LŨY THỪA với số mũ THỰC lũy THỪA với số mũ hữu tỷ

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Bài 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ VÀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC A. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: a. Với mọi * nN và aR : . . n a a a a a (n thừa số) b. Với 0a  và n ta có: 0 1a  1 n n a a   2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: a. Căn bậc n: ( * n ) + Nếu n lẻ thì n a luôn có nghĩa + Nếu n chẵn thì n a có nghĩa khi 0a  Chú ý: 11 n  00 n  Tính chất: . n n n a b ab n n n aa b b  () n kk n aa . m n m n aa b. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho 0a  , m r n  ( , )mn   là số hữu tỷ. Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ r. Kí hiệu : r a () m n r m m n n a a a a   Hệ quả : 1 n n aa B. Lũy thừa với số mũ thực : Định nghĩa : Cho số thực k khi đó tồn tại dãy số hữu tỷ () n r sao cho lim n rk Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ k. Kí hiệu : lim n r k aa Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 C. Tính chất của lũy thừa : 1. Điều kiện xác định của lũy thừa : Lũy thừa Số mũ Điều kiện của cơ số k a * kN aR 0 k k    0a  k  0a  2. Tính chất của lũy thừa : a. Tính chất đẳng thức : với điều kiện có nghĩa i. . x y x y a a a   ii. x xy y a a a   iii. . () x y x y aa iv. . ( . ) x x x a b ab v. x x x aa bb     b. Tính chất bất đẳng thức : + Với 1a  : xy a a x y   + Với 01a : xy a a x y   + Với 0 ab : 0 xx a b x   0 xx a b x   D. Bài tập áp dụng : 1/ Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa : a/ 2 4 6A x x   b/ 1 2 3 ( 3 4)B x x   c/ 3 22Cx 2/ Rút gọn biểu thức : Cho 0a  a/ 13 2 24 .( )aa b/ 24 3 4 3 4 . : .a a a a c/ 1 3 4 3 .( )aa d/ 1 3 2 2 5 3 . . aa aa  e/ 1 32 2 3 56 2 ( ) . ( ) . aa aa f/ 12 3 33 1 1 3 3 2 ( ) : ( ) . aa aa Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 3/ Không dùng máy tính hãy so sánh: a/ 3 3 và 2 b/ 40 3 và 30 4 c/ 5 1 2     và 11 8 4 3/ Rút gọn : a/ 1 0.75 3 3 5 11 81 ( ) 125 32    b/ 1 2 1 1 2 0 2 3 3 3 0.001 ( 2) .64 8 (9 )       c/ 2 0,75 0,5 3 1 27 ( ) 25 16   d/ 1 1 4 0,25 3 2 1 ( 0,5) 625 (2 ) 19.( 3) 4        4/ Cho các biểu thức có nghĩa, đơn giản các biểu thức sau : a/ 1 2 2 1 2 4 3 3 3 3 3 3 .bA a b a a b              b/ 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 B a b a b a b                 c/ 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b C a a b b     d/ 57 2 5 5 7 2 7 3 3 3 3 . ab D a a b b    4/ Đặt điều kiện rồi đơn giản các biểu thức sau : a/      1 2 3 4 3 1 2 3 3 3 3 13a a a A a a a      b/ 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2. 1 a a a B a a a a                     c/ 33 44 4 . . 1 . . 1 2 . a x a x a x a a C xx a x a x           d/ 1 1 1 3 3 11 2 2 2 2 22 1 1 1 1 3 2 2 2 . 3 . a a b a b a b D a b a ab a a b                                 5/ Biết 9 9 23 xx  hãy tính : 33 xx  6/ Chứng minh rằng: 0; 2 x      Ta có: 3 1 2sin 2 2 2 2 x x tgx   7/Nếu 0x  thì : 2 (9 4.3 1). ( 1).3 0 x x x xx     8/Chứng minh với mọi số nguyên dƣơng n>2 ta có : 2 ( !) n nn 9/ Chứng minh rằng , 0, ,a b x y R    ta có: 22 25 9 1. 1 .5 .3 1 x y x y a b a b       Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Bài 2: LOGARIT A. Lý thuyết: 1. Định nghĩa: a. Định nghĩa: Cho 0 1, 0ab   khi đó tồn tại duy nhất số thực  sao cho ab   . Số  đó đƣợc gọi là logarit cơ số a của b. Kí hiệu : log a b Có nghĩa : log a b a b      Điều kiện để log a b có nghĩa : 0, 1aa và 0b  b. Logarit tự nhiên và logarit thập phân : + Logarit tự nhiên : ln log e xx Với 1 lim 1 2,718281828 n x e n        + Logarit thập phân : 10 lg log logx x x 2. Các tính chất về logarit : a. Tính chất đẳng thức : 0, 1aa  log 1 0 a  và log 1 a a   log . log log a a a x y x y Mở rộng : 1 2 1 2 log . log log log a n a a a n x x x x x x    Đk : 0 i x  Hệ quả : log N a aN log .log M aa x M x Đk : 0x   log log log a a a x xy y  Đk : ,0xy  log log log a c a b b c  hay log c.log b log a c a b Đk : , 0, 1b c c Hệ quả : 1 log log a b b a  Đk : 0, 1bb  1 log log N a a xx N  Đk : 0x  Hệ quả ; log log N M a a M xx N  Đk : 0x   log a b ab Đặc biệt : log log bb xa ax Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 b. Tính chất cho bởi bất đẳng thức : + Với 1a  : log log aa x y x y   + Với 01a : log log aa x y x y   B. Bài tập áp dụng : 1/ Tìm điều kiện xác định của các logarit sau : a/ 0,5 log (2 3)x b/ 2 3 log ( 1)x  c/ 5 2 log 23x  d/ 1 log 5 x e/ 32 log ( 6 ) x x x x f/ 2 42 log (25 ) x x   2/ Tính : a/ 2 log 8 b/ 1 9 log 3 c/ 1 5 log 125 d/ 4 1 25 log 5 5 e/ 3 9 3 log 27 3 f/ 21 log (3 2 2)   3/ Tính: a/ 2 2 log 16 log 4 b/ 4 19 3 log 27 log 3 d/ 16 2 log 64 log 0,125 e/   4 4 1 lg 5 5.4 lg 5 lg 22     f/ 2 4 44 log log log a a a a a b b b a b b b ( , 0, 1a b a ) 4/ Tính: a/ 8 log 15 2 b/ 81 log 5 1 3    c/ 22 log 64 2 d/   5 3 3 2log 3 9 e/ 8 16 3log 3 2log 5 4  f/ 1 log2 log 5 2 100  5/ So sánh: a/ 3 log 2 và 2 log 3 b/ 2 log 3 và 3 log 11 c/ 2 log 3 và 3 log 5 d/ 2 log a và 3 log a e/ 135 log 675 và 45 log 75 f/ 9 log 10 và 10 log 11 5/ Tính: a/ 3 4 5 15 16 log 2log 3log 4 log 14.log 15A  b/ 2 3 4 2014 1 1 1 1 log log log log B x x x x     với 2014!x  c/ lg( 1 ) lg( 2 ) lg( 3 ) lg( 89 )C tg tg tg tg         6/ Tính 6 log 16 theo x biết 12 log 27 x 7/ a/ Tính 2 log 45 theo a,b biết 22 log 3, log 5ab Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 b/ Tính 125 log 30 theo a,b biết lg2, lg3ab c/ Tính 3 log 135 theo a,b biết 22 log 3, log 5ab 8/ a/ Tính 3 log b a b A a  biết log 3 a b  b/ Tính log ab b B a  biết log 5 a b  9/ Cho 27 8 2 log 5 ,log 7 ,log 3a b c   . Tính 6 log 35 10/ Rút gọn biểu thức: a/ (log log 2).(log log ).log 1 a b a ab b A b a b b a     b/ 2 log (log 1) 2 2 4 2 2 4 1 log 2 (log ). log 2 x x B x x x x     c/ log log 2.(log log n) log m n m mn m C n m n n    11/ Với điều kiện a,b,c có nghĩa.Chứng minh rằng: a/ log log log 1 log aa ac a bc bc c    b/Nếu 22 4 14x y xy thì log(x 2y) 1 lgx lgy    c/ Nếu 11 1 lg 1 lg 10 , 10 bc ab   thì 1 1 lg 10 a c   d/Nếu 22 7a b ab thì 2014 2014 2014 1 log (log log ) 32 ab ab   12/ Chứng minh rằng với mọi 1a  và 1b  ta có bất đẳng thức: 1 ( ln ln ) ln 22 ab ab   13/ Chứng minh rằng: a/ 2011 2012 log 2012 log 2013 b/ Tổng quát: 1n Cmr: 1 log ( 1) log ( 2) nn nn     14/ Với mọi , 0; , 1a b a b . Chứng minh: log log 2 ab ba 15/ Không dùng máy tính, Chứng minh rằng: 23 5 2 log 3 log 2 2    Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Bài 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT A. Hàm số mũ: x ya ( 0, 1)aa 1. Đạo hàm: Hàm mũ Hàm hợp ( )' e xx e  ( )' .ln xx a a a ( )' u'.e uu e  ( )' '. ln uu a u a a 2. Giới hạn: 0 1 lim 1 x x e x    3. Tính chất và đồ thị:  Tập xác định : D=R  Tập giá trị : (0; )T    Sự biến thiên : ' .ln x y a a + Nếu 1 ' 0ay   : hàm số đồng biến trên D + Nếu 0 1 ' 0ay    : hàm số ngịch biến trên D x   x   y’ + y’  y  0 y  0  Đồ thị : Luôn đi qua 3 điểm 1 (0;1),(1;a),( 1: ) a  + Nhận y=0 làm tiệm cận ngang 1a  y 1 O x 01a y 1 O x Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 B. Hàm số Logarit: log a yx ( 0, 1, 0)a a x   1. Đạo hàm: Hàm logarit Hàm hợp 1 (ln )'x x  1 (log )' .ln a x xa  ' (ln )' u u u  ' (log )' .ln a u u ua  2. Giới hạn: 0 ln(1 ) lim 1 x x x    3. Tính chất và đồ thị:  Tập xác định : (0; )D    Tập giá trị : T=R  Sự biến thiên : 1 ' .ln y xa  + Nếu 1 ' 0ay   :hàm số đồng biến + Nếu 0 1 ' 0ay    : hàm số ngịch biến x 0  x 0  y + y  y   y    Đồ thị: luôn đi qua ba điểm 1 (1;0) ,( ;1),( ; 1)a a  + Nhận x=0 làm tiệm cận đứng 1a  y 1 O x 01a y 1 O x Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 C. Bài tập áp dụng: 1/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a/ 2 ( 1). x y x e b/ 24 1 x y x e c/ 1 () 2 xx y e e   d/ 2 (3 2)lny x x e/ 22 1.ln( )y x x f/ 2 ln 1x y x   2/ Tính các giới hạn sau: a/ 3 3 3 0 lim x x ee x    b/ 25 0 lim 2 xx x ee x   c/ 0 ln(1 3 ) lim x x x   d/ 2 0 ln(1 ) lim x x x   3/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a/ 2 ln(4 )y x x b/ . x y xe c/ 2) ln(2y x x d/ 1 ( 1). x y x e   4/ Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau: a/ 2 1x ye   b/ 2 ln( )xx c/ 1x y x e   5/ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ 2 x y  b/ 2 2 logyx c/ 2 4 x y  6/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm : x ye Từ đó suy ra đồ thì các hàm số sau: a/ 2x ye   b/ 2 x ye c/ 2 2 x ye   d/ 2 2 x ye   7/ Chứng minh hàm số a/ 2 log( 1)y x x   đối xứng qua gốc tọa độ b/ xx y e e   đối xứng qua trục Oy Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Bài 4: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. Phƣơng trình mũ: 1. Phƣơng trình cơ bản: ()fx ab 0, 1aa + Nếu 0b  : phƣơng trình vô nghiệm + Nếu 0b  : pt ( ) log a f x b 2. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ: a. Đưa về cùng cơ số: Đƣa hai vế của phƣơng trình về lũy thừa cũng cơ số và dùng công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x   Áp dụng: Giải các phƣơng trình sau: a/ 3 3 2 1 2 .4 2 xx  b/ 2 3 3 2 1 0.125 .2 4 xx  c/ 21 2 27 27 9 x x   d/ 2 2 1 1 .5 5.125 25 xx  e/ 12 3.2 5.2 2 21 x x x    f/ 1 1 2 2 3 3 2 x x x x      b. Đặt ẩn phụ: Khi bài toán quy về một hàm số theo ()fx a thì ta đặt ẩn phụ () 0 fx t a t   Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình bằng cách đặt ẩn phụ: a/ 4 2.2 8 0 xx    b/ 5.25 6.5 1 0 xx    c/ 2 1 1 5 5 250 xx  d/ 54 10 93 xx    2/ Giải phƣơng trình: a/ 3 6.3 1 0 xx    b/ 21 5 5 30 0 xx    c/ 2 2 9 10 4 24 x x   d/ 3.4 6 2.9 x x x  3/ Giải phƣơng trình: [...]... Lý Thái Tổ ĐN 2014 C Bài toán chứa tham số: Phương Pháp: + Đối với hàm mũ thƣờng thì bài toán đặt ẩn phụ và quy về phƣơng trình, bất phƣơng trình theo t, ta tìm điều kiện của t Sau đó tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm t thõa mãn + Đối với hàm logarit thì ta phải tìm điều kiện của logarit kèm với điều kiện bài toán Chú ý: Bài toán chứa tham số thông thƣờng chỉ dừng ở mức độ quy về... x)  log a b log a f ( x)  b - a  1  f ( x)  a b - 0  a  1  0  f ( x)  ab 2 Đƣa về cũng cơ số: log a f ( x)  log a g ( x) a f ( x)  a g ( x) Đƣa hai vế của bất phƣơng trình về cùng cơ số rồi sử dụng công thức Chú ý: + Đối với hàm mũ nếu 0  a  1 thì ta nghịch đảo để chuyển về a  1 + Đối với hàm logarit thì tùy vào dấu của bất đẳng thức để suy ra điều kiện của f(x) hay g(x) Áp dụng: 1/... trong 1 số bài toán chứa căn thức hoặc biểu thức ko âm Áp dụng: Giải bất phƣơng trình: a/ 6x  x  3x  x1  2x  x  3 b/ log5 x  log4 x2  1  log5 x.log2 x c/ ( x2  2 x  1).log2 ( x2  5x  6)  0 d/ 2 x  1  5lg x  xlg5  50   0 2 2 2 e/ log5 x4  log 2 x3  2  6log 2 x.log5 x f/ log5 ( x  1).log 2 ( x  1).log3 ( x  1)  log 4 ( x 1).log 7 ( x 1) 5 Mũ hóa và logarit hóa: Lấy mũ cơ số. .. logarit Lấy logarit cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng mũ Nếu a>1 thì dấu bất phƣơng trình không đổi Nếu 0 . 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ VÀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC A. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: a. Với mọi * nN và aR : . . n a a a a a (n thừa số) b. Với. n n n aa b b  () n kk n aa . m n m n aa b. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho 0a  , m r n  ( , )mn   là số hữu tỷ. Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ r. Kí hiệu : r a () m n r m m n n a. Hệ quả : 1 n n aa B. Lũy thừa với số mũ thực : Định nghĩa : Cho số thực k khi đó tồn tại dãy số hữu tỷ () n r sao cho lim n rk Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ k. Kí hiệu : lim n r k aa