ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II - Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I . Phần chung cho hai ban. Bài 1. Tìm giới hạn sau: 1) lim x→ − ∞ x − x − + 3x 2x + 2) lim (−2 x − x + 1) x→ + ∞ 3) lim+ x→ x − 11 5− x 4) lim x→ x3 + − . Bài . x2 + x x3 − 1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) = x − x ≠ . Xác định m để hàm số liên tục R. 2m + x = 2) Chứng minh phương trình: (1 − m ) x − x − = có nghiệm với m. Bài 3. 1) Tìm đạo hàm hàm số: − 2x + x2 a) y = b) y = + tan x . x2 − 2) Cho hàm số y = x − x + (C). Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có tung độ . b) Vuông góc với d: x + y − = . Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi vuông góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC). 2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI). 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI). 4) Tính góc đường thẳng AI OB . II . Phần tự chọn. . Theo chương trình chuẩn . n −1 + + + ). Bài 5a. Tính lim( 2 n +1 n +1 n2 + Bài 6a. Cho y = sin x − cos x . Giải phương trình y / = . . Theo chương trình nâng cao . Bài 5b. Cho y = x − x . Chứng minh rằng: y .y / / + = . Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x ) = 64 x3 − 60 − x + 16 . Giải phương trình f ′ ( x ) = . x --------------------Hết------------------Họ tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . Bài 1: 1 1 x − 1− − + 3÷ − + x ÷ x x2 x x2 x − x − + 3x =1 1) lim = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x + 7 7 x2+ ÷ x2+ ÷ x x 3 2) lim ( −2 x − x + 1) = lim x −2 − + ÷ = −∞ x →+∞ x →+∞ x x x 1− x − 11 x →5 − x lim ( − x ) = x →5+ Ta có: lim+ ( x − 11) = −1 < x →5 x > ⇔ − x < 3) lim+ 4) lim x →0 x3 + − x2 + x = lim x →0 ⇒ lim+ x →5 x3 x ( x + 1) ( x + + 1) x − 11 = +∞ 5− x = lim x →0 x2 ( x + 1) ( x + + 1) =0 Bài 2: 1) • Khi x ≠ ta có f ( x ) = x3 − = x + x + ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ . x −1 • Khi x = 1, ta có: f (1) = 2m + f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + = ⇔ m = lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục x = ⇔ x →1 x →1 x →1 Vậy: f(x) liên tục R m = 1. 2) Xét hàm số f ( x ) = (1 − m ) x − x − ⇒ f(x) liên tục R. Ta có: f (−1) = m + > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m ⇒ Phương trình có nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m Bài 3: −2 − x + x 2x2 + 2x + + tan2 x ⇒ y' = y = + tan x ⇒ y ' = 1) a) y = b) x2 − ( x − 1)2 + tan x 2) (C): y = x − x + ⇒ y′ = x − x x = a) Với y = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = −1 • Với x = ⇒ k = y′ (0) = ⇒ PTTT : y = • Với x = −1 ⇒ k = y′ (−1) = −2 ⇒ PTTT : y = −2( x + 1) + ⇔ y = −2 x + • Với x = ⇒ k = y′ (1) = ⇒ PTTT : y = 2( x − 1) + ⇔ y = x + 1 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = . Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = ⇔ x03 − x0 = ⇔ x0 = ( y0 = ) b) d: x + y − = có hệ số góc kd = − ⇒ PTTT: y = 2( x − 1) + ⇔ y = x + . Bài 4: 1) A 2) 3) K O C I B • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1) • ∆OBC cân O, I trung điểm BC ⇒ OI ⊥ BC Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI) • BC ⊥ (OAI) ⇒ ·AB,( AOI ) = ·BAI ( • BI = (2) ) BC a = 2 • ∆ABC ⇒ AI = BC a a = = 2 ( ) AI · = ⇒ BAI = 300 ⇒ ·AB,( AOI ) = 300 AB 4) Gọi K trung điểm OC ⇒ IK // OB ⇒ (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK • ∆ABI vuông I ⇒ cos·BAI = • ∆AOK vuông O ⇒ AK = OA2 + OK = 5a2 IK · a2 a2 = • IK = • ∆AIK vuông K ⇒ cos AIK = AI 4 n −1 + + . (1 + + + . + (n − 1)) Bài 5a: lim ÷ = lim 2 n +1 n +1 n +1 n +1 1− (n − 1) ( + (n − 1) ) (n − 1)n n =1 = lim = lim = lim 2 2 n +1 2(n2 + 1) 2+ n2 Bài 6a: y = sin x − cos x ⇒ y′ = cos x + 2sin x • AI = π x = + k 2π sin x = π ⇔ x = − + k 2π PT y ' = ⇔ cos x + 2sin x = ⇔ 2sin x − sin x − = ⇔ sin x = − 7π x = + k 2π Bài 5b: y = x − x ⇒ y ' = 1− x 2x − x2 −1 ⇒ y" = ⇒ y3 y "+ = (2 x − x ) x − x 64 60 192 60 Bài 6b: f ( x ) = − − x + 16 ⇒ f ′( x ) = − + − x x x x x − 20 x + 64 = 192 60 x = ±2 ⇔ PT f ′( x ) = ⇔ − + − = ⇔ x = ±4 x x x ≠ ===================== . y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 1 ( 1) − − + + + = ⇒ = − − b) x y x y x 2 1 tan 1 2tan ' 1 2tan + = + ⇒ = + 2) (C): y x x 4 2 3= − + ⇒ y x x 3 4 2 ′ = − a) Với x y x x x x 4 2 0 3. lim lim 2 2 2 1 2( 1) 2 − − + − − = = = + + + Bài 6a: y x x y x xsin2 2cos 2cos2 2sin ′ = − ⇒ = + PT y x x x x 2 ' 0 2cos2 2sin 0 2sin sin 1 0= ⇔ + = ⇔ − − = x x sin 1 1 sin 2 = ⇔ =. 1 1 sin 2 = ⇔ = − x k x k x k 2 2 2 6 7 2 6 π π π π π π = + ⇔ = − + = + Bài 5b: x y x x y y y y x x x x x x 2 3 2 2 2 1 1 2 ' " " 1 0 2 (2 ) 2 − − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ + = −