Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010-2011. Câu 1: Giải phơng trình: ( x ) = x x + 3(*) x x5 Giải: ĐK: x + Đặt: x = t x = t + Phơng trình cho trở thành: ( ) t = 3t t + t + = 2t + 3t + 2t + 3t + 2 t + = 2t + 3t + ( ) t 4t + 12t 12t + = t t = t t = t = + ( t 1) t 3t + = t = ( lo i ) t = Với t=1 x = x = (nhận) 5 17 (nhận) t= x = x= 2 x = Vậy phơng trình cho có nghiệm 17 x= b. Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a + 2b + 5c = . CMR phơng trình sau có ( ) nghiệm: ax + bx + c = . GiảI: Xét pt ax + bx + c = . Khi a = phơng trình trở thành. c bx + c = x = (*) b Mặt khác : a = ta có : 2b + 5c = b = 5c thay vào (*) ta đợc: Vậy phơng trình có nghiệm. Khi a phơng trình cho phơng trình bậc hai ẩn x. pt ax + bx + c = có = b 4ac (1) từ giả thiết ta có : a = 2b 5c . thay vào (1) ta đợc: = b2 4c( b 5c) = b + 8bc + 20c x= = ( b + 4c ) + 4c 0a, b, c Vậy phơng trình ax + bx + c = có nghiệm với a,b,c thỏa mãn a + 2b + 5c = . Câu 2: Giải hệ phơng trình: x xy + x + y = 0(1) 2 x x y + x + y = 0(2) Giải: Từ pt (1) ta có : y = x2 + x thay vào (2) ta đợc: 4x 2 x2 + x x2 + x x 8x + 3x + ữ =0 4x 4x 16 x 48 x + 40 x 24 x + 16 x = ( ) x ( x 1) ( x ) 16 x + = x = x = x = x =0 y=0 Với x = y = x = y = ( 0;0 ) Vậy hệ cho có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) ( 2;1) Câu 3: Cho hệ tọa độ Oxy có A(1;3); B(-5;-3). Xác định M : x-2y+ 1= cho uuur uuur 2MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi M(2a-1;a) uuur uuur MA = ( a;3 a ) MA = ( a;6 a ) uuur MB = ( a 4; a ) uuur uuur MA + MB = ( 6a;3 3a ) uuur uuur uuur uuur 2 MA + MB = ( 6a ) + ( 3a ) MA + MB = 45a 18a + uuur uuur MA + MB = 5a ữ +5 5 ur uuuur = Min uuu a= MA + MB 5 uuur uuur M ; 2MA + MB đạt GTNN. Vậy với ữ 5 Câu 4: Cho tam giác ABC có: CotA+ CotC = CotB. (1) a. Tính giá trị góc tạo hai đờng trung tuyến = b. Tính GTLN góc B = Giải: a. Thay = vào (1) ta đợc: CotA+ CotC = CotB b2 + c a2 CosA b2 + c2 a2 bc CotA = = = Ta lại có: a SinA 4S 2R a2 + c b2 a2 + b2 c2 ; CotC = 4S 4S 2 2b a + c b2 = a2 + c = 5b (*) CotA+ CotC = CotB. 4S 8S Tơng tự ta có: CotB = A C1 C B A1 ma ữ + mc ữ b Mặt khác ta có: Cos ( AA1 ; CC1 ) = 8ma mc 2 2 b + 2c a b + a c ữ+ ữ b 9 Cos ( AA1 ; CC1 ) = 8ma mc Cos ( AA1 ; CC1 ) ( 4b = ) + a2 + c2 9b2 8ma mc b + 5b b Cos ( AA1 ; CC1 ) = =0 8ma mc Cos ( AA1 ; CC1 ) = 0. = 90 b. Thay = vào (1) ta đợc: CotA+ CotC = 2CotB. b2 + c a2 a2 + c b2 a2 + b2 c2 ; CotB = ; CotC = . 4S 4S 4S b2 + c a2 a2 + b2 c a2 + c2 b2 + = 2. a + c = 2b CotA+ CotC = 2CotB 4S 4S 4S 2 2 a +c b b = . (vì a + c = 2b ). Mặt khác ta có: CosB = 2ac 2ac 2 b b b 1 2 = = CosB B 60o CosB = 2ac a + c 2b 2 o Vậy: Max B = 60 a = b = c hay tam giác ABC tam giác đều. 1 Câu 5: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: + + = Tìm GTLN biểu thức: a b c 1 T= + + 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ac + 2a Theo câu a ta có: CotA = Giải: Ta có: = 5a + 2ab + 2b = 3a + 2a + 2ab + 2b 1 = 3a + 3ab + 3ab a 4b2 3 a 4b2 3a + ab a4b2 + a2 a2 b2 = a . a . b 1 1 1 . + + ữ = 3 a a b 3 1 + + +1 1 1 a a b ữ 1 1 + 2+ = + + ữ+ a a b 3 3a a b 3 Tơng tự ta có: 1 1 + + ữ+ 3b b c 5b + 2bc + 2c 1 1 1 + + ữ+ a 5c + 2ac + 2a c c 1 1 = + = T + + ữ+ 3a b c 3 3 Vậy Max T = a = b = c = 3 1 + + a2 a2 b2 . Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2 010- 2011. Câu 1: Giải phơng trình: ( ) 2 6 3 5 3(*)x x x = + Giải: ĐK:. phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai ẩn x. pt 2 0ax bx c+ + = có 2 4b ac = (1) từ giả thi t ta có : 2 5a b c= . thay vào (1) ta đợc: ( ) 2 2 2 2 2 4 ( 2 5 ) 8 20 4 4 0 , , b c b