T1/271. Cho daõy soá (an) (n = 0, 1, 2, ...) xaùc ñònh bôûi: a0 = 9, an+1 = 27an28 + 28an27, ∀n ∈ N. Chöùng minh soá a11 vieát trong heä thaäp phaân coù taän cuøng nhieàu hôn 2000 chöõ soá 9. T2/271. Giaûi phöông trình: (x-1)2[1 + 2x + 3x2 + ... + (n+1)xn] = 1, n ∈ Z+. T3/271. Caùc soá thöïc a, b thoaû maõn ñieàu kieän a2 + b2 ≤ 1. Chöùng minh: (ac + bd - 1)2 ≥ (a2 + b2 - 1)(c2 + d2 - 1) vôùi moïi soá thöïc c, d. T4/271. Cho hình vuoâng ABCD. Laáy ñieåm N treân caïnh BC sao cho BN = 2NC. Xeùt caùc ñieåm E vaø F laàn löôït treân caùc caïnh AB vaø CD. Tìm ñieàu kieän cuûa bieåu thöùc SNEMF 5 = AE-DF ñeå toàn taïi ñieåm M treân AD sao cho SABCD 9 T5/271. Tìm ñoä daøi nhoû nhaát cuûa caïnh hình vuoâng sao cho coù theå ñaët vaøo trong noù 5 hình troøn baùn kính r = 1 maø khoâng coù hai hình troøn naøo choàng leân nhau. T6/271. Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm: x 2 + y 2 - z 2 + xy - yz - zx = 1 2 2 x + z + yz = 2 x 2 + z 2 + xz = m T7/271. Cho hai soá thöïc döông a, b thoaû maõn a ≤ b. Laäp hai daõy soá (un), (vn) (n = 1, 2, ...) xaùc ñònh bôûi: (un + v n )(u2n + v2n ) u1 = a, v1 = b, un+1 = 2(un + vn), vn+1 = un vn vôùi moãi n = 1, 2, ... Chöùng minh: 4n(a + b) ≤ un+1 + vn+1 ≤ 22n+1. ab .( a+b )3 . n 2 ab T8/271. Xeùt phöông trình: x - x - x - 1 = 0 (n > 2) a) Chöùng minh vôùi moãi soá nguyeân n > 2, phöông trình treân coù nghieäm döông duy nhaát. b) Tìm nlim → ∞ n(xn-1), trong ñoù xn laø nghieäm döông cuûa phöông trình noùi treân. n 2 T9/271. Cho ∆ABC. Goïi (Q, R) laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø (I, r) laø ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc. Goïi dA, dB, dC laàn löôït laø khoaûng caùch töø Q ñeán taâm ñöôøng troøn baøng tieáp caùc goùc troøn ñænh A, B, C. Chöùng minh raèng: dA2 + dB2 + dC2 ≥ IA2 + IB2 + IC2 +12Rr T10/271. Goïi S laø dieän tích toaøn phaàn töù dieän ABCD. Chöùng minh: 1 (AB+AC+AD)2 > 2S 3 + {(BC-CD)2 + (CD-DB)2 + (DB-BC)2} 2