Đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010-2011 Câu 1: GiảI phơng trình: 2 ( ) x-6 = 3 x-5 - x+3 ( ) * Giải: Điều kiện: x-50 x+30 x 5 Đặt: x-5 = t ( t 0 ) t 2 = x- 5 x= t 2 +5 thay vào ( ) * ta đợc: 2 ( ) t 2 -1 = 3t - t 2 +8 t 2 +8 = -2t 2 +3t +2 -2t 2 +3t+20 t 2 +8= ( ) -2t 2 +3t+2 2 -1 2 t2 4t 4 +12t 3 -12t+4=0 -1 2 t2 4 ( ) t-1 2 ( ) t 2 -3t+1 t=1 t= 3+ 5 2 ( ) loại t= 3- 5 2 t=1 t= 3- 5 2 Với t=1 x-5=1 x=6 (nhận) t= 3- 5 2 x= 17-3 5 2 (nhận) Vởy pt đã cho có hai nghiệm: x=6 x= 17-3 5 2 b. Cho ba số thực a,b,c thõa mãn a+2b+5c =0. CMR phơng trình sau luôn có nghiệm: ax 2 +bx+c = 0. Giải: Xét a = 0. phơng trình đã cho trở thành: bx +c = 0 x= -c b ( ) * . mặt khác 2b + 5c = 0 b = -5c 2 thay vào ( ) * ta đợc: x = -c -5c 2 x = 2 5 vậy phơng trình luốn có nghiệm. Xét a 0. phơng trình đã cho là một phơng trình bậc hai ẩn x có: = b 2 -4ac (1) Mặt khác: từ giả thiết ta có: a = -2b-5c thay vào (1) ta đợc: = b 2 -4c ( ) -2b-5c = b 2 +8cb+20c 2 = ( ) b+4c 2 +4c 2 0 a,b,c thỏa mãn a+2b+5c= 0 Câu 2: GiảI hệ phơng trình: x 2 -4xy+x+2y=0 ( ) 1 x 4 -8x 2 y+3x 2 +4y 2 =0 ( ) 2 GiảI: Từ ( ) 1 ta có : y= x 2 +x 4x-2 thay vào ( ) 2 ta đợc: x 4 -8x 2 x 2 +x 4x-2 +3x 2 +4 x 2 +x 4x-2 2 =0 x 4 ( ) 4x-2 2 -8x 2 ( ) 4x-2 ( ) x 2 +x +3x 2 ( ) 4x-2 2 +4 ( ) x 2 +x 2 =0 16x 6 -16x 5 +4x 4 -32x 5 -16x 4 +16x 3 +48x 4 -48x 3 +12x 2 +4x 4 +8x 3 +4x 2 =0 16x 6 -48x 5 +40x 4 -24x 3 +16x 2 =0 x 2 ( ) 16x 4 -48x 3 +40x 2 -24x+16 =0 x 2 ( ) x-1 ( ) x-2 ( ) 16x 2 +8 =0 x=0 x-1=0 x-2=0 16x 2 +8=0 ( ) VN x=0 x=1 x=2 Với x=0 y=0 x=1 y=1 x=2 y=1 Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm : ( ) x;y = ( ) 0;0 ( ) 1;1 ( ) 2;1 Câu 3: Cho tam giác ABC có: cotA +cotC = cotB a. Xác định góc tạo bởi giữa hai đờng trung tuyến AA 1 và CC 1 khi = 1 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi = 2. Bài giảI: a. Thay = 1 2 vào giả thiết ta đợc: cotA+ cotB = 1 2 cotB Mặt khác: cotA= cosA sinA cotA = b 2 +c 2 -a 2 2bc a 2R cotA = b 2 +c 2 -a 2 4S Tơng tự ta có: cotC = a 2 +b 2 -c 2 4S ; cotB = a 2 +c 2 -b 2 4S ⇒ cotA + cotC = 1 2 cotB ⇔ 2b 2 4S = a 2 +c 2 -b 2 8S ⇔ a 2 +c 2 = 5b 2 ( ) * G C1 B A1 C A Ta thÊy ( ) AA 1 ;CC 1 = C 1 GA 1 = AGC Ta cã: cos ( ) AA 1 ;CC 1 = cos AGC = 2 3 m a 2 + 2 3 m c 2 -b 2 2. 2 3 m a 2 3 m c ⇔ cos ( ) AA 1 ;CC 1 = 8b 2 +8c 2 -4a 2 +8a 2 +8b 2 -4c 2 -36b 2 36 8.m a .m c 9 ⇔ cos ( ) AA 1 ;CC 1 = 4 ( ) a 2 +c 2 -20b 2 36 8.m a .m c 9 ⇔ cos ( ) AA 1 ;CC 1 = 4 ( ) 5b 2 -20b 2 36 8.m a .m c 9 ⇔ cos ( ) AA 1 ;CC 1 =0 ⇔ ( ) AA 1 ;CC 1 = 90 0 VËy gãc t¹o bëi gi÷a hai ®−êng trung tuyÕn AA 1 vµ CC 1 lµ 90 0 b. Thay α =2 vµo gi¶ thiÕt ta ®−îc: cotA + cotC = 2cotB Theo c©u a ta cã : cotA = b 2 +c 2 -a 2 4S ; cotC = a 2 +b 2 -c 2 4S ; cotB = a 2 +c 2 -b 2 4S . ⇒ cotA + cotC = 2cotB ⇔ b 2 2S = a 2 +c 2 -b 2 2S ⇔ a 2 +c 2 = 2b 2 Mặt khác : cosB = a 2 +c 2 -b 2 2ac cosB = b 2 2ac Mà 2ac a 2 + c 2 cosB b 2 a 2 +c 2 cosB b 2 2b 2 = 1 2 cosB 1 2 B 60 0 Vậy Min B = 60 0 khi và chỉ khi a =b =c hay tam giác ABC là tam giác đều. Câu 4: Cho hệ tọa độ Oxy có A(1;3); B(-5;-3). Xác định điểm M d: x-2y+1 =0 sao cho 2 MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Gọi điểm M(2a-1;a) d. MA = ( ) 2-2a;3-a 2 MA = (4-4a; 6-2a). MB = (-2a-4;-3-a) 2MA + MB = (-6a; 3-3a) 2MA+ MB = ( ) -6a 2 + ( ) 3-3a 2 2MA+ MB = 45a 2 -18a+9 2MA+ MB = 3 5a 2 -2a+1 2MA+ MB = 3 5a- 1 5 2 + 4 5 3. 2 5 Min 2MA+ MB = 6 5 a = 1 5 Vậy với M -3 5 ; 1 5 thì 2MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: Cho 3 số thực dơng a,b,c thỏa mãn 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 =1 Tìm GTLN của biểu thức: T = 1 5a 2 +2ab+2b 2 + 1 5b 2 +2bc+2c 2 + 1 5c 2 +2ac+2a 2 . Đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2 010- 2011 Câu 1: GiảI phơng trình: 2 ( ) x-6 = 3 x-5 - x+3 ( ) * Giải:. phơng trình sau luôn có nghiệm: ax 2 +bx+c = 0. Giải: Xét a = 0. phơng trình đã cho trở thành: bx +c = 0 x= -c b ( ) * . mặt khác 2b + 5c = 0 b = -5c 2 thay vào ( ) * ta đợc:. 0. phơng trình đã cho là một phơng trình bậc hai ẩn x có: = b 2 -4ac (1) Mặt khác: từ giả thi t ta có: a = -2b-5c thay vào (1) ta đợc: = b 2 -4c ( ) -2b-5c = b 2 +8cb+20c 2