Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? a) un = 2n2 -1; b) un = c) un = ; d) un = sinn + cosn Hướng dẫn giải: a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M <=> n > . tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 - 1 > M. b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N* Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2. Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra . Vậy dãy số bị chặn 0 < un với mọi n ε N* c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra > 0 Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 - 1≥ 1, suy ra ≤ 1. Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* , tức dãy số bị chặn. d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + ), với mọi n. Do đó: -√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N* Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ε N* .
Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? a) un = 2n2 -1; c) un = b) un = ; d) un = sinn + cosn Hướng dẫn giải: a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M n > . tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 * b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N - 1 > M. Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2. Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra Vậy dãy số bị chặn 0 < un c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra . với mọi n ε N* >0 Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 - 1≥ 1, suy ra Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* , tức dãy số bị chặn. d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + -√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N* Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ε N* . ≤ 1. ), với mọi n. Do đó: