CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(Chương trình phổ thông)
Nguyễn Lái
GV THPT Chuyên Lương Văn Chánh
1.Cực trị của hàm số bậc ba y = ax3 +bx2 + cx + d ( a ≠ 0 ).
Gọi y’= 3ax2 + 2bx + c ; và Δ y ' = b 2 − 3ac .
+Để hàm số có cực trị (hai cực trị) ⇔ Δ y ' > 0 ( ⇔ p/t y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt).
+Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn.
+Chia đa thức y cho ý ,hàm số viết lại y = (mx + n).y’ + px + q.
Giả sử (x1,y1);(x2,y2) là hai cực trị nên y’(x1) = y’(x2) = 0 ⇒ hai toạ độ cực trị thoả mãn
phương trình y = px + q, ,là phương trình đường thẳng đi qua hai CĐ,CT.
⎧b 2 − 3ac > 0
⎪⎧ Δ y ' > 0
⇔⎨
⎩( px1 + q )( px2 + q ) < 0
⎩⎪ ymax . ymin < 0
+Để hai giá trị CĐ,CT trái dấu nhau ⇔ ⎨
( ⇔ phương trình y = ax3 +bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt ).
ax 2 + bx + c
(a, a' ≠ 0)
a' x + b'
aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− a ' c
h( x )
=
; và Δ h .
Gọi y ' =
2
(a ' x + b ')
(a ' x + b ')2
⎧Δ h > 0
⎪
+Để hàm số có cực trị (hai cực trị) ⇔ ⎨
b'
⎪⎩h(− a' ) ≠ 0
2.Cực trị của hàm số hữu tỉ dạng y =
( ⇔ p/t y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ −
b'
).
a'
+Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua giao điểm hai tiệm cận.
u
u' v − v ' u
u u' 2ax + b
⇒ y' =
⇒ y' = 0 ⇔ = =
2
v
v v'
a'
v
Giả sử (x1,y1);(x2,y2) là hai cực trị nên y’(x1) = y’(x2) = 0 ⇒ hai toạ độ cực trị thoả mãn
2 ax + b
, là phương trình đường thẳng đi qua hai CĐ,CT.
phương trình y =
a'
ax 2 + bx + c
= 0 vô nghiệm.
+Để hai giá trị CĐ,CT trái dấu nhau ⇔ phương trình y =
a' x + b'
3.Cực trị của hàm trùng phương :y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 ).
+Hàm số có dạng y =
Gọi y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b); và tích a.b
• Hàm số chỉ có một cực trị ⇔ a.b ≥ 0 ( ⇔ p/t y’ = 0 chỉ có một nghiệm).
• Hàm số có ba cực trị ⇔ a.b < 0 ) ( ⇔ p/t y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt).
+Ba cực trị tạo thành một tam giác cân.
Chú ý:Để nhận biết tại điểm x0 là hoành độ của CĐ hay CT,ta có hai dấu hiệu:
1.
Lập bản biến thiên (Xem sách).
2.
⎧ y' ( x 0 ) = 0
⎩ y' ' ( x 0 ) < 0
+ x0 là điểm cực đại ⇔ ⎨
⎧ y' ( x 0 ) = 0
⎩ y' ' ( x 0 ) > 0
+ x0 là điểm cực tiểu ⇔ ⎨
BÀI TẬP TỰ LUYỆN .
Bài 1. Cho đường cong (Cm) có phương trình y = x3 – 3(m+1)x2 + 6(m +1)x + 1.
1. Định tham số m để hàm số có hai điểm cực trị dương.
2. Định tham số m để hàm số nhận x = 3 + 3 là điểm cực tiểu.
Bài 2. Định tham số m để đường cong y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành một
tam giác đều.
Bài 3.Tìm tham số m để hàm số y =
x 2 − (2m + 5) x + m + 3
có cực trị tại điểm
x +1
x >1.Hãy xác định đó là điểm CĐ hay CT.
Bài 4.Tìm m để hàm hàm số y = mx +
1
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của của đồ
x
1
thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng
2
.
2 x 2 + (m − 2) x
.
x −1
1
2
Câu 6 .Tìm tập hợp trung điẻm của hai cực trị của hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + .
3
3
2
x + mx + 1
có hai điểm cực trị M,N .
Câu 7. Chứng minh với mọi m hàm số y =
x+m
Bài 5. Tìm tập hợp điểm cực tiểu của hàm số. y =
Định m để MN nhỏ nhất.
x 2 − (5m − 2) x + 2m + 1
có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm
x −1
cực đại ,cực tiểu nhỏ hơn 2 5 .
x 2 + (3m + 2) x + 2m − 1
Bài 9.Tìm m dể hàm số y =
có cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm
x −1
Câu 8.Tìm m để hàm số y =
cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Bài 10.Định tham số m để hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + m + 2 có hai giá trị cực trị trái dấu và
đường thẳng đi qua hai cực trị đi qua điểm M(-1;4).
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Bài 11. Định tham số m để hám số y =
có hai cực trị nằm về hai phía với
x −1
trục Ox.
x 2 − (m + 3) x + 3m + 1
Bài 12.Định tham số m để hai giá trị CĐ,CT hàm số y =
đều âm.
x −1
− x 2 + 2kx − 5
có cực đại ,cực tiểu và các
Bài 13. Với giá trị nào của tham số k thì hàm số y =
x −1
điểm cực đại cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng (d) 2x – y = 0 .
Bài 14.Tìm tham số m để hàm số y =
x 2 − (3m + 1) x + 4m
có hai cực trị đối xứng nhau qua
2x − 1
đường thẳng (d) x+y+1 = 0.
Bài 15. Định tham số m để đường cong y = x3 – 3x2 –mx + 2 có CĐ,CT cách đều đường thẳng
(d) = x – 1 .
2 x 2 − 3x + m
có hai cực trị thỏa mãn y cd − y ct > 8 .
x−m
x 2 + (m + 2) x + 3m + 2
có hai cực trị khi đó chứng minh rằng
Bài 17.Tìm m để đồ thị hàm số y =
x +1
1
2
y 2 cd + y ct > .
2
Bài 16. Định m đẻ hàm số y =
Bài 18. Định m để y= (x – 1 )(x2 – 4mx -3m + 1) có hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
... 2m + có cực trị khoảng cách hai điểm x −1 cực đại ,cực tiểu nhỏ x + (3m + 2) x + 2m − Bài 9.Tìm m dể hàm số y = có cực trị đường thẳng qua hai điểm x −1 Câu 8.Tìm m để hàm số y = cực trị tạo... tham số m để hàm số y = x − 3(m + 1) x + m + có hai giá trị cực trị trái dấu đường thẳng qua hai cực trị qua điểm M(-1;4) mx + 3mx + 2m + Bài 11 Định tham số m để hám số y = có hai cực trị nằm... 3) x + 3m + Bài 12.Định tham số m để hai giá trị CĐ,CT hàm số y = âm x −1 − x + 2kx − có cực đại ,cực tiểu Bài 13 Với giá trị tham số k hàm số y = x −1 điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường