Thi thử học sinh giỏi Môn toán thời gian: 120 phút họ tên: điểm lời phê Bài 1: ( điểm) a. Cho ababab số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab bội 3. b. Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65. Bài : (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 a. b. + + + + … + 2x = 210 Bài 3: (6,0 điểm) Thực so sánh: a. b. 2009 2009 + 2009 2010 + 51 52 53 100 C = 1. 3. 5. … 99 với D = . . . 2 2 A= 2009 2008 + 2009 2009 + với B= c. Chứng minh 102011 + chia hết cho 72. Bài 4: ( điểm) số lại. Cuối năm có thêm học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi số lại. Tính số học sinh Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I lớp 6A. Bài 5: (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB trung điểm M nó. CA + CB CA − CB b. Chứng tỏ C điểm nằm M B CM = . a. Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM = KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( điểm) a)- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . - Do 10101 chia hết ababab chia hết cho hay ababab bội 3. Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 5. 126 + 52.126 + 53.126 ⇒ + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). Tổng có (2004: =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126. Có: + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. ⇒ + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . S = + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng có (2004: =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130. Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. Bài : (3,0 điểm) a)⇒ 2011x + + + … + 2010 = 2029099 - 2010.2011 = 2029099 2010.2011 ⇒ 2011x = 2029099 2010.2011 : 2011 = ⇒ x = 2029099 ⇒ 2011x + 0,75 0,75 0,50 0, 25 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 50 0,25 0,50 b) ⇒ 2(1 + + + … + x) = 210 0,50 - ⇒2 0,25 x( x + 1) = 210 ⇒ x( x + 1) = 210 - Giải x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,25 0,50 Bài 3: (6,0 điểm) a) Thực qui đồng mẫu số: A= (2009 2008 + 1)(2009 2010 + 1) 2009 4018 + 2009 2010 + 2009 2008 + = (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1) (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1) 0,50 (2009 2009 + 1)(2009 2009 + 1) 2009 4018 + 2009 2009 + 2009 2009 + = B= (2009 2010 + 1)(2009 2009 + 1) (2009 2010 + 1)(2009 2009 + 1) 0,50 2009 2010 + 2009 2008 = 2009 2008 (2009 + 1) 2009 2009 + 2009 2009 = 2009 2008 (2009 + 2009) Do (2009 + 1) > (2009 + 2009) nên A > B 0,50 0,50 (Có thể chứng tỏ A - B > để kết luận A > B). Cách khác: Có thể so sánh 2009 A với 2009 B trước. b) C = 1. 3. 5. … 99 = 1. 3. 5. … 99 .2.4.6 .100 2.4.6 .100 0,50 1. 3. 5. … 99 .2.4.6 .100 (1.2).(2.2).(3.2) (50.2) 1.2.3 .50.51.52.53 .100 = 1.2.3 .50.2.2.2 .2 51 52 53 100 = . . . = D Vậy C = D 2 2 = 0,50 0,50 0,50 c) Vì 102011 + có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho Lại có 102011 + có chữ số tận 008 nên chia hết cho Vậy 102011 + chia hết cho 72 0,75 0,75 0,50 Bài 4: ( 1,5 điểm) số học sinh lớp. 10 - Số học sinh giỏi cuối số học sinh lớp. - học sinh số học sinh lớp. 10 1 - số học sinh lớp nên số học sinh lớp : = 40. 10 10 - Số học sinh giỏi kỳ I 0,50 0,25 0,50 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) A M C CA = MA + CM CB = MB - CM Trừ CA - CB = 2CM (Do MA = MB) ⇒ CM = CA − CB B 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 0,50 A M B C CA = CM + MA CB = CM - MB Cộng CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 0,25 0,50 ⇒ CM = 0,25 CA + CB . 5 6 = 5(1 + 5 3 ) + 5 2 (1 + 5 3 ) + 5 3 (1 + 5 3 ) = 5. 1 26 + 5 2 .1 26 + 5 3 .1 26 ⇒ 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 chia hết cho 1 26. 0,50 S = (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ). 5 6 ) + 5 6 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ) + … + 5 1998 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ). Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 1 26 nên nó chia hết cho 1 26. 0, 25 Có:. 5 5 + 5 6 …+ 5 2004 . Chứng minh S chia hết cho 1 26 và chia hết cho 65 . Bài 2 : (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a. 2029099 2010) (x 2)(x 1)(x x =++…+++++ b. 210 2x 8 6 4 2 =+…++++ Bài