www.MATHVN.com
THTT S
Th s c tr
c kì thi
405-3/2011
SS 0066
Th i gian làm bài 180 phút
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
Câu I:
Cho hàm s : y x 3 3x 2 9x 3.
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) c a hàm s .
2) Tìm các giá tr c a k đ t n t i hai ti p tuy n v i (C) phân bi t nhau và có cùng h s góc k, đ ng th i
đ ng th ng đi qua các ti p đi m c a hai ti p tuy n v i (C) c t các tr c t a đ Ox, Oy t ng ng A và
B sao cho OB = 2011.OA.
Câu II:
x 3 2y 2 x 2 y 2xy
1) Gi i h ph ng trình:
2
3
2 x 2y 1 3 y 14 x 2.
2) Gi i ph
Câu III:
2
ng trình: 23x 3 x 17.
3
Tính tích phân: I
x
3
3x 2 2
2011
dx.
1
Câu IV:
300. Hai m t ph ng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, c nh BC = a và ABC
0
(SAB) và (SAC) cùng t o v i đáy m t góc 60 . Bi t r ng hình chi u c a đ nh S trên m t đáy thu c c nh
BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
Câu V:
x 3 y3
Tính giá tr l n nh t bi u th c P
, trong đó x, y, z là các s d ng th a mãn
2
x yz y zx z xy
x y 1 z.
PH N RIÊNG
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a:
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi t ba chân đ ng cao ng v i các đ nh A,
B, C l n l t là A ' 1;1 , B ' 2;3 , C ' 2; 4 . Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A 1; 2; 7 , B 4;0; 0 , C 5; 0; 1 và m t c u
S : x 2 y2 z 2 2x 4y 7 0.
Tìm t a đ đi m M thu c m t c u (S) sao cho th tích t di n MABC
l n nh t, nh nh t.
Câu VII.a:
2
Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z 3 i , bi t r ng 3z i zz 9.
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b:
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M 2; 1 và đ ng tròn C1 : x 2 y 2 9. Vi t
ph ng trình đ ng tròn (C2) có bán kính b ng 4 và c t (C1) theo m t dây cung qua M có đ dài nh
nh t.
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang1
Th s c tr
www.MATHVN.com
c kì thi
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t giác ABCD v i A 1; 2;1 , C 2; 4; 1 . Hai đi m B, D
x 1 y 2 z
sao cho BD = 4. G i I là giao đi m hai đ ng chéo c a t giác và
1
2
3
2011.SIAD . Tính kho ng cách t đi m D đ n đ ng th ng AC.
thu c đ
ng th ng
bi t r ng SABCD
Câu VII.b:
Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z, bi t r ng z 2 z 2 6.
H
H
N
NG
GD
D N
NG
GII II V
VÀ
À Á
ÁPP SS
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
Câu I:
1) T gi i
2) k y ' 3x 2 6x 9 3x 2 6x 9 k 0 (*)
(C) có hai ti p tuy n phân bi t, cùng h s góc k thì ph ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t
36 4.3. 9 k 0 k 6
Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua hai ti p đi m:
1
1
k 12
k
y x 3 3x 2 9x 3 3x 3 6x 2 9x 3x 2 6x 9 12x kx k 12x
x
3
3
3
3
k
k
;0 , B 0;
T a đ giao đi m c a (d) v i Ox, Oy t ng ng l n l t là A
k 12
3
k
k
k 6021
Ta có: OB 2011.OA 2011.
3
k 12
V y k = 6021.
Câu II:
x 3 2y 2 x 2 y 2xy
(1)
1)
2
3
2 x 2y 1 3 y 14 x 2 (2)
i u ki n: x 2 2y 1
x 2 2y VN 0
T (1) suy ra: x 2 2y x y 0
xy
V i x = y t (2) ta có ph
ng trình: 2 x 2 2x 1 3 x 3 14 x 2
x 3 14 x 2
3
2 x 2x 1
2
3
x
3
14
2
3
x
3
14 x 2 x 2
6x 2 12x 6
2 x 2 2x 1
3
2 x 2x 1 1
x 3 14
2
3 x 3 14 x 2 x 2
0
2
0
2
3
x 14 x 2 x 2
3 x 2 2x 1
2
3
x
3
14
2
3
2 x 2 2x 1 0 x 2 2x 1 0 x 1 2
V y h ph
0
2
ng trình có 2 nghi m: 1 2;1 2 , 1 2;1 2 .
2
2) 23x 3 x 17 (*)
i u ki n: x 0
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang2
www.MATHVN.com
Th s c tr
c kì thi
1
log8 9 8 xy 9 (1)
y
Ph ng trình (*) 8x 8y 17 (2)
L y (1) tr (2) ta đ c: 8xy 8 x 8 y 8 8xy 8x 8y 8 (3)
V i y = 1, (3) th a mãn x log 8 9
t x
V i y 1 , đ t a 8y 8
Xét hàm s : f x a x 8 x , v i a > 8
Ta có: f ' x a x ln a 8x ln 8 0 f x luôn t ng
Mà t (3) ta có: f x f 1 x 1 y log8 9 1 (th a mãn)
V i y 1 , đ t a 8y 8
Xét hàm s : f x a x 8 x , v i a < 8
Ta có: f ' x a x ln a 8x ln 8 0 f x luôn gi m
Mà t (3) ta có: f x f 1 x 1 y log8 9 1 (không th a mãn)
V y ph ng trình có 2 nghi m: x = 1 ho c x log8 9.
Câu III:
I
3
x
3
3x 2
2
2011
dx
1
3
x 1
1
2011
2
. x 1 3
2011
dx
t: t x 1 dt dx
x 1 t 2
i bi n:
t2
x 3
I
2
t
2011
. t 2 3
2011
dt (1)
2
t: u t du dt
t 2 u 2
i bi n:
u 2
t2
2
I u
2
2011
2
. u 3
2011
2
du u 2011. u 2 3
2011
du (2)
2
T (1) và (2) suy ra: I I I 0
V y I = 0.
Câu IV:
V HI AB, HK AC.
AB HI
Ta có:
AB SHI AB SI
AB SH
là góc t o b i (SAB) và đáy SIH
600
SIH
là góc t o b i (SAC) và đáy SKH
600
T ng t : SKH
Hai tam giác vuông SHI và SHK b ng nhau HI HK
t giác AIHK là hình vuông
a 3
a
AB BC.cos B
, AC BC.sin B
2
2
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang3
Th s c tr
www.MATHVN.com
c kì thi
HK HC
AB BC
HK
/
/AB
HK HI
1
Ta có:
AB AC
HI / /AC
HI HB
AC BC
3 3 a
2x 2x
1 x
4
a 3 a
SH HI.tan SIH
SABC
3 3 a .
4
3
3
3 1 a
4
2
1
1a 3 a a 3
AB.AC
.
2
2 2 2
8
3 3 a3
1
1 3 3 1 a a 2 3
VS.ABC SH.SABC
.
.
3
3
4
8
32
Câu V:
Ta có:
x yz yz y z 1 y 1 z 1
y zx zx x z 1 x 1 z 1
z xy xy x y 1 x 1 y 1
z 1 x y
P
x 3 y3
x yz y zx z xy
2
x 3 y3
z 1 x 1 y 1
2
3
3
x 3 y3
x y x 1 y 1
2
3
3
Áp d ng b t đ ng th c Cô – si, ta có:
2
x y 2 xy x y 4xy
x 1
x x
x2
27 2
3
x
1 33
x 1
2 2
4
4
y y
y2
27 2
3
1 33
y 1
y
2 2
4
4
x 3 y3
4
Suy ra: P
27
27
4xy. x 2 . y 2 729
4
4
4
, khi đó: x y 2, z 5.
V y giá tr l n nh t c a P b ng
729
PH N RIÊNG
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a:
1)
Ta d dàng ch ng minh đ c AA’ là phân giác trong c a tam giác ABC
' c a A 'B'C ' .
Mà BC AA ' BC là phân giác ngoài t i A
A ' B' 3; 2 véct pháp tuy n đ ng th ng A’B’: n A 'B' 2;3
y 1
Ph ng trình đ ng th ng A’B’: 2 x 1 3 y 1 0 2x 3y 5 0
A 'C ' 1;3 véct pháp tuy n đ ng th ng A’C’: n A 'C' 3; 1
Ph
ng trình đ
ng th ng A’C’: 3 x 1 y 1 0 3x y 2 0
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang4
www.MATHVN.com
Th s c tr
ng trình đ ng phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) c a góc A’:
2
3
1
5
2
3
2x 3y 5 3x y 2
0
x
y
10
10
13
10
13
10
13
13
2x 3y 5 3x y 2
2 3 x 3 1 y 5 2 0
13
13
10
10
10
13
10
13
Ta th y B và C n m v cùng m t phía đ i v i BC.
Thay t a đ B và C l n l t vào (1) và (2) ta th y (1) th a mãn.
2
3
3
1
5
2
V y ph ng trình c nh BC là:
0.
x
y
10
10
13
10
13
13
2)
AB 5; 2; 7 , AC 4; 2; 6
Véct pháp tuy n m t ph ng (ABC): n AB, AC 2;58;18
c kì thi
Ph
Ph
(1)
(2)
ng trình m t ph ng (ABC): 2 x 4 58y 18z 0 x 29y 9z 4 0
M t c u (S) có tâm I 1; 2; 0 , bán kính R 1 4 7 2 3
Ta có: d I, ABC
1 29.2 4
63
R2 3
923
1 29 2 9 2
M t ph ng (ABC) c t m t c u (S)
MinVMABC 0 , khi đó t a đ đi m M là đ ng tròn giao tuy n c a m t ph ng (ABC) và m t c u (S)
Th tích MABC l n nh t khi M là giao đi m c a đ ng th ng đi qua tâm m t c u (S) vuông góc m t
ph ng (ABC) v i m t c u (S).
x 1 t
Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua I và vuông góc (ABC): y 2 29t
z 9t
T a đ giao đi m c a M c a (d) v i m t c u (S):
12
2 3
2
2
t 2 29t 9t 12 t 2
t
923
923
2 3
58 3 18 3
2 3
58 3 18 3
M1 1
;2
;
;2
;
ho c M 2 1
923
923 923
923
923
923
2 3
58 3
18 3
1
29 2
4
9.
923
923
923
63
d M1 , ABC
2 3
923
923
2 3
58 3
18 3
29 2
4
1
9.
923
923
923
63
2 3
d M 2 , ABC
923
923
d M1 , ABC d M 2 , ABC
Th tích MABC l n nh t khi M M1
2 3
58 3 18 3
;2
;
V y t a đ đi m M đ th tích MABC l n nh t là: M 1
.
923
923 923
Câu VII.a:
t z a bi Z 2z 3 i 2a 3 2b 1 i
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang5
Th s c tr
www.MATHVN.com
S ph c Z đ
c kì thi
i d ng Z x yi
c bi u di n d
x 3
a
x
2a
3
2
y 2b 1
b y 1
2
Ta có: 3z i zz 9 9a 2 3b 1 a 2 b 2 9 4a 2 4b 2 3b 4 0
2
2
3
y 1 4 0
2
7
3
2
x 3 y 2 y 0
2
2
x 3 y 1
2
2
2
7 73
x 3 y
4 16
V y t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z + 3 – i là các đi m n m bên trong và k c biên c a đ ng
7
73
tròn tâm I 3; , bán kính R
.
4
4
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b:
1)
Ta có: x M 2 y M 2 5 9 M n m trong đ ng tròn (C1)
Xét các dây cung đi qua M ta th y dây cung vuông góc v i O1M t i M là dây cung có đ dài nh nh t.
2
Khi đó: O1M 5 MA MB R12 O1M 2 2
O 2 M R 22 MA 2 2 3
T a đ tâm (C2) n m trên đ ng th ng OM nên t a đ O2 có
d ng: O 2 2t; t
O2M 2 3
2t 2 t 1
2
2
t 1
5 t 1 2 3
2
t 1
V y ta có hai ph
ng trình đ
2
2
2 3
4 3
2
; 1
O2 2
5
3
O 2 4 3 ; 1 2
2
5
5
ng tròn (C2) th a mãn:
3
5
2
3
5
3
5
2
2
4 3
2 3
4 3
2 3
x 2
y 1
16 ho c x 2
y 1
16.
5
5
5
5
2)
x 1 t
Ph ng trình đ ng th ng AC: y 2 2t
z 1 2t
Góc t o b i AC và BD:
1.1 2.2 2 .3
1
5 5
sin
cos
1 4 4. 1 4 9 3 14
3 14
AC 1 4 4 3
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang6
www.MATHVN.com
SABCD
Th s c tr
c kì thi
1
1
5 5 10 5
AC.BD.sin .3.4.
2
2
3 14
14
Ta có: SABCD 2011.SIAD SIAD
10 5
2011 14
1
1 t 1 t '
t
6 12 3
5
T a đ giao đi m I c a AC và BD: 2 2t 2 2t '
I ; ;
5 5 5
t ' 1
1 2t 3t '
5
2
2
2
3
6 12 3
IA 1 2 1
5 5
5
5
SIAD
2S
1
20 5 5
100 5
DH.AI DH IAD
.
2
AI
2011 14 3 6033 14
V y kho ng cách t D đ n đ
ng th ng AC b ng
100 5
.
6033 14
Câu VII.b:
t z x yi
Ta có: z 2 z 2 6
x 2
2
y2
x 2
2
y2 6
x 2 y 2 , b x 2 y2
2
2
Ta có: a 2 b 2 x 2 y 2 x 2 y 2 8x a b a b 8x
t: a
2
2
4
x
3
ab 6
2
2
x 2 y2
2
2
2
1
Nh v y ta có h :
4 a x 3 x 2 y x 3
3
9
5
3
a b 3 x
x 2 y2
1.
V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z là elíp (E):
9
5
Mà: a b 6 a b
www.MATHVN.com
phamtuan_ khai20062000@yahoo.com
Trang7
... III: I x 3x 2011 dx 1 x 1 1 2011 x 1 3 2011 dx t: t x dt dx x 1 t 2 i bi n: t2 x 3 I t 2011 t 3 2011 dt (1) 2 t: u ... www.MATHVN.com phamtuan_ khai20 062 000@yahoo.com Trang6 www.MATHVN.com SABCD Th s c tr c kì thi 1 5 10 AC.BD.sin 3.4 2 14 14 Ta có: SABCD 2011. SIAD SIAD 10 2011 14 1 t 1 t ' t... V VÀ À Á ÁPP SS PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Câu I: 1) T gi i 2) k y ' 3x 6x 3x 6x k (*) (C) có hai ti p n phân bi t, h s góc k ph ng trình (*) có nghi m phân bi t 36