0 'B v t q2  B

Vì vậy q B' q A' q B q A nghĩa là A’B’=AB Tương tự vị trí mới của C,

D là C’, D’ thỏa mãn:

Đối với điểm pha C’: qC' v t qC'  0 'C v t q1  C

Đối với điểm pha D’: qD' v t qD'  0 'D v t q1  D

Vì vậy qC' qD' q C  q D nghĩa là C’D’=CD

Như vậy, thể tích pha tại thời điểm sau là hình bình hành A’B’C’D’ cócùng chiều dài cạnh đáy bằng a và có cùng chiều cao q2 q1 như hình chữnhật ABCD nên có diện tích bằng nhau Vậy thể tích pha không thay đổi

Bài 2: Nghiệm lại định lí Liouville của 3 hạt chuyển động trong trường

trọng lực không đổi Trạng thái ban đầu của chúng được cho bởi các điểm pha

0 0 0

(q ,p ); (qo a,p );C(q ,po o b)

Bài giảiChất điểm chuyển dộng trong trường trọng lực chỉ có một bậc tự donên: k 2fN 2.1.1 2 Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp haichiều, trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượngsuy rộng p Động năng của hạt chuyển động rơi tự do được biểu thị qua xung

lượng suy rộng p mv như sau:

2

2

d

p E

m



và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q x như sau:

Chọn gốc thế năng tại mặt đất (U=0), chiều dương (+) hướng lên thì ta

p m H