DỀ HSG 8

đề thi học sinh giỏi Toán .5 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2đ) Chứng minh tổng: A= 71+72+73+74+ .+74k (trong k số tự nhiên) chia hết cho 400. Bài 2: (2đ) a) Phân tích biểu thức sau nhân tử: A= x3(x2 7)2 36x b) Dựa vào kết chứng minh biểu thức: n3 (n2 7) 36n luôn chia hết cho với số nguyên n. Bài 3: (2đ) Chứng minh nếu: x yz y xz với x y ; xyz ; yz ; xz 1. = x(1 yz ) y (1 xz ) : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= 2+x-x2 Bài 5: (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. M, K N lần lợt trung điểm AH, CD BH. a. Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành. b. Chứng minh BM MK -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán .5 Bài 1: (2đ) Ta nhóm hạng tử tổng theo cách: A= (71+72+73+74+) + (75+76+77+78+) + .+(74k-3+74k-2+74k-1+74k) = (71+72+73+74+) + 74(71+72+73+74) + .+74k-4 (71+72+73+74) = (71+72+73+74)(70+74+78+712+ .+74k-4) = 7(1+7+72+73)(1+74+78+712+ .+74k-4) = 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ .+74k-4) = 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ .+74k-4) 0,5đ 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ .+74k-4) Đặt 1+74+78+712+ .+74k-4=M A=7.400.M Vậy A chia hết cho 400. 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2: (2đ) a) Phân tích biểu thức sau nhân tử: A= x3 (x2 7)2 36x = x[x2(x4-14x2 + 49) 36] = x(x6-14x4 + 49x2 36) = x[(x6- 9x4) (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36) = x[ x4(x29) 0,5đ = x(x2- 9)( x4 5x2+ 4) 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] = x(x2- 9)( x4 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)( x4 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)[x2( x2 4) - (x2- 4)] = x(x2- 9)(x2 4)(x2-1) = x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ b) Theo kết ta có: n3 (n2 7)2 36n = n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1) hay xếp theo thứ tự tăng dần nhân tử nh sau: (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ Đây tích số nguyên liên tiếp, số nguyên liên tiếp có số chia hết cho 7, nên tích chia hết cho 7, tức biểu thức n (n2 7)2 36n chia hết cho (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2đ) x yz y xz = x(1 yz ) y (1 xz ) Ta biến đổi từ ra: (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = (x -y) [ xy xyz ( x + y + z ) + xz + yz ] = 0,5đ 0,5đ 0,5đ Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) 0,5đ Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + Biến đổi biểu thức thành: 1 + ( )2 + 2 = (x + ) + 1 Do (x + )2 không âm nên nhỏ (x + )2 = 2 tức x= - biểu thức có giá trị nhỏ x2 +2 x 0,5đ 0,5đ b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= 2+x-x2 Biến đổi: P(x)= 2+x-x2 = - (x2 x -2) 1 - -2) 4 1 P(x)= - [(x2 x + ) - -2] 4 P(x)= - (x2 x + P(x)= - [(x )2 0,5đ ] Vì biểu thức biến đổi mang dấu (-) nên P (x) lớn [(x )2 nhỏ tức x= , lúc P(x)= Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ 0,5đ E B C N A M ] K H a. Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành. Xét tam giác AHB có: NH = NB (gt) MH = MA (gt) Suy MN đờng trung bình nên MN//AB MN =AB/2 mà AB = CD D 0,75đ AB //CD CK=CD nên MN//CK MN =CK Suy tứ giác MNCK hình bình hành. b. Chứng minh BM MK 0,75đ Kéo dài MN cắt BC E ta thấy MN//CD CD BC nên ME BC Xét tam giác MBC có BH ME đờng cao, nên N trực tâm, CN BM mà CN//KM nên BM MK (đpcm). --------------------------Hết đáp án------------------------------Không phải đáp án: Đề thi có trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v truy cập trang đó), có lỗi trình biên soạn thầy (cô) báo giúp trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 )(7 0 +7 4 +7 8 +7 12 + +7 4k-4 ) = 7(1+7+7 2 +7 3 )(1+7 4 +7 8 +7 12 + +7 4k-4 ) = 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 + +7 4k-4 ) = 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 + +7 4k-4 ) 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 +. Chứng minh BM MK Hết đề thi Đáp án đề Toán 8 .5 Bài 1: (2đ) Ta nhóm các hạng tử của tổng theo cách: A= (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 +) + (7 5 +7 6 +7 7 +7 8 +) + +(7 4k-3 +7 4k-2 +7 4k-1 +7 4k ) 0,5đ =. đề thi học sinh giỏi Toán 8 .5 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2đ) Chứng minh rằng tổng: A=