HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015) ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
HèNH HC KHễNG GIAN OXYZ LUYN THI I HC Phn 1: Lớ thuyt : 1. Mp i qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) v cú VTPT n r =(A;B;C) phng trỡnh l: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 Ax + By + Cz + D = 0 2.ng thng (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) v cú VTCP u r =(a,b,c) cú: * Phng trỡnh tham s l: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + vi t R * Phng trỡnh chớnh tc l: 0 0 0 x x y y z z a b c = = (a.b.c 0) 3.Ph ng trỡnh maởt cau taõm I(a ; b ; c),baựn kớnh R : ( ) ( ) ( ) + + = 2 2 2 x a y b z c R 4. Ph ng trỡnh + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 (2) ( + + > 2 2 2 vụựi 0 ) = + + R 5.Cụng thc tớnh gúc gia hai ng thng : 1 2 1 2 . . u u c u u = uur uur uur uur os trong ú 1 2 ,u u uur uur ln lt l hai VTCP ca hai ng thng 6. Cụng thc tớnh gúc gia ng thng v mt phng: . sin . = r r r r n u u u trong ú ,n u r r ln lt l hai VTPT v VTCP ca mt phng v ng thng 7. Cụng thc tớnh gúc gia hai ng thng : 1 2 1 2 . . n n c n n = uur uur uur uur os trong ú 1 2 ,n n uur uur ln lt l hai VTPT ca hai mt thng 8. Cụng thc tớnh khong cỏch gia hai im ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB= x -x + y -y + z -z 9. Khong cỏch t im M 0 (x 0 ;y 0 z 0 ) n mt phng ( ): Ax+by+Cz+D=0 l: ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax +By +Cz +D d M ,() = A +B +C 10. Khong cỏch t im M 1 n ng thng i qua M 0 v cú vect ch phng u ur l: 1 d(M ,)= M M ,u 0 1 u uuuuuuuur ur ur 11. Khong cỏch gia hai ng thng v chộo nhau: ' 0 0 u,u' .M M d( ,')= u,u' uuuuuur r ur r ur trong ú i qua im M 0 , cú VTCP u r . ng thng i qua im ' 0 M , cú VTCP u' ur . 12. Cụng thc tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh : ABCD S = AB,AD uuur uuur 13. Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc : ABC 1 S = AB,AC 2 uuur uuur 14. Cụng thc tớnh th tớch hỡnh hp : ABCD.A'B'C'D' V = AB,AD .AA' uuur uuur uuur 15. Cụng thc tớnh th tớch t din : ABCD 1 V = AB,AC .AD 6 uuur uuur uuur 1 2/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng : Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : z y x = − − = 1 2 và d’ : 1 5 3 2 2 − + =−= − z y x . Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng )( α đi qua d và vuông góc với d’ Giải .Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phương )1;1;1( −u Đường thẳng d’ đi qua điểm )5;3;2(' −M và có vectơ chỉ phương )1;1;2(' −u Ta có )5;1;2( −=MM , [ ] )3;3;0('; =uu , do đó ! " #u u MM = − ≠ r ur uuuuur vậy d và d’ chéo nhau. Mặt phẳng )( α đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ pháp tuyến là )1;1;2(' −u nên có phương trình: 0)2(2 =−−+ zyx hay 022 =−−+ zyx Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : z y x = − − = 1 2 và d’ : 1 5 3 2 2 − + =−= − z y x . Viết phương trình mặt phẳng )( α đi qua d và tạo với d’ một góc 0 30 Giải. .Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phương " ""u = − r Đường thẳng d’ đi qua điểm )5;3;2(' −M và có vectơ chỉ phương " "u − ur . Mp )( α phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt );;( CBAn = thì ta phải có : = ++ −+ =+− 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA ⇔ =−− += ⇔ +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+−⇔=−− CACACACA . Vậy CA = hoặc CA −= 2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( α mp có phương trình 0)2(2 =+−+ zyx hay 042 =−++ zyx Nếu CA −= 2 ta có thể chọn 2,1 −== CA , khi đó 1−=B , tức là )2;1;1( −−=n và )( α mp có phương trình 02)2( =−−− zyx hay … Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d − + = = − và 2 2 1 ( ): 1 1 1 x y z d − + = = − . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2 ) một góc 30 0 . Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z+ + + − + − = . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1. Giải Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ 2 2 2 ( , , ),( 0)n a b c a b c+ + ≠ r làm véctto pháp tuyến có PT: 2 6 0ax by cz b c+ + + + = Từ giả thiết: (2;0; 2) ( ) ( ;( )) 3 B P d I P − ∈ ⇒ ⇒ = tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y – z – 4 = 0 và (P 2 ): 7x – 17y + 5z – 4 = 0 2 Bài 5. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), ( )DH ABC⊥ và 3DH = với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC). Giải. Trong tam giác ABC, gọi K CH AB= ∩ . Khi đó, dễ thấy ( )AB DCK⊥ . Suy ra góc giữa (DAB) và (ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi Tính được HK là xong. + Phương trình mặt phẳng (ABC). - Vecto pháp tuyến ( ) [ , ] 0; 4; 4n AB AC= = − − r uuur uuur - (ABC): 2 0y z+ − = . + ( )H ABC∈ nên giả sử ( ; ;2 )H a b b− . Ta có: ( ; ; ), (4; 2;2).AH a b b BC= − = − uuur uuur ( 2; ; ), ( 2;2; 2).CH a b b AB= − − = − − uuur uuur Khi đó: . 0 0 2 2 2 0 . 0 BC AH a b a b a b AB CH = − = ⇔ ⇔ = = − − + + = = uuur uuur uuur uuur Vậy H(-2; -2; 4). + Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: 4 0x y z− + − = . Phương trình đường thẳng AB là: 2 x t y t z t = = − = + . Giải hệ: 2 4 0 x t y t z t x y z = = − = + − + − = ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3. Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: 2 2 2 2 2 8 96 2 2 4 3 3 3 3 HK = + + − + + − = ÷ ÷ ÷ . Gọi ϕ là góc cần tìm thì: tan / 96 /12 6 / 3 arctan( 6 / 3)DH HK ϕ ϕ = = = ⇒ = Vậy arctan( 6 / 3) ϕ = là góc cần tìm. Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S): 2 2 2 2 4 2 3x y z x y z+ + − + + − , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải. Ta cã: x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y +2z -3= 0 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3x y z⇔ − + + + + = => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3. Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D 5≠ ) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ( ) ;( ) 3d I Q R= = 10 1 9 8 D D D = − = ⇔ = − Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0 Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0 Bài 7. Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S): 2 2 2 2 4 4 16 0x y z x y z+ + − − + − = ’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16 π . Giải. Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có 2 16 4r r π π = ⇒ = 3 mặt khác ta có IO = 4 ( ;( )) 3 D d I Q + = . l ại c ó R 2 = r 2 + OI 2 5, 13D D⇒ = = − vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0. Bài 8. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Giải. •Gọi Ocban ≠= );;( là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 •TH1: ca = ta chọn 1== ca ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0 • TH2: ca 7 = ta chọn a =7; c = 1 ⇒Pt của (P):7x+5y+z+2=0 Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: ( ) 3 4 6 : 1 3 2 x y z d − − − = = , 1 4 5 ( '): 2 1 2 x y z d + + − = = − và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d). Lập phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của (d) và (P), có bán kính là khoảng cách giữa (d) và (d’). Giải. + (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương = r " "$ (d ’ ) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương = − r " Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là ( ) 1 2 8;6; 5n u u= ∧ = − − r ur uur Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q)) + Giao điểm của d và (P) là điểm −"% & $' "( ( "( Khoảng cách giữa d và d ‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 11 5 5 +Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là: 2 2 2 19 6 38 121 15 5 15 125 x y z − + + + − = ÷ ÷ ÷ Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz góc 30 0 . Giải. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: )3;2;1( −− d u gọi );;( cban (với a 2 +b 2 +c 2 ≠0) là vectơ pháp tuyến của (α) d//(α) ⇒ 0. = d un ⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c Sin((α),Oz)=sin30 0 = ),cos( d un 2 1 222 = ++ ⇔ cba c ⇔3c 2 =a 2 +b 2 ⇔ 3c 2 =(2b+3c) 2 +b 2 4 • d(C;(P)) = 0141623 )2( 2 3 22 222 =+−⇔= +−+ + ⇔ caca ccaa ca = = ⇔ ca ca 7 ⇔5b 2 +12bc+6c 2 =0 +− = −− = ⇔ cb cb 5 66 5 66 với cacb 5 623 5 66 − =⇒ −− = chọn 5;66;623 =−−=−= cba ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: 063125)66()623( =−+++−− zyx với cacb 5 623 5 66 + =⇒ +− = chọn 5;66;623 =+−=+= cba ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: 063125)66()623( =++++−++ cyx Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z− − − ∆ = = − và điểm A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1 3 . Giải. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u → = (2 ; -1 ; 1). Gọi n → = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì ( ) . 0P n u n u → → → → ∆ ⊂ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ 2a – b + c = 0 ⇔ b = 2a + c n → ⇒ =(a; 2a + c ; c ) , từ đó ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0 ⇔ Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = 1 3 2 2 2 1 3 (2 ) a a a c c ⇔ = + + + ( ) 2 0a c⇔ + = 0a c ⇔ + = với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 ⇒ pt(P) : x + y – z = 0 Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1 1 : 2 1 x t d y t z = + = − = 2 2 1 1 : 1 2 2 x y z d − − + = = − . Viết phương trình mp(P) song song với 1 d và 2 d , sao cho khoảng cách từ 1 d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ 2 d đến (P). Giải. Ta có : 1 d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : ( ) 1 1; 1;0u → = − 2 d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: ( ) 2 1; 2;2u → = − Gọi n → là vtpt của mp(P), vì (P) song song với 1 d và 2 d nên n → = [ 1 2 ;u u → → ] = (-2 ; -2 ; -1) ⇒ pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0 d( 1 d ;(P)) = d(A ; (P)) = 7 3 m+ ; d( 2 ;( ))d P = d( B;(P)) = 5 3 m+ vì d( 1 d ;(P)) = 2. d( 2 ;( ))d P 7 2. 5m m⇔ + = + 7 2(5 ) 7 2(5 ) m m m m + = + ⇔ + = − + 3 17 3 m m = − ⇔ = − Với m = -3 ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 5 Với m = - 17 3 ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z - 17 3 = 0 Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 3 z = 0 một góc 60 0 . Giải. Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, )0;;( BAn p =⇒ → và )5;1;2( −= → Q n . Theo gt: 22 22 0 .1022 2 1 514. 2 60cos),cos( BABA BA BA nn Qp +=+⇔= +++ + ⇔= →→ 06166 22 =−+⇔ BABA Chọn B = 1 ta có : 6A 2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : ( ) ( ) 921 2 2 2 =+++− zyx . Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : 22 1 1 − = − = zyx và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 . Giải. KL : Có 2 mặt phẳng : (P 1 ) : 053522 =+−−+ zyx và (P 2 ) : 053522 =−−−+ zyx Bài 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + − + − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)v r , vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4 11 0x y z α + + − = và tiếp xúc với (S). Giải. Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến của ( ) α là (1;4;1)n r Vì ( ) ( )P α ⊥ và song song với giá của v r nên nhận véc tơ (2; 1;2) p n n v= ∧ = − uur r r làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên ( ( )) 4d I P→ = ⇔ 21 ( ( )) 4 3 m d I P m = − → = ⇔ = Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 3/ Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng: Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và (d’) x 1 2t y 2 t z 1 t = + = + = + Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng Giải. Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : 6 . (S) có tâm )2,0,1( −J bán kính R = 3 + đt a có vtcp )2,2,1( − → u , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận → u làm vtpt Pt mp (P) có dạng : 022 =+−+ Dzyx + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = 5 22 =−rR nên ta có : 5 3 )2.(20.21 = +−−+ D −−= +−= ↔ 535 535 D D x 9 t y 6 8t z 5 15t = − = − = − + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( ) u 1;1;2 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( ) u ' 2;1;1 uur Ta có : ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0 = − = − ≠ uuuuur r uur ( ) ( ) ( ) MM' u, u ' 8 d d , d' 11 u,u ' = = uuuuur r uur r uur Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) x t y 1 2t z 4 5t = = + = + và (d’) x t y 1 2t z 3t = = − − = − a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Giải. a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( ) u 1;2;5 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( ) u ' 1; 2; 3− − uur Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là 1 3 I ;0; 2 2 − ÷ hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy u 15 15 15 v .u ' ; 2 ; 3 7 7 7 u ' = = − − ÷ ÷ r r uur uur . Ta đặt : 15 15 15 a u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7 = + = + − − ÷ ÷ r r r 15 15 15 b u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7 = − = − + + ÷ ÷ r r r Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b r r làm VTCP và chúng có phương trình là : 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7 = − + + ÷ ÷ = − ÷ ÷ = + − ÷ ÷ và 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7 = − + − ÷ ÷ = + ÷ ÷ = + + ÷ ÷ Bài 3. Cho hai đường thẳng có phương trình: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = + = − = − Viết phương trình đường thẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải. 7 • ( ) MM ' 2; 1;3= − uuuuur Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB= uuur uuur ( ) ( ) 3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − − uuur uuur 3 1 3 1 1 11 2 3 3 2 11 2 4 2 2 4 1 a kb a kb a a kb k a k kb k a kb a kb b − = − = = ⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ = − + = − + = = => ( ) 2; 10; 2MA = − − uuur Phương trình đường thẳng AB là: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = + = − = − Bài 4. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) 01 =+−+ zyx ,đường thẳng d: 3 1 1 1 1 2 − − = − − = − zyx . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 23 . Giải. • (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1( )( −= P n và d có véc tơ chỉ phương )3;1;1(. −−=u )4;2;1()( IPdI ⇒∩= • vì ∆⇒⊥∆⊂∆ dP);( có véc tơ chỉ phương [ ] )2;2;4(; )( −−== ∆ unu P )1;1;2(2 −−= Phương trình (Q): 0420)4()2()1(2 =+−+−⇔=−−−+−− zyxzyx Gọi 11 )()( dQPd ⇒∩= có vécto chỉ phương [ ] )1;1;0(3)3;3;0(; )()( == QP nn và 1 d qua I += += = ⇒ tz ty x ptd 4 2 1 : 1 Ta có );;0()4;2;1( 1 ttIHttHdH =⇒++⇒∈ ⇒ −= = ⇔=⇔= 3 3 23223 2 t t tIH Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1 : 4 1 2 x t d y t z t = = − = − + ;d 2 : 2 1 3 3 x y z− = = − − và d 3 : 1 1 1 5 2 1 x y z+ − + = = . Chứng tỏ rằng 1 2 ;d d là hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 2 ;d d .Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC. Giải. +)Đường thẳng 1 : 4 1 2 x t d y t z t = = − = − + suy ra 1 d đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp 1 (1; 1;2)u − ur .Đường thẳng d 2 : 2 1 3 3 x y z− = = − − suy ra 2 d đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp 2 (1; 3; 3)u − − uur .Ta có (0; 2;1)AB − uuur và 8 • Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ )(QmpH ∈⇒ qua I và vuông góc ∆ • TH1: 1 7 1 5 2 1 :)7;5;1(3 − − = − = − − ∆⇒⇒= zyx ptHt TH2: 1 1 1 1 2 1 :)1;1;1(3 − − = + = − − ∆⇒−⇒−= zyx ptHt ( ) 1 2 , 9;5; 2u u = − ur uur suy ra 1 2 . , 9.0 ( 2).5 1.( 2) 12 0AB u u = + − + − = − ≠ uuur ur uur .Vậy 1 d và 2 d là hai đường thẳng chéo nhau. Khoảng cách giữa 1 d và 2 d là : ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 . , 12 6 , 55 9 5 ( 2) , AB u u d d d u u − = = = + + − uuur ur uur ur uur +)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC ( 1 5 ) 2 4 (1 2 ) 2.(2 3 ) 1 2 ( 1 ) 2( 3 ) t v u t v u t v u + − + = ⇔ − + + = − − + + − + = − Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2 1 1 1 x y z− = = Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC. Giải. Ta có: + Các đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1) + ( ) ( ) 8; 16; 8 , 4; 4; 4 . 32 64 32 0AC OB AC OB AC OB= − − = ⇒ = − + − = ⇒ ⊥ uuur uuur uuur uuur (2) Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi OABC + . 32 32 0 (4; 0; 4); ( ) . 16 16 0 SI AC SI SI OABC SI OB = − + = = − ⇒ ⊥ = − = uur uuur uur uur uuur + Do OABC là hình thoi và ( )SI OABC⊥ nên: ( ) AC OB AC SOB AC SI ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Từ đó trong mp(SOB) nếu kẻ IH SO ⊥ tại H thì IH AC ⊥ tại H. Vậy IH là đoạn vuông góc chung của SO và AC . 4 2.2 3 4 66 ( , ) 11 2 11 SI OI d SO AC IH SO ⇒ = = = = 4/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu: Bài 1. Trong kg Oxyz cho đường thẳng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I ∈∆ và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 . Giải. Mặt cầu(S) có tâm I ∈∆ g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của ∆ (1) * ( ) ( ) ; 2d I P = (2) Từ (1) và(2) ta có hệ PT: 2 2 2 6 11 14 1 1 1 7 ; ; ; ; ; 2 1 6 3 6 3 3 3 2 a b c a t heconghiem va b t c t − − − = = ⇒ ⇒ − − − ÷ ÷ = − = + Do 2 4 3 13r R R= − = ⇔ = Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt : ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 11 14 1 ( ) : 13 6 3 6 1 1 7 : 13 3 3 3 S x y z S x y z − + + + − = ÷ ÷ ÷ + + + + − = ÷ ÷ ÷ 9 Bài 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng 1 3 2 3 1 1 : − = + = − − zyx d và hai mặt phẳng .04:)(,0922:)( =++−=+−+ zyxQzyxP Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi π 2 . Giải. Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0. Vì dI ∈ nên )3;32;1( +−+− tttI . Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 3 22 ))(;( t PIdR − == Ta có 3 211 ))(;( t QId − = . Chu vi của đường tròn giao tuyến 122 =⇒= rr ππ . Suy ra 1 3 )211( ))(;( 2 222 + − =+= t rQIdR (2) Từ (1) và (2) suy ra = = ⇔+ − = − 2 23 4 1 3 )211( 9 )22( 22 t t tt * Với 4=t ta có 2),7;5;3( =− RI . Suy ra mặt cầu .4)7()5()3( 222 =−+−++ zyx * Với 2 23 =t ta có 7, 2 29 ;20; 2 21 = − RI . Suy ra phương trình mặt cầu ( ) 49 2 29 20 2 21 2 2 2 = −+−+ + zyx . Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ,0422:)( =+++ zyxP đường thẳng 1 1 1 1 2 2 : − − = − + = − zyx d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng .04,1 =−+= zyx Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P). Giải. Mặt cầu có tâm dtttI ∈+−−−+ )1;1;22( . 3 9 ))(;( + = t PId . Chọn )1;1;0( −= ∆ u và ∆∈)3;1;1(M . Khi đó )2;2;12( −−−−+= tttMI . Suy ra )12;12;42(],[ −−−−−−= ∆ yttMIu Suy ra 2 182412 ],[ ),( 2 ++ ==∆ ∆ ∆ tt u MIu Id . Từ giả thiết ta có RIdPId =∆= );())(;( −= = ⇔=+⇔++= + ⇔ 53 90 0 090539126 3 9 22 t t tttt t * Với 0=t . Ta có 3),1;1;2( =− RI . Suy ra phương trình mặt cầu .9)1()1()2( 222 =−+++− zyx * Với 53 90 −=t . Ta có 53 129 , 53 143 ; 53 37 ; 53 74 = − RI . Suy ra phương trình mặt cầu 2222 53 129 53 143 53 37 53 74 = −+ −+ + zyx Bài 4 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d 1 ) : 4 2 1 0 x y z − = = . Gọi (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng )( α 03=−+ yx ; )( β 012344 =−++ zyx . Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). 10 [...]... cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Bài 22: (ĐH - KA2011) (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2–4x– 4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều Bài 23: (ĐH - KA2011) (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và... 2 2 ∨ y = t = suy ra tọa độ E và F là : y = 5 5 5 z = 1 z = 1 + Tam giác AEF đều → AE = AF = AH 6/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1;4; 2 ) , B ( −1;2; 4 ) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) Tìm tọa độ điểm M... 2t + 1) Bài 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Suy ra [ AC , AD] = (−4 ; 4t − 7 ; − 4t + 9) Suy ra 1 1 1 S ACD = AC , AD = 16 + (4t − 7) 2 + (−4t + 9) 2 = 32t 2 − 128t + 146 (2) 2 2 2 2 D(0 ; − 1 ; − 3) Từ (1) và (2) ta có 32t − 128t + 128 = 0 ⇔ t = 2 Suy ra +) ABCD là hình bình hành nên AB = DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5) Bài 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1; 2;... Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y −1 z = = Xác định tọa 2 1 2 độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM Bài 20: (ĐH - KA2010) (CB) x −1 y z + 2 = = và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 2 1 −1 0 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 Bài 21: (ĐH - KA2010) (NC) x+2 y−2 z+3 = = Trong không gian tọa độ Oxyz, cho... sao cho MA = MB = 3 Bài 24: (ĐH - KB2011) (CB) x − 2 y +1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : và mặt phẳng (P): x + y = = 1 −2 −1 + z – 3 = 0 Gọi I là giao điểm của Δ và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và MI = 4 14 Bài 25: (ĐH - KB2011) (NC) x + 2 y −1 z + 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và hai điểm A(– 2; 1; = = 1 3 −2 1), B(–... giác MAB có diện tích bằng 5 3 Bài 26: (ĐH – KD 2011) (CB) x +1 y z − 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: = = 2 1 −2 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox Bài 27: (ĐH – KD 2011) (NC) x −1 y − 3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: = = và mặt phẳng(P) 2 4 1 2 x − y + 2 z = 0 Viết phương... (0;3;3) là trung điểm AB nên MA2 + MB 2 = 2 KA2 + 2 KM 2 KA không đổi nên MA2 + MB 2 nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của K trên mặt phẳng (OAB ) u ur uu r M ( x; y; z ) ⇒ KM = ( x; y − 3; z − 3) / / n = (2; −1;1) ⇔ M (2t ;3 − t ;3 + t ) M ∈ (OAB ) ⇒ 4t − (3 − t ) + (3 + t ) = 0 ⇒ t = 0 Vậy M (0;3;3) Bài 2 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng(d):... 3 3 3 3 Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới 2 1 3 (P) là lớn nhất Giải Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P),... về tìm điểm: Bài 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1 ; 1 ; 1), B ( −1 ; 2 ; 0), C (1 ; 3 ; − 1) Tìm tọa độ D Giải +) Rõ ràng AB ≠ k AC nên A, B, C không thẳng hàng x = 1 − 2t +) CD // AB nên chọn u CD = AB = (−2 ; 1 ; − 1) Suy ra pt CD : y = 3 + t z = −1 − t ⇒ D(1 − 2t ; 3 + t ; − 1 − t ) ∈ CD Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB,... Suy ra t = −2, s = −2 Vậy M (−1; − 2 ; 5), N (−2 ; − 3 ; 4) Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ ) : x + y − z − 6 = 0 Giải (1) - Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) Vì N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z0 − 6 = 0 MN = PN - MNPQ là hình vuông ⇒ ∆MNP vuông cân tại N ⇔ MN PN = 0 2 2 2 2 ( x0 − 5) + . = + = + = ∨ = − = − = 1 5 242 5 221 1 5 242 5 221 z y x z y x 6/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm ( ) 1;4;2A , ( ) 1;2;4B − . Viết phương trình. là hình thang cân thì BD = AC. Do đó D(3, 2, 0) không thỏa mãn vì khi đó. ABCD là hình bình hành. 11 Với −− 3 2 , 3 8 , 3 5 D thỏa mãn. Bài 2. . Trong không gian với hệ trục Oxyz, . y z− = = Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc