Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh ------------ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn Toán (Dành cho khối A, B V) Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) x −1 Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = . x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số. 2) Tìm a b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ∆ ): x − y + = . Câu 2. (2 điểm) x2 + y = y + 1) Giải hệ phương trình . x + y + x − y = π sin x − cos( x − ) − 2) Giải phương trình = 0. sin 3x − ln e2 x dx I = Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân ∫0 + 3ex + . Câu 4. (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy hình thoi cạnh a, góc ABC 60o , góc mặt phẳng (A'BD) mặt phẳng đáy 60o . 1) Tính theo a thể tích hình hộpï. 2) Tính theo a khoảng cách đường thẳng CD' mặt phẳng (A'BD). Câu 5. (1 điểm) Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số π sin( x − ) π , x ∈ ; π . y= 2 sin x + + cos x PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2). 1. Theo chương trình chuẩn Câu 6a. (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 4) , phương trình đường cao BH x − y + = , phương trình đường phân giác CD x + y − = . Tìm hai đỉnh B C. x −1 y −1 z + = = 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): mặt cầu (S): −2 ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 3)2 = . a) Chứng minh (a) (S) có hai điểm chung A, B phân biệt. b) Viết phương trình mặt phẳng (α) biết (α) qua A, B cắt (S) theo giao tuyến đường tròn lớn (S). Câu 7a. (1 điểm) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần. Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho 3. Trang 1/6 2. Theo chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 2 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 1) = . Một đường tròn (C') tiếp xúc với Oy tiếp xúc với (C). Tìm tâm (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): x − y = . 2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (a) (b) có phương trình x + y +1 z x − y −1 z + = = , = = . −1 −1 a) Chứng minh (a) song song với (b), tính khoảng cách chúng. b) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (a) vuông góc với mp(a, b). Câu 7b. (1 điểm) Tìm n nguyên dương biết Cn1 2Cn2 3Cn3 nC n − + − . + (−1) n−1 nn = . 32 2 HẾT Trang 2/6 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn Toán - Khối A, B & V Chú ý: Dưới giải gợi ý, học sinh làm nhiều cách khác miễn suy luận hợp lý kết điểm tối đa câu đó. Câu 1.1 Đáp án • TXĐ: D = R \ { −1} x −1 x −1 = −∞ , lim = +∞ : đường thẳng x = −1 TCĐ − x →−1 x + x →−1 x + x −1 lim = : đường thẳng y = TCN x →±∞ x + > , ∀x ∈ D suy hàm số tăng khoảng xác • y' = ( x + 1)2 đònh. • Bảng biến thiên • lim Điểm chi tiết Điểm 0.25 + x 0.25 y'++y 11 1.2 • Đồ thò cắt Ox (1; 0) , cắt Oy (0; −1) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. • Đồ thò vẽ 0.25 x+ . 2 Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với (∆) hay a = −2 Khi phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x −1 = −2 x + b ⇔ x2 − (b − 3) x − (b + 1) = . (1) x+1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ b2 + 2b + 17 > ⇔ b tuỳ ý. 0.25 Gọi I trung điểm AB, ta có x A + xB b − = xI = . b y = −2 x + b = + I I 0.25 ton ∀b taiï A, B ⇔ a = −2 Vậy để thoả yêu cầu toán ⇔ AB ⊥ (∆) I ∈ (∆ ) x − y + = I I a = −2 a = −2 ⇔ b − ⇔ . − (b + 3) + = b = −1 0.25 Phương trình (∆) viết lại: y = 0.25 0.25 Trang 3/6 2.1 Vậy a = −2 , b = −1 thoả mãn yêu cầu toán. y ≥ −3 y ≥ −3 ⇔ ( x + y)( x − y) = . Hệ cho tương đương với x + y = ( y + 3) x+ y+ x− y =4 x+ y+ x− y =4 u2v2 = uv = ⇔ u , v ≥ Đặt u = x + y , v = x − y ( ) ta u + v = u + v = u = v = ⇔ ⇔ u = v = 2.2 x+ y =3 x + x− y =1 x − ⇔ x + x+ y =1 x − x− y =3 0.25 0.5 x = y=1 y = ⇔ x = y=1 y = −4 y=9 y=9 x = Kết hợp với điều kiện y ≥ −3 , hệ cho có nghiệm . y = π 2π Điều kiện: sin 3x ≠ Û x ≠ + k . (1) Với điều kiện phương trình cho tương đương với π sin 3x − cos( x − ) − = π π Û cos(3x − ) − cos( x − ) − = π Û cos 3u − cos u − = (với u = x − ) Û cos3 u − cos u − = 0.25 0.25 0.5 π 7π + k2π x − = π + k2π x = cos u = −1 6 π 2π 5π Û cos u = − Û x − = ± + k2π Û x = + k2π . 6 3 x = − π + k2π cos u = (VN ) cos u = (VN ) 2 Kết hợp điều kiện (1), ta có nghiệm phương trình cho 7π x= + k2π . Đặt u = 3e x + Þ u2 = 3e x + Þ ex = Khi x = Þ u = ; x = ln Þ u = . u2 - Þ x e dx = udu . 3 u2 - 2u . du 3 Khi I = = (u2 - u) du ò 1+ u ò 2 2ù 2é u u ú = ê ú 9ê ê ú ë û2 éỉ 125 25 ÷ ç ÷ = ê ç ÷ç ÷ 9ê è ø ë 0.25 0.25 0.25 0.25 ù 19 ỉ 4ư ç ú ÷ - ÷ ç ÷ú= ç3 ø ÷ è û 0.25 Trang 4/6 Gọi O tâm hình thoi. Do ABCD hình thoi nên AO ^ BD , kết hợp với AA ' ^ ( ABCD) Þ A ' O ^ BD Þ ÐA ' OA góc mp(A'BD) Þ ÐA ' OA = 60o . a Do ÐABC = 60o nên tam giác ABC Þ AO = . Trong tam giác vuông A'AO, ta có AA ' = AO. tan 60o = a . a2 a 3a . . = 2 Theo chứng minh ta có BD ^ ( A ' AO) Þ ( A ' BD) ^ ( A ' AO) . Trong tam giác vuông A ' AO , dựng đường cao AH, ta có AH ^ ( A ' BD) hay AH = d( A, ( A ' BD)) . Do CD '/ / BA ' nên CD '/ /( A ' BD) suy d(CD ', ( A ' BD)) = d(C, ( A ' BD)) = d( A, ( A ' BD)) (vì AO = CO ) = AH 0.25 0.25 Do thể tích hình hộp: V = SABCD . AA ' = 0.5 = AO.sin 60o = a . A' D' C' B' D A B Ta có y = C sin x - cos x . . sin x + sin2 x + cos2 x π : ta có y = . π Trường hợp x Ỵ ( ; π] : 2 tan x - . Ta có y = (vì cos x < ). tan x - tan2 x + 0.25 Trường hợp x = 0.25 π Đặt t = tan x , x Ỵ ( ; π] t Ỵ (- ¥ ; 0] . Trang 5/6 t- . , t Ỵ (- ¥ ; 0] . t - t2 + ỉ ÷ ỉ t ç ÷ ç ÷ ç t t + (t - 1) ÷ ÷ ç ç ÷ è ø ç ç ÷ è ø t + Ta có f '(t) = . 2 ỉ ÷ ç t t + ÷ ç è ø Đặt f (t) = = 0.25 t2 + + t - . ỉ ư. t2 + 3. ç t - t2 + ÷ ÷ ç è ø Ta có f '(t) ³ Û Û t2 + £ (1 - t)2 Bảng biến thiên t2 + £ - t (vì t Û t £ - 1. t2 + < ) t f'(t) f(t) 2 , y = . 6a.1 Cạnh AC đường thẳng qua A vuông góc với BH nên có phương trình 2( x - 1) + ( y - 4) = Û x + y - = . Đỉnh C giao điểm AC CD nên toạ độ C hệ nghiệm ìï x + y - = ï hệ phương trình íï , suy C(3; 0) . ïỵ x + y - = Kết hợp hai trường hợp x, ta có max y = Gọi (d) đường thẳng qua A vuông góc CD, phương trình (d): ( x - 1) - ( y - 4) = Û x - y + = . ìï x - y + = ï Toạ độ giao điểm I (d) CD nghiệm hệ íï , suy ïỵ x + y - = I (0; 3) . Gọi A' điểm đối xứng A qua CD, suy I trung điểm AA' nên A '(- 1; 2) . Do CD đường phân giác góc C nên đường thẳng CB đối xứng với đường thẳng CA qua CD, suy CB đường thẳng qua C, A' hay nhận uuuur CA ' = (- 4; 2) làm vectơ phương nên có phương trình ( x - 3) + 2( y - 0) = Û x + y - = . Đỉnh B là giao điểm BC BH nên toạ độ B nghiệm hệ ìï x + y - = ï phương trình íï , suy B(- 3; 3) . ïỵ x - y + = ur 6a.2 Đường thẳng (a) qua A(1;1; - 2) có VTCP a = (1; 2; - 2) . Mặt cầu (S) có tâm I (1; - 1; - 3) có bán kính R = . ur ur uur ur uur ur é ù Ta có IA = (0; 2;1) . Đặt n = êa, I, ta có n = (6, - 1, 2) suy | n | = 41 . ë û 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 Trang 6/6 ur | n| 41 < R nên đường thẳng (a) cắt (S) hai điểm Ta có d( I , (a)) = ur = | a| A, B phân biệt. Do (α) qua A, B cắt (S) theo giao tuyến đường tròn lớn nên (α) mặt phẳng qua (a) tâm I (S). ur uur Và (α) mặt phẳng qua I, nhận a IA cặp VTCP nên ur ur uur éa, I n = nhận ê ú làm VTPT nên có phương trình là: ë û 6( x - 1) - ( y + 1) + 2( z + 3) = hay x - y + z - = . 7a Số cần tìm có dạng abcde . Để thành lập số theo yêu cầu, ta thực hiện: • Chọn ba năm vò trí a, b, c, d, e để xếp vào ba chữ số 3, 0.25 0.25 0.5 0.5 có C5 cách chọn. • Chọn hai chữ số bốn chữ số lại xếp vào hai vò trí lại, có A42 cách thực hiện. Vậy có tất C5 . A4 = 120 số thoả đề bài. Trong số nói trên, số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho 3, mà có ba chữ số 3, nên hai chữ số lại có tổng chia hết cho 3, có bốn trường hợp thoả mãn, là: với 2, với 5, với 4, với 5. Với trường hợp đó, để thành lập số chia hết cho 3, ta thực hiện: • Chọn ba năm vò trí để xếp vào ba chữ số 3, có C5 cách chọn. • Chọn hai chữ số có tổng chia hết cho bốn chữ số lại, có cách chọn. Xếp hai chữ số vừa chọn vào hai vò trí lại, có hai cách xếp. • Suy có 2.4.C5 = 80 số chia hết cho 3. 80 = . 120 6b.1 Ta có (C) có tâm I (1; - 1) bán kính R = . Giả sử (C') có tâm K bán kính R'. Do K Ỵ (d) nên K ( x, x) . Do (C') tiếp xúc với Oy nên R ' = | x |. Do (C') tiếp xúc với (C) nên IK = R + R ' hay (1) ( x - 1)2 + (2 x + 1)2 = | x | + Û x2 + x + = | x | + . Vậy xác suất cần tìm Trường hợp x > : 2 (1) Û x2 + x + = x + Û x + x + = ( x + 2) Û éx = ê x2 - x - = Û ê êx = - ( loaiï ) . ê ë 0.5 Û Trường hợp x £ : 2 (1) Û x2 + x + = - x + Û x + x + = ( x - 2) Û Û é êx = - - 17 ê 4 x2 + x - = Û ê ê êx = - + 17 loaiï . ( ) ê ë Trang 7/6 ỉ - - 17 - - 17 ÷ ç ÷ ç K ; ÷ Vậy tâm (C') K (1; 2) ç . ÷ ÷ ç è ø ur 6b.2 Ta có (a) qua A(- 2; - 1; 0) có VTCP a = (4; - 1;1) . ur Ta có (b) qua B(2;1; - 2) nhận a = (4; - 1;1) làm VTCP. uuur ur Ta có AB = (4; 2; - 2) khác phương với a . Vậy (a) (b) song song nhau. ur uuur éa, ABù ur ur uuur ê ú é ù Khi d(a, b) = d( A, b) = ë ur û; mà n = êa, ABú= (0;12;12) suy ë û | a| d(a, b) = 12 0.25 = 4. ur uuur Ta có mp(a, b) có cặp VTCP a AB nên nhận ur ur uuur ù n=é a ê , ABú= (0;12;12) làm PVT. ë û ur ( α ) Mp qua (a) nên nhận a = (4; - 1;1) làm VTCP, (α) vuông góc ur với mp(a, b) nên nhận n làm VTCP suy (α) nhận ur ur ur p=[ a,n] = (1; 2; - 2) làm PVT. Mặt khác (α) qua A(- 2; - 1; 0) 24 nên (α) có phương trình ( x + 2) + 2( y + 1) - 2( z - 0) = hay x + y - 2z + = . 7b 0.25 Đặt P ( x) = ( x + 1)n (1) 2 n n Ta có P ( x) = Cn + Cn x + Cn x + . + Cn x (2) 0.5 0.5 n n- Từ (2), ta có P '( x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + . + nCn x . Suy Do 2Cn2 3Cn3 Cn ) = Cn1 + - . + (- 1) n- n 2 22 2n- Cn1 2Cn2 3Cn3 Cn 1 + - . + (- 1)n- n = P '(- ) 2 22 23 2n P '(- Mặt khác, từ (1): P '( x) = n( x + 1) 1 n P '(- ) = . 2 2n Từ (3) (4), ta suy P '(- ) = n- (3) n- ỉ 1ư ÷ ç nç ÷ ÷ hay ç ÷ è2 ø (4) Cn1 - 2Cn2 + 3Cn3 - . + (- 1)n- n . 32 Ta thấy n = nghiệm phương trình. Ta thấy n = không thoả phương trình. x Xét hàm số f ( x) = x ( x Ỵ [2; + ¥ ) ) x - x2 x ln - x ln = < 0, "x ³ 2. Ta có f '( x) = 22 x 2x Suy f ( x) giảm [2; + ¥ ) . Vậy n = nghiệm toán. Phương trình cho tương đương với n HẾT = Cnn n = n 2n . 0.25 0.25 Trang 8/6 . Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn Toán (Dành cho các khối A, B và V) Thời gian làm bài: 180 phút . TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số 1 1 x y x − = + . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b= + cắt (C) tại hai. đường tròn (C') tiếp xúc với Oy và tiếp xúc ngoài với (C). Tìm tâm của (C') biết tâm thu c đường thẳng (d): 2 0x y− = . 2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (a) và (b) có