BĐT trebusep

BD HSG Bất đẳng thức GV Đỗ Kim Sơn Cho cặp số Cho cặp số Cho n cặp số Cùng tăng : a ≤ b A ≤ B a.A + b.B a + b A + B ≥ . 2 dấu “ = “ xảy a = b A = B Cùng tăng : a ≤ b ≤ c A ≤ B ≤ C a.A + b.B + c.C a + b + c A + B + C ≥ . 3 dấu “ = “ xảy a = b= c A = B = C Cùng tăng : a1 ≤ a2 ≤ …≤ an b1 ≤ b2 ≤…≤ bn a1 b1 + . + an bn a1 + . + an b1 + . + b n . ≥ n n n dấu “ = “ xảy a1 = a2 = …= an b1 = b2 =…= bn Một tăng , giảm : a ≤ b A ≥ B a.A + b.B a + b A + B . ≤ 2 dấu “ = “ xảy a = b A = B Một tăng , giảm : a ≤ b ≤ c A ≥ B ≥ C a.A + b.B + c.C a + b + c A + B + C ≤ . 3 dấu “ = “ xảy a = b = c A = B = C Một tăng ,một giảm: a1≤ a2 ≤…≤ an , b1 ≥ b2 ≥ … ≥ bn a1 b1 + . + an bn a1 + . + an b1 + . + b n . ≤ n n n dấu “=” xảy a1 = a2 = …= an b1 = b2 =…= bn Bài tập áp dụng : Bài : Cho số a , b thỏa a + b ≥ . CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = , , , …. a b c + + ≥ ( BĐT Nesbit cho số ) b+c c+a a+ b 1 + + ≥ Bài : Cho a , b , c dương abc = . Chứng minh : a (b + c) b (c + a) c (a + b) Bài : CMR với a , b , c dương ta có : a b c Bài : Cho a , b , c > . CMR : a .b .c ≥ (abc) a+ b+ c Bài : Cho n số khơng âm . Chứng minh với số tự nhiên m = , , , … ta có : m a1m + a2m + . + anm ⎛ a1 + a2 + . + an ⎞ ≥⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠ a1m + a2m + . + amn a1k + a2k + . + ank a1m + k + a2m + k + . + anm + k ≤ Suy : . n n n với m , k số tự nhiên Bài : Cho x , y dương . Chứng minh : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ ( x11 + y11 ) Bài : Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a12 + a22 + . + a2n ≥ S = a1 + a2 + … + an . CMR : a13 a3 a3n + + . + ≥ S − a1 S − a2 S − an n − 1 Bài : 1./ Cho a1 , a2 , … , an > thỏa a1. a2 . … . an ≥ . CMR : a1m + a2m + . + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + . + amn +1 2./ Cho a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + …+ an ≥ n . CMR với m số lẻ : a1m + a2m + . + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + . + anm +1 3./ Câu khơng m số chẵn . Giải thích . 4./ Trong trường hợp n = m số chẵn kết câu ? Bài : Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A , B , C , hb , hc ba đường cao tương ứng . Chứng minh : ( m 2a + m 2b + m 2c ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 27 S2 ( S diện tích ABC ) Bài 10 : ab bc ca + + ≥ 4p Cho a , b , c cạnh tam giác , chu vi 2p . CMR : p−c p−a p−b Bài 11 : Gọi a1 , a2 , … , an cạnh đa giác có chu vi 2p . Chứng minh : a1 a2 an 2n + + . + ≥ . Khi xảy dấu ? p − a1 p − a2 p − an n − Bài 12 : Cho a , b , c cạnh tam giác , chu vi 2p r , R bán kính đường tròn nội , ngoại tiếp . a b c R Chứng minh : + + ≤ h b + h c h c + ha + h b 2r Bài 13 : Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = . Chứng minh : SinA.Sin2A + SinB.Sin2B + SinC.Sin2C 2S . Dấu “=” xảy ? ≤ SinA + SinB + SinC Bài 14 : CMR với tam giác ABC ta có : ⎛ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ⎞ 1./ SinA + SinB + SinC ≥ ⎜ ⎝ Cos A + Cos B + Cos C ⎟⎠ 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 3./ ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C Bài 15 : Cho tam giác ABC . Chứng minh : aA + bB + cC π ≥ a+b+c ( A , B , C có số đo radian ) . Bài 16 : Cho ABC tam giác có ba góc nhọn . CMR : SinA + SinB + SinC tan A. tan B. tan C ≤ CosA + CosB + CosC Cho a ,b , c dương thỏa a2 + b2 + c2 ≥ . Chứng minh : a3 b3 c3 a2 b2 c2 1./ 2./ + + ≥ + + ≥ b+c c+a a+ b b+c c+a a+ b Cho a ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ . Chứng minh : a3 b3 c3 d3 1./ + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+ b+c a2 b2 c2 d2 2./ . Có thể mở rộng khơng ? + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c CMR với tam giác ABC ta có : 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C Sin A + Sin B + Sin C 2./ ≤ ( tg A + tg B + tg C ) Cos A + Cos B + Cos C Chứng minh a + b ≥ a + b a + b a3 + b a6 + b . . ≤ 2 2 n Cho n số dương a1 , a2 , … , an . Chứng minh : ( ) n ∏a ≥ ∏a i=1 i i=1 n ∑ i =1 i CMR với tam giác ABC ta có : 1./ a + b + c ≥ ( a Cos A + b Cos B + c Cos C ) π A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C π ( A , B , C tính radian ) 2./ ≤ ≤ Sin A + Sin B + Sin C A B C⎞ ⎛ A B C⎞ ⎛ 3./ ⎜ Sin + Sin + Sin ⎟ . ⎜ cot g + cot g + cot g ⎟ ≥ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh : ( tgA + tgB + tgC ) . ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜⎛ tg ⎝ A B C⎞ ⎛ A B C⎞ + tg + tg ⎟ . ⎜ cot g + cot g + cot g ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + … + an ≤ S ≤ n , với S số cho trước . CMR : 1 a + + a22 + + . + a2n + ≥ a1 a2 an ⎛ n2 ⎞ S +⎜ ⎟ ⎝ S⎠ . Dấu “=” xảy ? Giải Bài Tập GV Đỗ Kim Sơn Bài : Cho số a , b thỏa a + b ≥ . CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = , , , …. Giải : Giả sử a ≥ b ⇒ a ≥ | b | ( a + b ≥ > ) ⇒ an ≥ | b |n ≥ bn ⎧ a≥b an+1 + b n +1 an + b n a + b an + b n Theo Tchébycheff : ⎨ n ⇒ ≥ . ≥ n 2 2 ⎩a ≥b ⇒ an+1 + b n +1 ≥ an + b n a b c + + ≥ ( BĐT Nesbit cho số ) b+c c+a a+ b Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > ⇒ a + b ≥ a + c ≥ b + c ( ) a b c ≥ ⇒ ≥ ( ) . Áp dụng Trêbưsép cho ( ) , ( ) . b+c a+c a+ b Dấu “=” a = b = c Bài : CMR với a , b , c dương ta có : Bài : Cho a , b , c dương abc = . Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) Giải : 1 , y = , z = . Ta có x , y ,z > xyz = a b c x y z Theo Cauchy : x + y + z ≥ . Theo Nesbit : + + ≥ y+z z+x x+y Đặt x = x2 y2 z2 + + ≥ ( xyz = ) y+z z+x x+y x y z Giả sử x ≥ y ≥ z > (1) ⇒ ≥ ≥ > (2) . Áp dụng Tchébycheff cho (1) (2) y+z z+x x+y BĐT cần CM ⇔ Bài : Cho a , b , c > . CMR : aa .b b .cc ≥ (abc) a+ b+ c Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > ( ) ⇒ log a ≥ log b ≥ log c ( ) Áp dụng Trêbưsép cho ( ) ( ) Bài : Cho n số khơng âm . Chứng minh với số tự nhiên m , k = , , , … ta có : a1m + a2m + . + amn a1k + a2k + . + ank a1m + k + a2m + k + . + amn + k . ≤ n n n m m m m a1 + a2 + . + an ⎛ a1 + a2 + . + an ⎞ ≥⎜ Suy : với m số tự nhiên ⎟ n n ⎝ ⎠ Giải : ⎧⎪ a1m ≤ a2m ≤ . ≤ amn (1) Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ . ≤ an ⇒ ⎨ k k k ⎪⎩ a1 ≤ a2 ≤ . ≤ an (2) Áp dụng BĐT Tchébycheff cho (1) (2) Bài : Cho x , y dương . Chứng minh : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ ( x11 + y11 ) Giải : Giả sử < x ≤ y (1) ⇒ x3 ≤ y3 (2) ; x4 ≤ y4 (3) ; x7 ≤ y7 (4) Ap dụng Trêbưsép cho (1) (2) ; (3) (4) sau nhân lại với . Bài : Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a12 + a22 + . + a2n ≥ S = a1 + a2 + … + an . CMR : a13 a32 a3n + + . + ≥ S − a1 S − a2 S − an n − Giải : ⎧ a12 ≤ a22 ≤ . ≤ a2n (1) ⎪ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ . ≤ an ⇒ ⎨ a1 a2 an ⎪ S - a ≤ S - a ≤ . ≤ S - a (2) n ⎩ Áp dụng BĐT Tchébycheff cho (1) (2) ta có : ⎛ a a a ⎞ a13 a3 a3 + + . + n ≥ a12 + a22 + . + a2n ⎜ + + . + n ⎟ S - an ⎠ S - a1 S - a2 S - an n ⎝ S - a1 S - a2 ( ≥ ) a a ⎞ ⎛ a1 + + . + n ⎟ ⎜ n ⎝ S - a1 S - a2 S - an ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ a + a2 + . + an ) ⎜ + + . + ⎟ ( S - an ⎠ n ⎝ S - a1 S - a2 ⎛ 1 ⎞ 1 + + . + = 2. ( S - a1 + S - a2 + . + S - an ) ⎜ ⎟ S - an ⎠ n n -1 ⎝ S - a1 S - a2 ≥ ≥ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 . . n n (S - a1 )(S - a2 ) .(S - an ) . n ⎜ ⎟⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ≥ n n -1 ⎝ S - a1 ⎠ ⎝ S - a2 ⎠ ⎝ S - an ⎠ n -1 Bài : 1./ Cho a1 , a2 , … , an > thỏa a1. a2 . … . an ≥ . CMR : a1m + a2m + . + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + . + amn +1 2./ Cho a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + …+ an ≥ n . CMR với m số lẻ : a1m + a2m + . + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + . + anm +1 3./ Câu khơng m số chẵn . Giải thích . 4./ Trong trường hợp n = m số chẵn kết câu ? Giải : m m m ⎪⎧ a1 ≤ a2 ≤ . ≤ an 1./ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ . ≤ an ⇒ ⎨ đặt S = a1 + a2 + . + an ⎪⎩ a1 -1 ≤ a2 -1 ≤ . ≤ an -1 ( ⇒ (a ⇒ a1m + a2m + . + anm m + a2m + . + amn ) ( a -1 + a -1 + . + a -1) ≤ n ⎡⎣a ( a -1) + a ( a -1) + . + a ( a -1)⎤⎦ ) ( S - n ) ≤ n ⎡⎣( a + a + . + a ) − ( a + a + . + a )⎤⎦ n m m+1 m+1 n m+1 m m m n m n m n Do > nên S ≥ n n a1 . a2 a n ≥ n . Vế trái không âm . Dấu " = " a1 = a2 = . = an 2./ CM tương tự . 3./ Nếu m chẵn , tốn khơng . Ví dụ : n = , m = ( chẵn ) Cho a1 = a2 = , a3 = – Ta có : a1 + a2 + a3 = ; a12 + a22 + a32 = 57 > a13 + a32 + a33 = 4./ Xem lại . Bài : Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A , B , C , hb , hc ba đường cao tương ứng . Chứng minh : ( m 2a + m 2b + m 2c ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 27 S2 ( S diện tích ABC ) Giải : Ta có : m 2a + m 2b + m 2c = 3( a2 + b2 + c2 ) /4 BĐT trở thành ( a2 + b2 + c2 ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 36 S2 Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ ≤ hb ≤ hc ( = 2S / a ) . Áp dụng Trêbưsép . Bài 10 : Cho a , b , c cạnh tam giác , chu vi 2p . CMR : ab bc ca + + ≥ 4p p−c p−a p−b Giải : Đặt x = a + b – c ; y = b + c – a ; z = c + a – b . Ta có : x , y , z > x + y + z = a + b + c = 2p Ngồi ta có : ( x+y)( x+z) = 4ab ; ( y+x)( y+z) = 4bc ; ( z+x)( z+y) = 4ac ; 4ab 4bc 4ac BĐT ⇔ + + ≥ 8p 2(p - c) 2(p - a) 2(p - b) ⇔ (x + y)(x + z) (y + x)(y + z) (z + y)(z + x) + + ≥ ( x + y + z) x y z ⇔ x + x(y + z) + yz y + y(x + z) + xz z2 + z(x + y) + xy + + ≥ ( x + y + z) x y z ⇔ yz xy yx + + ≥ x+y+z x y z ⎧ 1 1 ⎛1 1⎞ yz xy yx ⎪ 0< ≤ ≤ Giả sử < x ≤ y ≤ z ⇒ ⎨ + + z y x ⇒ ⎜ + + ⎟ xy + xz + yz ≤ x y z x y z ⎝ ⎠ ⎪ xy ≤ xz ≤ yz ⎩ ( ) ⎛ yz xz xy ⎞ yz xy yx ⇒ ⎜ +x+y+z+ +x+y+z+ + + ⎟ ( xy + xz + yz ) ≤ 3⎝ x y z ⎠ x y z yz xy yx ⇒x+y+z ≤ + + x y z Bài 11 : Gọi a1 , a2 , … , an cạnh đa giác có chu vi 2p . Chứng minh : a1 a2 an 2n . Khi xảy dấu ? + + . + ≥ p − a1 p − a2 p − an n − Giải : ⎧ p - a1 ≤ p - a2 ≤ . ≤ p - an ⎪ Giả sử a1 ≥ a2 ≥ . ≥ an > ⇒ ⎨ a1 a2 an ⎪ 2p - 2a ≥ 2p - 2a ≥ . ≥ 2p - 2a n ⎩ ⎡ a1 a2 an ⎤ + + . + ⎢ ⎥ .[(p - a1 ) + (p - a2 ) + . + (p - an )] 2p - 2an ⎦ 1444442444443 ⎣ 2p - 2a1 2p - 2a2 ( n − 2)p ⎡ a1 a2 an ⎤ ≥ n ⎢(p - a1 ) + (p - a2 ) + . + (p - an ) ⎥ = np 2p - 2a1 2p - 2a2 2p - 2an ⎦ ⎣ Bài 12 : Cho a , b , c cạnh tam giác , chu vi 2p r , R bán kính đường tròn nội , ngoại tiếp . a b c R Chứng minh : + + ≤ h b + h c h c + ha + h b 2r Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c (1) ⇒ hc ≤ hb ≤ ⇒ hc + hb ≤ + hc ≤ hb + 1 ⇒ ≥ ≥ (2) Ap dụng Trêbưsép cho (1) , (2) ta có : h b + hc h c + ha + h b ⎛ a b c 1 ⎞ ≤ ( a + b + c) ⎜ + + + + ⎟ h b + hc hc + ha + h b ⎝ h b + h c h c + ha + h b ⎠ ⎛ 1 ⎞ ≤ 2R ( SinA + SinB + SinA ) ⎜ + + ⎟ ., ⎝ h c h b ⎠ 3 1 R ≤ .2R . . . = 2 r 2r Bài 13 : Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = . Chứng minh : SinA.Sin2A + SinB.Sin2B + SinC.Sin2C 2S . Dấu “=” xảy ? ≤ SinA + SinB + SinC Giải : Trong tam giác ABC ta có : Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C = 2S / R2 = 2S R = . ⎧ < Sin A ≤ Sin B ≤ Sin C ⇒ Sin2A ≥ Sin2B ≥ Sin2C Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ ⎨ ⎩Cos A ≥ Cos B ≥ Cos C A;p dụng Trêbưsép cho dãy tăng dãy giảm : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎞ SinA.Sin2A + SinB.sin 2B + SinC.sin 2C ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ SinA.Sin2A + SinB.sin 2B + SinC.sin 2C Sin2A + Sin2B + Sin2C 2S ⇔ ≤ = SinA + SinB + SinC 3 Bài 14 : CMR với tam giác ABC ta có : ⎛ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ⎞ 1./ SinA + SinB + SinC ≥ ⎜ ⎝ Cos A + Cos B + Cos C ⎟⎠ 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 3./ ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C Giải : 1./ Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ Sin A ≤ Sin B ≤ Sin C (2) Cos A ≥ Cos B ≥ Cos C (3) Áp dụng Trêbưsép cho dãy tăng dãy giảm : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ SinA.CosA + SinB.CosB + SinC.CosC ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Sin2A + Sin2B + Sin2C = ⎛ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎞ Suy : SinA + SinB + SinC ≥ . ⎜ ⎟ ⎝ CosA + CosB + CosC ⎠ A B C CosA + CosB + CosC = + Sin Sin Sin > . Dấu = ABC . 2 2./ Từ câu ta có : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Suy : ( CosA + CosB + CosC )( SinA + SinB + SinC ) ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C 3 mà : CosA + CosB + CosC ≤ nên SinA + SinB + SinC ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C 3./ Tương tự 3 SinA + SinB + SinC ≥ nên ( CosA + CosB + CosC ) ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C Bài 15 : Cho tam giác ABC. Chứng minh : aA + bB + cC π ≥ a+b+c ( A , B , C có số đo radian ) . Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ A ≤ B ≤ C Theo Trêbưsép : ( a+b+c ) ( A + B + C ) ≤ ( aA + bB + cC ) Bài 16 : Cho ABC tam giác có ba góc nhọn . CMR : SinA + SinB + SinC tgA.tgB.tgC ≤ CosA + CosB + CosC Giải : Với tam giác ABC nhọn ta có : tgA + tgB + tgC = tgA . tgB . tgC ⎧tgA ≥ tgB ≥ tgC Giả sử A ≥ B ≥ C ( nhọn ) ta có : ⎨ ⎩CosA ≤ CosB ≤ Cos C ⎛ tgA + tgB + tgC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ ⎛ tgA.CosA + tgB.CosB + tgC.CosC ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟≥⎜ 3 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ tgA + tgB + tgC ⎞ ⇒⎜ ⎟ ( CosA + CosB + CosC ) ≥ ( SinA + SinB + SinC ) ⎝ ⎠ Cho a ,b , c dương thỏa a2 + b2 + c2 ≥ . Chứng minh : a3 b3 c3 a2 b2 c2 1./ 2./ + + ≥ + + ≥ b+c c+a a+ b b+c c+a a+ b Giải : ⎧ a12 ≤ a22 ≤ a32 (1) ⎪ 1./ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ a3 ⇒ ⎨ a1 a2 a3 ⎪ a + a ≤ a + a ≤ a + a (2) 3 ⎩ Áp dụng BĐT Tchébycheff cho (1) (2) ta có : ⎛ a1 a2 a3 ⎞ a13 a32 a33 + + + + ≥ a12 + a22 + a32 ⎜ ⎟ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ a2 a3 ⎞ ⎛ a1 + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ( ) ⎛ 1 1 ⎞ a + a + a + + ( ) ⎜ ⎟ 32 ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 + = . ( a1 + a2 + a2 + a3 + a3 + a1 ) ⎜ + ⎟ ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ≥ 1 1 1 . . ≥ . . (a1 + a2 )( a2 + a3 )( a3 + a1 ) . ≥ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 Cho a ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ . Chứng minh : a3 b3 c3 d3 + + + ≥ 1./ b+c+d c+d+a d+a+ b a+ b+c a2 b2 c2 d2 2./ . Có thể mở rộng khơng ? + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c Giải : Tương tự chứng minh ( xem lời giải tổng qt ) CMR với tam giác ABC ta có : 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C Sin A + Sin B + Sin C 2./ ≤ tan A + tan B + tan C Cos A + Cos B + Cos C Giải : 2./ Xem lời giải 16 . ( ) với A , B , C nhọn . a + b a + b a3 + b a6 + b Chứng minh a + b ≥ . . ≤ 2 2 Giải : Giả sử a ≥ b , a + b ≥ nên a ≥ – b . Suy a ≥ | b | . Do a3 ≥ b3 Theo Trêbưsép : a + b a + b a3 + b a + b a + b a3 + b a3 + b a3 + b . . . . ≤ ⇒ ≤ 2 2 2 2 2 3 6 a+b a +b a +b a +b . . ⇒ ≤ 2 2 (∏ a ) ≥ (∏ a ) n Cho n số dương a1 , a2 , … , an . Chứng minh : i=1 n n i i=1 n ∑ i =1 i Giải : (∏ a ) ≥ (∏ a ) n i=1 n n i i=1 i ( ) n ∑ i =1 n ⇔ n.ln ∏ i=1 ( ) ⎛ n ≥ ln ⎜ ∏ ⎜ i=1 ⎝ n n n i =1 i =1 i =1 n ∑ i =1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⇔ n.∑ .ln ≥ ∑ .∑ ln Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ⇒ lna1≤ lna2 ≤ … ≤ lnan Áp dung Trêbưsép : n n n i =1 i =1 i =1 ∑ .∑ ln ≤ n.∑ .ln CMR với tam giác ABC ta có : 1./ a + b + c ≥ ( a Cos A + b Cos B + c Cos C ) 10 π A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C π ( A , B , C tính radian ) ≤ ≤ Sin A + Sin B + Sin C ⎛ A B C⎞ ⎛ A B C⎞ 3./ ⎜ Sin + Sin + Sin ⎟ . ⎜ cot + cot + cot ⎟ ≥ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ Tự giải Giải : 2./ Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh : ( tan A + tan B + tan C ) . ( cot A + cot B + cot C ) ≥ ⎜ tan A2 + tan B2 + tan C2 ⎟ . ⎜ cot A2 + cot B2 + cot C2 ⎟ Giải : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tự giải Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + … + an ≤ S ≤ n , với S số cho trước . CMR : 1 a + + a22 + + . + a2n + ≥ a1 a2 an Giải : ⎛ n2 ⎞ S +⎜ ⎟ ⎝ S⎠ . Dấu “=” xảy ? Tự giải 11 . b n+1 với n = 1 , 2 , 3 , …. Bài 2 : CMR với a , b , c dương ta có : abc bccaab 2 3 + +≥ +++ ( BĐT Nesbit cho 3 số ) Bài 3 : Cho a , b , c dương và abc = 1 . Chứng minh rằng : 333 111 2 a(b. b + + ≥ ⎧ ++ ⇒≥ ≥ ⎨ ≥ ⎩ ⇒+≥+ 2 + Bài 2 : CMR với a , b , c dương ta có : abc bccaab 2 3 + +≥ +++ ( BĐT Nesbit cho 3 số ) Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ a + b ≥ a + c ≥ b + c ( 1 ) abc ( 2. ,z > 0 và xyz = 1 abc xyz3 Theo Cauchy : x + y + z 3 . Theo Nesbit : + + y+z z+x x+y 2 xyz3 BĐT cần CM + + ( do xyz = 1 ) y+z z+x x+y 2 Giả ≥≥ ⇔≥ 4 xyz sử x y z > 0 > 0 . Áp du