Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức : x2 ; đồ thò (C) x2 1) Khảo sát vẽ đồ thò hàm số trên. Tìm điểm (C) có tọa độ nguyên TXD : D= R\{2} + Tiệm cận: x2 x2 lim = + ; lim = => x =2 tiệm cận đứng x (2) x x (2) x Cho hàm số y = 1 x2 x =1 = lim lim x x x 1 => y =1 tiệm cận ngang x 4 < , x D (x 2) Hàm số nghòch biến (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ y’ y +∞ ∞ + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox A(2;0) Đồ thò cắt trục Oy M(0;1) y=1 Nhận I(2;1) làm tâm đối xứng + Viết lại : y= 1+ x2 Điểm M(x;y) (C) có tọa độ nguyên => số nguyên x2 Các trường hợp xảy : x2=1 => x=3 ; y= . Điểm M1(3;5) x2=1 => x= ; y=3. Điểm M2(1;3) x2=2 => x=4 ; y=3 . Điểm M3(4;3) x2=2 => x=0 ; y=1 . Điểm M4(0;1) x2=4 => x=6; y=2 . Điểm M5(6;2) x2=4 => x=2; y=0 . Điểm M6(2;0) +∞ y 2 O 1 x= + Đạo hàm y’= x Có điểm thuộc đồ thò (C) có tọa nguyên 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), tiếp tuyến qua K(6;5) + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến qua K. Phương trình : y= k(x+6)+5 (d) x x k(x 6) (1) + Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) 4 k (2) (x 2) x2 4 Thay (2) vào (1) ta có : = (x+6) +5 ( đk x≠ 2) x (x 2) x24 =4(x+6)+5(x2)2 x2 4 = 4x 24+5x2 20x +20 4x224x=0 x = x=6 Khi x=0 k = 1 x=6 k= Có hai tiếp tuyến qua K : y =(x+6)+5 y= x1 1 y= (x+6)+5 y= x+ 4 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 . Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 => hệ số góc tiếp tuyến k= 4 + Giải pt : y’=4 4 =4 (x2)2 =1 x=1 x=3 (x 2) => hai điểm tương ứng : M1(1;3) ; M2(3;5) Suy có tiếp tuyến thỏa đk đề : y= 4(x1)3 y= 4(x3)+5 4) Cho : y= x3m . Chứng minh cắt (C) điểm A, B . Tìm m để AB ngắn + Phương trình hoành độ giao điểm : x2 =x3m (*) x2 Điều kiện : x≠ Pt (*) x+2 = (x3m)(x2) x2 (3m+3).x +6m2=0 (1) Ta có = (3m+3)2 4(6m2) =9m2 +18m +924m+8=9m26m+17 =(3m1)2 +16 > , m Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giả sử hai nghiệm x1 ; x2 nghiệm pt(1) x x 3m đònh lý Viét : A(x1; x13m) ; B(x2; x23m) x1.x 6m AB= = (x x1 )2 (x 3m x1 3m) = 2(x x1 )2 8x1x = = 9m 6m 17 = ABmin = 2(x x1 )2 2. 3m 3 6m (3m 1)2 16 32 3m1 =0 m = 32 5) Chứng minh : 2y” +y.y’y’= + Đạo hàm cấp 1: y’= (x 2) (x 2)3 4 x2 Ta có VT =2. + ( )+ (x 2) x (x 2) (x 2) 4(x 2) 4(x 2) 16 = + =0 (x 2) (x 2)3 Đạo hàm cấp hai : y”= VT = VP ( đpcm) 6) Tiếp tuyến điểm M(x0;y0) (C) , cắt tiệm cận điểm P, Q . Chứng minh M trung điểm PQ. + Đạo hàm y’= (x 2)2 Tiếp tuyến điểm M(x0;y0) (C) có dạng : x 2 y= (xx0) + ( x0 2) (x 2) x0 + Tiếp tuyến cắt TCĐ : x=2 x 2 x x0 4 => yP = (2x0) + = + = (x 2) x0 x0 x0 x0 x 6 điểm P(2; ) x0 +Tiếp tuyến cắt TCN : y=1 x 2 => 1= (xQx0) + (x 2) x0 4x x 2 x = + 1 Q (x 2) (x 2) x 4xQ = 4x0 + x 20 4 ( x 20 4x0 +4) xQ = 2x0 2 Vậy Q(2x0 2;1) Mà : xP xQ = 2x =x0 x0 1 y P yQ x 2x x = = = 2 2(x 2) x Suy M trung điểm PQ 7) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh đồ thò (C) cho MN ngắn . + Viết lại hàm số y= 1+ . x2 Hai nhánh đồ thò ngăn cách tiệm cận đứng x =2 + Gọi M thuộc nhánh phải M(2+a; 1+ ) , a N thuộc nhánh trái N(2b;1 ) với a, b > b 4 4 Độ dài MN= (2 b a)2 (1 )2 = (b a) ( )2 b a b a 16 16 32 16 16 32 MN= a b 2ab = (a ) (b2 ) (2ab ) ab ab b a a b a2. 16 16 32 2. b . 2. 2ab. = 16 = 32 ab a b 16 a a 16 MNmin = 32 b2 a=b=2. b 32 2ab ab Vậy M(4;3) N(0 ;1) 8) Tìm điểm đồ thò (C) cách hai trục tọa độ . + điểm M(x;y) (C) cách hai trục tọa độ tức : d(M;Ox) = d(M;Oy) y M = x M x x x x x x 17 x . 17 x Hai điểm : M1( x x 2x x x 2x x2 =x x2 x 3x x x 0(VN) 17 17 17 17 ; ); M2( ; ) 2 2 9) Chứng minh tích số khoảng cách từ điểm M(x0;y0) (C) đến hai tiệm cận số không đổi . ; x≠1 x2 + Tiệm cận đứng : x=2 ; Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : d1= d(M;TCĐ)= x M(x;y) (C) y= 1+ + Tiệm cận ngang : y=1 ; Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang : 4 d2= d(M;TCN)= y = 1 = x 2 x2 + Tích hai khoảng cách : d1.d2 = x . =4 ( số ) x2 10) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho OAB cân O. => tiếp tuyến song song với đường thẳng y= x => hệ số góc k= TH1: k=1 . 4 Phương trình : y’= k =1 (x2)2 =4 ( vô nghiệm) (x 2) TH2: k=1 4 Phương trình:y’= k =1 (x2)2 =4 x=0 x=4 (x 2) Tại điểm M1(0;1) . Phương trình tiếp tuyến : y=x1 Tại điểm M2(4;3) . Phương trình tiếp tuyến : y=(x4)+ 3 y= x+ 11) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn (C) hai trục tọa độ x2 y x x2 + Hình phẳng : y . Pt : =0 x=2 x2 x + Diện tích hình phẳng cần tìm : S= 2 = (1 2 ).dx =(x4ln x ) x2 x2 x2 .dx = .dx x2 x 2 2 =04ln2 +(2+4ln4)=4ln2 2 12) Cho hình (H) quay quanh trục Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành . x2 y x +Hình phẳng : y quay quanh Ox x 0 16 x2 + V= .dx = .dx = .dx x 2 x2 x (x 2)2 2 2 2 16 ) =(0+8ln2+8) (2+8ln4+4) x 2 =(68ln2) (đvtt) 13) Cho hình (H) quay quanh trục Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành : 2y x2 y => yx2y =x+2 x= x2 y 1 = (x +8ln x 2y x y +Hình phẳng : y quay quanh Oy x Pt : 2y =0 y=1 y 1 2 0 2y 16 16 + V= .dx = .dx = y 1 y y 12 .dx y 1 1 1 16 ) =(0+16ln1+16) (4+16ln2+8) y 1 =(1216ln2) ( đvtt) = (4x +16ln y . 1 4 x+ 7 2 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 . Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 => hệ số góc của tiếp tuyến k= 4. tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OAB cân tại O. => tiếp tuyến song song với đường thẳng y= x => hệ số góc k= 1 TH1: k=1 . Phương trình : y’= k <=>. Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức : Cho hàm số y = x 2 x 2 ; đồ thò (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên. Tìm