Giáo trình những khái niệm cơ bản về trái đất

Kích thước của trái đất dạng Spheroid được tìm ra một cách tương đối chính xác vào thế kỷ XIX sau khi đo thông số của một số lớn các cung kinh tuyến và vĩ tuyến ở các tọa độ khác nhau..

Chương I - NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TRÁI ĐẤT

1.1 Hình dáng và kích thước của Trái đất

Ngày nay, từ vệ tinh chúng ta dễ dàng nhìn thấy một qủa cầu xanh – Trái đất Tuy nhiên, từ thế kỷ 19 các nhà khoa học trên thế giới đã khảo sát, đo đạc để đưa ra hình dáng gần đúng của nó Tùy thuộc vào tính chất và mục đích cần giải quyết của một bài toán về trái đất người ta coi trái đất có những hình dáng gần đúng như sau:

- Hình dáng vật lý: là hình dáng thật của trái đất Bản thân bề mặt trái đất là lồi lõm với sự phân bố không đều của đồi núi, của biển cả và đất liền Tuy nhiên, hình dáng này không thể mô tả được với trình độ khoa học lúc bấy giờ

- Dạng Geoid : Là hình dạng tính theo trung bình độ lồi lõm của bề mặt đất

- Dạng Elipsoid: Người ta coi trái đất có hình dạng như một elip với độ dẹt nhỏ, quay quanh trục nhỏ (b) của elip (hay trục PnPs) Đây là dạng gần đúng của trái đất

- Dạng Spheroid: là dạng cầu hơi dẹt ở 2 phía cực, cũng là một dạng gần đúng của trái đất và được lấy làm hình dáng chuẩn hiện nay

- Dạng cầu: (Sphere) coi trái đất như một hình cầu và thường gọi là Địa cầu Các nhà khoa học về Trái đất đã chứng minh được rằng nếu coi trái đất là Geoid và Elipsoid thì sai số của 2 bề mặt đó không vượt qúa 150 mét Kích thước của trái đất dạng Spheroid được tìm ra một cách tương đối chính xác vào thế kỷ XIX sau khi đo thông số của một số lớn các cung kinh tuyến và vĩ tuyến ở các tọa độ khác nhau

Vào năm 1924, tại cuộc họp của các nhà trắc đạc thế giới ở Hoa thịnh đốn (Mỹ) đã thống nhất lấy hình dáng trái đất là hình Spheroid (thường được gọi là

International (1924) Spheroid)

Cắt trái đất dạng Spheroid bằng một mặt phẳng đi qua trục PnPs ta được giao tuyến là một vòng kinh tuyến dạng elip, có bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b) (H 1), với độ dẹt của elip được tính bằng:

a

b a

b a

P N

b a

P S Hình 1: Trái đất hình Spheroid

và độ lệch tâm của elip kinh tuyến (e) là:









 − +

=

−

=

−

=

a

b a

b a

b a

b a

2 2

2 2

So sánh (1.1) và (1.2) ta thấy:

a

b f

e2 = 1+ , mà b/a = 1 - f → e2 = (1+1-f) α = 2f - f2

Vì f = 1/300 (giá trị nhỏ) ta bỏ qua f2

⇒ e2 = 2f

Lịch sử đã có 2 hệ thống trắc địa đặc trưng Các nước XHCN trước đây đã sử dụng số liệu của viện sỹ hàn lâm, giáo sư Craxopsky Oâng đã đưa ra số liệu vào năm 1940 dựa vào việc công nhận trái đất có dạng Spheroid như sau:

- Trục lớn : a= 6.378.245,000 mét

- Trục nhỏ: b= 6.356.863,019 mét

- e 2 = 0,0069334216

- f = 1/298,3

Hệ thống thứ 2 được lấy theo số liệu của nhà bác học Bessel (Bồ đào nha), ông đưa ra số liệu như sau:

- a = 6.377.397 mét - b = 6.356 079mét f = 1/299,2

So sánh giữa hình dạng cầu và hình dạng spheroid ta thấy: (a-b)Spheroid = 21,5 km; chênh lệch này bằng 0,3% chiều dài bán kính xích đạo trái đất hình cầu

Nếu coi trái đất là hình cầu thì bán kính cầu bằng:

R= a b3 2 = 6.371,1 km.

Từ đây chúng có thể thấy rằng việc công nhận hình dáng Trái đất khác nhau hoặc từ những khảo sát khác nhau đã cho những kết quả không giống nhau Tuy nhiên sai số có thể chấp nhận trong khoa học ứng dụng

Hình 2: Các quan điểm khác nhau về hình dạng của Trái đất

Qua hình 2 thấy rằng, khi coi Trái đất với hình dạng khác nhau, hướng pháp tuyến tại một điểm trên bề mặt cong của Trái đất sẽ thay đổi Ở phần sau, khi nghiên cứu về tọa độ của một điểm ta thấy giá trị sẽ lệch nhau khi coi Trái đất có hình dạng khác nhau

1.2 Sự phát triển của hệ thống trắc địa thế giới

(The World Geodetic System, viết tắt là WGS) Vào cuối những năm 50 của thế kỷ 20, với sự tăng nhanh tầm xa của các loại vũ khí và yêu cầu về độ chính xác của tọa độ mục tiêu trong quân sự, các mốc trắc điạ quốc gia hay của địa phương đã không còn phù hợp Để bắn đúng tọa độ của mục tiêu ở tầm xa bên ngoài biên giới, đòi hỏi khu vực đó phải có bản đồ cùng mốc trắc điạ với khu vực đặt vũ khí Để đáp ứng, cục phòng vệ của Mỹ đã đề xuất một hệ thống khảo sát liên quan đến trắc địa

Vào những năm 60 của thế kỷ 20, Mỹ đã phóng một loạt các vệ tinh để theo dõi đội tàu ngầm Các phương pháp dùng tín hiệu để định vị mục tiêu đã nhanh chóng tìm ra độ chính xác của vị trí trên mặt đất Mốc trắc địa lúc này tham chiếu

qua hệ thống vệ tinh và được coi như hệ thống trắc địa thế giới đầu tiên - WGS 60

(World Geodetic System of 1960)

Tháng giêng 1966 Uûy ban về trắc địa thế giới đã cải tổ với nhiệm vụ phải cải tiến WGS để thỏa mãn các yêu cầu về bản đồ trên đất liền, hải đồ và các yêu cầu về trắc địa

H.3 Sử dụng lưới tam giác để trắc đạc Bằng những khảo sát bổ sung về sức hút của Trái đất trên bề mặt, những kết qủa đạt được từ việc mở rộng phép đo đạc theo lưới tam giác, dựa vào các dữ liệu trắc địa bằng phương pháp Doppler và vệ tinh quang học đã có từ khi phát triển

WGS 60, Uûy ban tiếp tục nghiên cứu và đã ban hành hệ thống WGS 66, áp dụng

vào năm 1967

Với yêu cầu nâng cao độ chính xác để phục vụ cho khoa học vũ trụ, năm

1970 hệ thống WGS 66 tiếp tục được cải tiến Với sự hỗ trợ của các phầøn mềm máy tính, người ta đã lập quy trình trắc đạc và phân tích các sai số, đưa ra các phương pháp tốt hơn để tổng hợp số liệu quan sát Sau gần 3 năm Uûy ban đã hoàn thành

nhiệm vụ và giới thiệu hệ thống WGS 72

Sự chọn lọc của hệ thống WGS 72 sau này trở thành hệ thống mới – Hệ

thống WGS 84, được sử dụng từ năm 1990 với độ chính xác cao, đáp ứng với các

yêu cầu của việc phóng tên lửa tầm xa và các vệ tinh

Đối với việc đi lại trên bề mặt (đất hoặc biển) thì các hệ thống WGS 60, 66,

72, 84 cơ bản giống nhau, việc tính toán các vị trí trên bất kỳ hệ trắc địa WGS nào cũng được mà không cần hiệu chỉnh Tuy nhiên hiện nay người ta sử dụng WGS 84 với độ chính xác cao nhất

Hệ thống WGS không dựa vào số liệu trắc đạc tại một điểm duy nhất mà thông qua nhiều điểm quan trắc, chúng được xác định hết sức chính xác bằng các vệ

tinh với các phương pháp thỏa đáng Kết qủa cho thấy hình dáng Elipsoid phù hợp với bề mặt thật của trái đất hơn cả Hệ thống WGS được sử dụng rộng rãi trên thế giới Các nước địa phương có thể tham khảo WGS khi giám định số liệu mốc trắc đạc của mình

Từ năm 1927 đến 1987 người Mỹ sử dụng hệ thống riêng của mình – NAD

27 ( North Americal Datum, 1927), dựa vào số liệu elipsoid của Clarke 1866 và

khảo sát kinh độ, vĩ độ, độ cao của khoảng 250.000 điểm Năm 1989 NAD 27 đã

chuyển thành NAD 83, sau khi khảo sát thêm vài ngàn điểm ở Trung Mỹ, Mexico,

Canada NAD 83ù tương đương hệ WGS 84 và những hệ thống WGS khác Hiện nay hệ thống này đã được thay bằng WGS

Trên thế giới có nhiều hệ trắc địa khác, các nước có nền khoa học phát triển đã xây dựng bản đồ dựa vào hệ trắc địa của mình (trên thế giới hiện nay có khoảng

75 gốc trắc địa) Ví dụ : hệ ED50 DATUM của châu Âu, ETRS 89: hệ thống tham khảo lãnh thổ châu Aâu 1989; BEIJING (1954) DATUM của Trung quốc, INDIAN DATUM của Aán độ…

II- TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MẶT ĐẤT

2.1 Các định nghĩa:

2.1.1 Trục địa dư:

H 4 Dao động địa trục

Trái đất hình Spheroid quay xung quanh trục nhỏ của elip kinh tuyến (b) Qua việc quan sát sự thay đổi của vị trí các định tinh trên bầu trời tại cùng thời điểm trong những ngày, tháng, năm khác nhau, người ta đã đưa ra kết luận: Trục quay này không phải cố định mà nó có sự thay đổi nhỏ trong không gian theo quy luật vừa dao động vừa tịnh tiến theo thời gian

Chúng ta tưởng tượng trục quay của trái đất trong quá trình vận động của

mình đã tạo nên một hình nón Mặt sinh hình nón là một mặt sóng hình Sin có đỉnh

nón tại tâm trái đất (H.4) Đầu mút của trục quay (tại Bắc cực và Nam cực) vạch nên những dao động hình sin với một chu kỳ khoảng 18,6 năm và trong vòng 25.800 năm thì nó hoàn thành một vòng khép kín gồm các dao động hình sin Người ta gọi

hiện tượng chuyển động đó của trục trái đất là dao động địa trục

Trục địa dư là trục quay của trái đất Giao điểm của trục địa dư và bề mặt spheroid của trái đất gọi là địa cực, có cực Bắc Pn và cực Nam Ps.

2.1.2 Xích đạo trái đất: là giao tuyến của một mặt phẳng vuông góc với

trục địa dư đi qua tâm trái đất với bề mặt Spheroid của trái đất

E

Q

Pn

PS

N b

a

Các mặt phẳng song song với xích đạo cắt bề mặt trái đất hình Spheroid

thành những vĩ tuyến địa dư

2.1.3 Một nửa giao tuyến của mặt phẳng chứa trục PnPs với mặt Spheroid

gọi là kinh tuyến địa dư

Năm 1884 tại cuộc họp ở Newyork, quốc tế đã thống nhất lấy kinh tuyến đi

qua đài thiên văn Greenwich (Anh) làm kinh tuyến số “0”, gọi là kinh tuyến gốc.

- Góc nhị diện giữa mặt phẳng kinh tuyến gốc và mặt phẳng đi qua kinh tuyến địa dư bất kỳ, hoặc giá trị góc cầu ở cực giữa 2 kinh tuyến đó, hoặc giá trị

trên cung xích đạo tính từ kinh tuyến gốc đến kinh tuyến địa dư bất kỳ gọi là kinh độ địa dư (thường được ký hiệu trong các công thức tính toán là λ), Tiếng Anh: Longitude ( Viết tắt: Long.) Kinh độ địa dư tính từ kinh tuyến gốc về phía đông gọi là kinh độ đông, biến thiên từ 0-180°, trong tính toán quy ước lấy dấu (+), trong các công thức thường viết λE Nếu tính về phía tây gọi là kinh độ tây (λW), dấu ( – ) Một

kinh tuyến đi qua người quan sát thì được gọi là Kinh tuyến người quan sát

- Góc giữa pháp tuyến trong tại 1 điểm nào đó trên mặt Spheroid với mặt

phẳng xích đạo, hoặc giá trị cung kinh tuyến tính từ Xích đạo tới vĩ tuyến bất kỳ gọi

là vĩ độ địa dư (ký hiệu ϕ).Tiếng Anh: Latitude (viết tắt: Lat.) Giá trị Vĩ độ địa dư

biến thiên từ 0 - 90° Nếu một điểm thuộc Bắc bán cầu thì có vĩ độ mang tên bắc, mang dấu (+), ký hiệu ϕN Nếu ở nam bán cầu thì gọi là vĩ độ nam (–) , kí hiệu ϕS

Hình 5: Tọa độ của một điểm trên mặt đất

Như vậy mỗi một điểm trên trái đất được xác định bằng toạ độ, là kinh độ và

vĩ độ của chính điểm đó Khi quan niệm trái đất có hình dạng khác nhau thì kinh độ không thay đổi, còn vĩ độ thay đổi theo quan niệm đó Chúng ta có các loại vĩ độ sau:

- Vĩ độ địa tâm: là góc giữa đường nối từ một điểm trên mặt đất đến tâm trái

đất với mặt phẳng xích đạo (ϕ‘ trong hình vẽ)

y

y

Pn

∆ϕ

c’

x ≡ r

c

ϕ ’ ϕ

U

90 °+ϕ

Q

O

E

D

T x

y

PS

C

- Vĩ độ địa dư : là góc giữa đường pháp tuyến trong của một điểm trên mặt

đất với mặt phẳng xích đạo (ϕ)

- Vĩ độ địa quy tụ (quy chuyển): khi thay đổi hình dáng trái đất từ dạng Spheroid sang dạng cầu ta có Vĩ độ quy chuyển (góc U trong hình 5)

- Góc thâu liễm: là độ chênh lệch giá trị giữa 2 loại vĩ độ: ψ = ϕ - ϕ‘ Có thể tính theo công thức:

ψ≈α Sin 2ϕ (1.3) Từ công thức (1.3) người ta lập bảng tính góc thâu liễm và thấy rằng giá trị góc thâu liễm lớn nhất tại ϕ= 45° Hay nói rằng độ chênh lệch vĩ độ là lớn nhất tại

vĩ độ 45 độ khi ta chuyển đổi các loại vĩ độ

2.2 Mối liên hệ giữa 3 vĩ độ

Trong tam giác OCD (h 5) ta có: tg ϕ‘ = y/x

Dùng phương trình dạng thông số với elip kinh tuyến ta có:

x = a cos U

y = b sin U

b

y

x tgU

a

dy dx

Ta lại có:

dx = - asinUdU

dy= b cos UdU suy ra: dy

dx

b

a tgU

= −

a ctgU tg

a

b tgU tg

a

b tg







2

2 ' ; vì b/a = (1-e2 ) 1/2 , ta có:

tgU tg e

tg tg e









ϕ

1 1

2 2

Đây là công thức liên hệ giữa các tọa độ

III- CHIỀU DÀI BÁN KÍNH CONG CỦA CUNG KINH TUYẾN

VÀ CỦA CUNG VĨ TUYẾN

3.1 Bán kính cung vĩ tuyến

Chúng ta biết rằng dạng gần đúng của trái đất có thể coi là một elipsoid hay

một spheroid, vì vậy độ cong của nó biến đổi liên tục dọc theo kinh tuyến Để đơn

giản việc xét độ cong, người ta lần lượt khảo sát các bán kính cong của cung vĩ

tuyến và cung kinh tuyến tại mỗi điểm

Giả sử xét tại điểm C (hình 6)

Ta biết phương trình của elip có dạng:

Hình 6: Các bán kính cong

Vi phân riêng phần với x và y ta được:

0

2 2

xdx

a

ydy

b a

dx

dy x

Lại xét phương trình tiếp tuyến tại C, ta có:

dy

b

a x tg

2 2

x

a

b

a x tg

2

2

2 4

2 2 1

a

b

a tg

2 2

2 2 2

a

b a

2 2

2 2

2 2

ϕ

⇒

−

=

⇒

=

−

⇒

=

− +

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

2

sin 1

cos cos

) sin 1

(

1 ] cos

sin ) 1 ( cos

[

e

a x e

a

x

e a

x

y Pn

C’

C

d ϕ

ϕ

ds B M

r

ϕ

2

2sin 1

cos

e

a r

x

−

=

(1.6) là công thức tính chiều dài bán kính cong cung vĩ tuyến Từ công thức ta thấy: dọc theo mỗi vĩ tuyến (ϕ không đổi) độ cong là một hằng số Điều đó chứng tỏ rằng các vĩ tuyến là các đường tròn

3.2 Bán kính cong cung kinh tuyến

Xét dọc theo kinh tuyến, khi gía trị vĩ độ biến đổi một lượng dϕ ta sẽ có tương ứng một lượng biến thên về độ dài cung ds Có thể viết được: ds = M dϕ , với M là bán kính cong

Trong tam giác rất nhỏ CC’B, nếu coi cát tuyến CC’ trùng với tiếp tuyến và góc CC’B =ϕ, cung ds = CC’ Ta có:

Có nghĩa là nếu ϕ tăng lên thì giá trị x giảm, ϕ + dϕ→ x - dx, tương ứng ds biến thiên ngược dx Suy ra:

M ds d

dx d

1

Lấy đạo hàm dx/dϕ theo công thức (1.6) ta có:

⇒

−

−

−

=













−

−

−

−

=













−

+

−

−

=

=

− +

+

−

−

=

−

−

−

−

2 / 3 2

2

2

2 / 3 2 2

2 2 2 2 2

/ 3 2 2

2 2

2 / 1 2

2

2 / 3 2 2 2

2 / 1 2 2 2

/ 1 2 2

) sin

1

(

) 1

(

sin

) sin 1

(

) cos sin

1 ( sin )

sin 1

(

cos sin )

sin

1

(

sin

] ) sin 1

.(

cos sin

cos

) sin 1

( sin )

sin 1

(

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

e

e a

e

e e

a e

ae e

a

e e

e a

e a

d

dx

2 / 3 2 2

2

) sin 1

(

) 1 (

ϕ

e

e a M

−

−

Công thức (1.9) dùng tính độ dài bán kính cong cung kinh tuyến Ta thấy độ cong của cung kinh tuyến biến đổi theo giá trị vĩ độ, từ lớn đến nhỏ, tính từ xích đạo đến cực, vì vậy vòng kinh tuyến không phải là vòng tròn.[vì b/a = (1-e2 ) 1/2 ]

IV- HIỆU KINH ĐỘ VÀ HIỆU VĨ ĐỘ

Vị trí của một điểm nào đó trên mặt đất được xác định bằng giao điểm của đường kinh tuyến và vĩ tuyến, người ta gọi là tọa độ của điểm

Con tàu hành trình từ một điểm A biết trước tọa độ đến một điểm B nào đó, để xác định tọa độ của điểm B ta cần phải có giá trị hiệu kinh độ và hiệu vĩ độ

4.1 Hiệu vĩ độ

Hiệu vĩ độ (difference of lat.) của 2 điểm trên mặt đất là giá trị phần cung

nhỏ của kinh tuyến nằm giữa 2 vĩ tuyến chứa 2 điểm đó (kí hiệu Hϕ)

Hϕ = ϕ2 - ϕ1 (biến thiên từ 0-180 độ) Nếu Hϕ = 0 thì 2 điểm cùng nằm trên 1 vĩ tuyến, Hϕ > 0 khi điểm đến nằm

ở phía bắc so với điểm đi (tàu chạy về phía Bắc), Hϕ < 0 khi điểm đến nằm ở phía Nam so với điểm đi (tàu chạy về phía Nam)

ϕ2 = ϕ1± Hϕ

Hình 7: Hiệu vĩ độ, hiệu kinh độ

Hiệu kinh độ (Hλ hoặc ∆λ) của 2 điểm trên mặt đất là giá trị đo góc phần cung nhỏ của cung xích đạo nằm giữa 2 kinh tuyến chứa 2 điểm đó

Khi Hλ = λ2 - λ1 = 0: tàu chạy dọc theo kinh tuyến

Khi Hλ > 0: Tàu chạy vè phía đông, Hλ < 0: tàu chạy về phía tây

Hλ biến thiên từ 0-180 độ

λ2 = λ1± Hλ

Ví dụ: Tìm hiệu vĩ độ và hiệu kinh độ giữa 2 điểm F và T:

Pn

Ps

A (ω1λ1)

B(ω2λ2)

Hω

Hλ

1 lat F 50o48’N long F 1o07’W

lat T 40 o 40’N long T 74 o 00W

lat T 3607’N long T 5 o 21’W

5.1 Đơn vị chiều dài

Trên hình cầu hay hình Spheroid, các đơn vị đo góc là độ, phút góc, nhưng trong hàng hải khi đo khoảng cách trên mặt đất phải sử dụng các đơn vị chiều dài Người ta đã chọn chiều dài của một phút cung kinh tuyến để làm đơn vị đo, gọi là

hải lý Với độ chính xác cho phép dùng trong hàng hải, độ dài một phút cung có thể

tính theo công thức:

s = M Arc 1’

Thay M ở công thức (1.8) vào ta có:

s = −a −e

e

1 1

2

2 2ϕ 3 2 arc 1’

Thấy rằng mẫu số có đạo hàm vô hạn lần, tiến hành khai triển Macloranh ta được:

(1−e sin2 2ϕ)−3 2/ = 1+23e2sin2ϕ+158 e4sin4ϕ+

Lấy 1 số hạng đầu của chuỗi sẽ được:

s = a(1-e2)( 3

3

e sin ϕ)arc '≈a( + e sin ϕ−e arc) ' (bỏ qua e4) Thay sin2ϕ = 1/2 - 1/2 cos 2ϕ , ta có:

s ≈ a (1+ 3

2

3

e − e cos ϕ−e arc) '

ϕ

2 cos 31 , 9 25 , 852

≈

s (1.10)