hệ phương trình ôn thi đại học

Hệ Phương Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2015 gồm : 1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng. Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. Bài toán 1. Giải hệ phương trình :   22 2 2 2 21 , 1 12 xy xy x y xy xy x y x x xy                   Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y xy   Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành :           22 22 21 2 1 2 0 2 0 1 1 2 1 1 0 0 x y xy x y xy x y xy xy x y x y x y x y xy x y x y xy x y                                  Với 1xy thế xuống phương trình hai chúng ta có : 2 2 7 1 7 33 3 4 1 0 2 7 1 7 33 xy xx xy                    Với   22 x y x y    thế xuống phương trình hai chúng ta có :   2 2 2 2 22 22 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 x x x x x y x ptvn y xy xy                          Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :   2 7 1 7 2 7 1 7 , ; ; ; 3 3 3 3 xy                       Bài toán 2. Giải hệ phương trình :       3 3 2 2 3 6 3 4 0 , 1 1 6 6 5 12 x y x x y xy x y x y x x y                      Lời giải. Điều kiện : ;1xy   Phương trình một tương đương với :     3 3 2 3 3 3 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x              Thế vào phương trình hai ta được : Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy               2 2 1 2 6 7 7 12 1 2 2 6 7 3 2 8 16 2 4 0 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x xx xx xx                                  Do 2x  nên 20 60 x x        suy ra : 1 6 2 2 6 6 1 40 22 2 2 7 3 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x x x x x x                                Từ đó suy ra     , 2, 3xy  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 3. Giải hệ phương trình :   22 22 2 1 3 2 , 4 4 6 3 2 0 x xy x x y y x y xy x y xy x y                       Lời giải. Điều kiện : 22 2 1 0 ; 3 0x xy x x y y       Xử lý phương trình hai chúng ta có :    22 21 4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 0 22 yx x y xy x y x y x y yx                     Với 22yx thế xuống phương trình hai thì :     22 22 2 2 2 22 2 2 2 2 3 4 1 4 2 3 3 4 1 4 2 11 4 1 4 2 2 4 1 3 0 2 4 1 3 1 1 4 4 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x                                             Với 21yx thế xuống phương trình hai thì : 22 4 1 4 3 2 3 1x x x x      . Ý tưởng giải tương tự trường hợp trên ta được 2 3 x  Do đó hệ phương trình có nghiệm     21 , 1, 0 ; , 33 xy      Bài toán 4. Giải hệ phương trình :           2 2 , 14 xy x y xy x y y xy x y xy x x                   Lời giải. Điều kiện :     , 0 ; 2 0x y xy x y xy     Chúng ta có :                       2 2 0 2 2 1 0 0 2 2 xy x y xy x y y xy x y xy y x y xy x y y xy xy y xy xy xy x y xy y xy xy x y xy y                                          Từ phương trình hai :   2 2 44 1 1 2 2 11 y xy x x x x xx                Hay nói cách khác :     2 1 2 0 0 2 y xy y xy xy xy x y xy y             Do đó từ phương trình một 0xy suy ra thế xuống phương trình hai ta được : 32 1 0 1 17 2 3 4 0 2 xy xy x x x xy                    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  Bài toán 5. Giải hệ phương trình :       22 22 2 1 2 2 6 2 , 15 x xy y y xy x y y                  Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2xy y    Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được :             22 22 2 2 2 2 5 2 1 2 2 6 2 1 5 2 1 2 2 7 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 0 11 1 0 1 1 0 1 2 1 2 x xy y y x y y x xy y y x y xy y xy y y xy xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy y                                                            Với 1xy y kết hợp với phương trình hai chúng ta có :         22 1 11 1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1, 2 2 2 1 ; 2 xy y x y y x y xy y                                    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  Bài toán 6. Giải hệ phương trình :         22 2 4 3 4 1 3 1 2 , 1 2 2 1 y xy y x y y x xy y y x y x                     Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2y y x Bình phương phương trình hai ta được :         1 2 1 2 1 1 2 4 y y x y y x       Phương trình một được viết lại thành :        2 2 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x        Từ hai điều trên suy ra :     2 2 13 2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 5 2 41 4 y y y y y y y y y y                         Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm   41 5 23 , , ; , 2 72 4 24 xy               Bài toán 7. Giải hệ phương trình :     3 1 2 2 1 8 , 5 2 9 x y x y x y xy x x y y                  Lời giải. Điều kiện : ; 2 1x y y Đặt 22 2 22 2 22 2 2 1 2 1 3 2 2 21 ,0 9 4 4 a x y x a b x y a b y x y b a yb ab x y a b                                   khi đó hệ phương trình trở thành :         2 2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 8 2 1 4 ab a a b a b a b b a b a b a b a a b                              Do đó suy ra : 12 2 1 1 1 x y x yy             là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 8. Giải hệ phương trình :                        22 1 1 2 , 8 8 8 y x y x y y x xy x y y x  Lời giải. Điều kiện : 0xy và  8x Đặt           22 a x y a b x by khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành :                       2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành :                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 16 8 64 8 2 8 8 0 8 0 8 x y y x x y x y y x x x y y x y x y  Với        2 1 8 a xy ta có :                         22 11 4, 5 3, 5 8 1 8 x y x y x y x y y y  Với        2 1 8 b xy ta có :              2 1 3 1 8 y x y xy  Với        2 0 2 0a b x y y phương trình vô nghiệm vì    0x y y Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là         97 , 3,1 ; , 22 xy  Bài toán 9. Giải hệ phương trình :                          2 22 24 , 8 4 1 4 1 x y x y xy xy xy x y x y x y y x  Lời giải. Điều kiện : ,1xy Phương trình một được viết lại thành :            22 4 2 4 2 1x y x y xy x y xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :                             2 22 2 2 2 1 4 4 4 1 4 1 4 8 2 2 1 4 4 x y x y x y y x x y x y y x y x Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được :                             22 8 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y Từ   1 và   2 suy ra :                      2 4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y Dấu = xảy ra khi và chỉ khi               21 2 1 2 4 xy y x x y xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 10. Giải hệ phương trình :                  2 2 1 5 , 2 x y y x y xy y xy y  Lời giải. Điều kiện : 0xy Đặt             22 1 21 a x y a b x y by , khi đó phương trình một trở thành :     22 4a b a b Từ cách đặt, ta có :                                2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 21 21 a x y x y a a b a b x y x y y xy y y yb by Mặt khác , từ phương trình hai :    2 2 2 2 4xy y y nên suy ra    2 2 2 2 3a b a b . Do đó ta có hệ phương trình :                      22 2 2 2 2 42 1 1 3 a b a b x ab y a b a b là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  Bài toán 11. Giải hệ phương trình :                          2 22 1 , 3 2 2 3 1 0 x y y y x y x xy y xy x y x x x y  Lời giải. Điều kiện : 1xy Đặt        a x y by khi đó phương trình một trở thành :                           2 1 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b Với   1ab a b ta có :                             22 1 1 1 1 1 1 0 1 y xy y x y y xy y x x y y y xy Đặt       2 1 0 1t y y t thế xuống phương trình hai chúng ta có :                                        2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0 1 1 1 xy x t x x x t t x t x xy TH1. Với  1y thế vào phương trình    ta có :  1x hoặc  2x TH2. Với 1xy thế vào phương trình    ta có :                          32 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y                      32 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y vô nghiệm vì  0VT Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm       , 1,1 ; 2,1xy  Bài toán 12. Giải hệ phương trình :                         3 3 2 2 2 2 1 2 1 , 22 y y x y y xy y y y y y x y y x  Lời giải. Điều kiện : xy . Khi đó phương trình hai có dạng :                      2 1 20 2 y y x y y y x y y y x y y y x y Xử lý phương trình một chúng ta được :                         2 2 1 1 1 2 1 0 12 y y y y y x y y y x y  Với 1y thế xuống phương trình hai suy ra  0x  Với      2 12y y x y ta có : 1. Hệ phương trình :                              2 2 2 12 12 2 1 0 2 2 2 y y x y y y x y y y y y y x y 2. Hệ phương trình :                            2 2 32 12 12 3 4 0 2 2 4 y y x y y y x y y y y y y x y Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên  Bài toán 13. Giải hệ phương trình :                         22 1 1 9 , 2 4 17 x x y x y x xy x x x xy xy y  Lời giải. Điều kiện : xy và  0x Đặt        a x y bx khi đó phương trình một trở thành :         22 1 1 9a b b a Mặt khác phương trình hai được biểu diễn dưới dạng :               2 2 2 2 2 2 2 21 2 21x xy x y ab a b Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương                     22 9 2 21 2 ab a b a b ab a b ab Đặt        t a b u ab , do đó ta có :                              2 2 2 2 9 19 2 3 2 21 2 2 21 2 ut t tu u t u t u u t u Vậy nên  ,x y x là nghiệm của phương trình :                        2 1 1 4 3 2 0 2 3 3 X x x X X or X y y Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm       , 1, 3 ; 4, 3xy  Bài toán 14. Giải hệ phương trình :   3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 , 21 3 36 1 27 x y x y xy x y xy x x y x y x                  Lời giải. Điều kiện : ,xy Chúng ta có :         3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 3 1 0 3 9 27 x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y                       Thế vào phương trình hai ta được :                                 33 3 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2 22 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 3 4 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 3 1 22 1 3 1 0 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x ptvn                                                 Do đó hệ phương trình có nghiệm là :   1 1 1 1 1 , 1, ; , ; , 3 3 3 3 3 3 3 xy                      Bài toán 15. Giải hệ phương trình :           4 2 2 3 2 2 16 2 , 2 1 2 11 x x y y x xy x y x x y                 Lời giải. Điều kiện : 0 ; 11 0x x y    Phương trình một đã cho trở thành :           6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 16 2 2 8 2 0 2 2 2 4 2 0 2 x x y y x y x y x y x y x y x x y y x y x y x y                  Với 2 2xy thế xuống phương trình hai chúng ta có :         22 22 2 2 1 2 22 0 2 3 1 2 22 5 13 1 1 3 0 1 2 22 5 x x x x x x x x x x x xx x xx x xx                              Mặt khác :   2 22 3 1 2 22 4 1 3 3 0 0 11 2 22 5 2 22 5 x x x x x x xx x x x x                     Do đó 1 1 2 xy   là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 16. Giải hệ phương trình :     2 22 1 2 0 , 2 3 2 0 y x y x x xy xy x y xy x                   Lời giải. Điều kiện : 2xy Xét phương trình một , ta có :                22 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 y x y x x xy y x y y x x y y x x y x x y x x y                            Mặt khác , từ phương trình hai :   2 3 2 0 0x x y x      hay 1 2 0x x y    suy ra 22 1 1 2 2 22 xy y x x y x y x y x y xy x y                     Kết hợp với phương trình hai ta được : 22 22 22 2 2 3 2 0 0 ;2 x y xy x y x x y xy x y x y x y                       Vậy     , 2, 0xy  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  Bài toán 17. Giải hệ phương trình :             2 2 2 2 2 1 1 1 2 , 4 1 6 5 1 1 1 1 y x y xy x y x x x y                        Lời giải. Điều kiện : 2 1 ; 1xy Đặt 22 2 2 1 10 1 10 xa ax yb by                  hệ phương trình đã cho trở thành :           2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 22 2 23 23 3 2 2 3 23 2 22 4 6 5 4 3 3 5 4 5 6 5 1 3 23 30 1 2 7 5 3 0 2 a b b ab b ab b a ab a b a ab ab b a b a b a a ab ab ab b a a b a b b ab b a ab a b b ab b                                                                     Với 3 1 a b        khi đó ta có :       22 1 3 10 , 10,2 ; 10, 2 2 11 xx xy y y                   Bài toán 18. Giải hệ phương trình :         3 2 3 3 2 2 2 1 , 8 8 2 3 8 2 3 1 x x y x y y y xy x y x y y x x                    Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y y   Từ phương trình một chúng ta có :            2 2 2 2 2 2 2 0 20 1 20 2 2 x x y x y y y x xy y x y y xy xy x y x y xy x y y x y y                                Mặt khác với điều kiện : 0 ; 0x y y   thì 1 0 2 x y y x y y      nên    vô nghiệm Với 0xy thì phương trình hai trở thành :         2 2 2 2 2 2 2 8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1 1 3 13 2 2 3 1 1 4 1 2 2 3 1 4 1 71 4 x x x x x x x x x x xx x x x x                                Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm :   3 13 3 13 7 1 7 1 , ; ; ; 4 4 4 4 xy                       Bài toán 19. Giải hệ phương trình :     2 2 11 , 2 1 1 0 x y x x x y xy x x y y x                     Lời giải. Điều kiện : 1 ; 1 0x x y x     Đặt 2 1 0 1t x x t      khi đó phương trình một trở thành :             2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 11 00 1 1 1 1 t t y t t y t t y t t y t t y t yt y t y t y t y t t t y t t t y t                                          Từ phương trình hai chúng ta có :     2 22 1 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t                 Do đó suy ra được :     2 1 1 1 0y t t t y t        hay nói cách khác từ phương trình một ta có : 1y t y x    thế xuống phương trình hai thì :         2 3 2 10 10 5 5 5 1 , 1, 0 ; , 22 2 1 0 10 yx yx xy yy y y y y                             Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên  Bài toán 20. Giải hệ phương trình :       3 4 3 2 2 , 5 2 4 0 y y x x x xy x y x y y                    Lời giải. Điều kiện : ;2x y x Đặt 2 2 0 a x y a b y b x y             khi đó phương trình hai trở thành :          22 5 4 0 1 5 4 1 1 4 4 4 a b a b a b b b a b b b a b x y x y                        Mặt khác , xét phương trình một chúng ta có :             3 32 3 3 3 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 2 2 2 1 2 1 2 1 y y x x x y y x x x y y x x y x                              Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành :       22 2 22 22 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 3 1 3 3 1 3 3 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y x y y y y y y x x y xy y x y y y y y y y y y xy xy xy                                                                                             Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất     , 3,2xy   Bài toán 21. Giải hệ phương trình :   22 12 , 4 9 16 9 7 9 x y x x y xy x y xy x y                 Lời giải. Điều kiện : 1xy [...]... thế xuống phương trình hai ta có : x  0 2x 2  2x 3  x x  1  0    x, y  0, 0 ; 1, 1 x 1           TH2 Với y  x  1 thế xuống phương trình hai ta có : 2x  1  2x 2  2x  1  x 2  x  ptvn Phương trình trên dễ dàng chứng minh vô nghiệm bằng phương pháp bình phương hai lần do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên    x  7y  Bài toán 25 Giải hệ phương trình :  2... từ phương trình một chúng ta có :    y x  1  x  1  1 1 nghiệm x, y   1  5 ; 1  5  ;  1  5 2 2  2       do đó hệ phương trình ban đầu có hai 1  ; 2 1  5      0  xy 2  2  2y 2  x x 2  4y 2  3  Bài toán 27 Giải hệ phương trình :  2  y x y 1  y 2 x 1  1       x, y    Lời giải Điều kiện : x 2  4y 2  3 ; x  1  0 Phương trình hai của hệ phương. .. 0  y  x 2  0 Với y  x  2 thế nên phương trình một ta được : x 2  4x  13  3 x 2  4x  12  1  x  2  y  4 Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ giải quyết dễ dàng Do đó hệ phương     trình ban đầu có nghiệm duy nhất x, y  2, 4  x y  1  y x  1  1  2 2 x y  16x  16y  12  20xy  x, y   Bài toán 23 Giải hệ phương trình :   Lời giải Điều kiện : x, y ... ta được hệ phương trình :   a  b ab  1  1    Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể trên    a  0, b  1   a  1, b  0           x, y  1, 2    x, y  2,1  Bài toán 24 Giải hệ phương trình :     2x  y 4x  2y  1  x 2y 2  xy  x 3  y 3  7x 2   2 2 2 2 2 2  x  y  x  y  xy  yx   x, y     Lời giải Điều kiện : x 2  y 2 ; xy y  x  0 Từ phương trình. .. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá     3  2x 2y  x 4y 2  x 4 1  2x 2  y 4  Bài toán 31 Giải hệ phương trình :  2 1  1  x  y  x 3 x 3  x  2y 2   Lời giải Điều kiện : x, y     2  2 6 4 4  4  x y  1  2x  x  y Viết hệ phương trình đã cho lại thành :  2 1  1  x  y  x 3 x 3  x  2y 2   x, y        Lấy phương trình hai trừ cho phương trình một ta được :...  1  2 1x   x 2  2x  1  x 2  2x  1  x 2  2x  1      Vậy nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y    6  1, 6  1      x  x 2  x  1 y  y2  y  1  1  Bài toán 26 Giải hệ phương trình :  2 2 x  y  3   Lời giải Điều kiện : x, y  Trước hết x  1 nhận xét không là nghiệm của hệ phương trình , do đó ta có : x       x, y   x 2  x  1 y  y2  y  1 ... 2 Tiếp tục cho phương trình một chúng ta có : x 2  2x  2  y 2  4y  2  y 2  4y  2  2x 2  4x  y 2  4y  3  0 2 Cộng vế với vế của hai phương trình trên ta có :    2 3x 2  6x  y 2  6y  12  0  3 x  1  y  3  2 x  1  0 y  3  Kết hợp với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất kể trên  x 2  xy  3y 2  y xy  2  Bài toán 35 Giải hệ phương trình :  2x... nhìn câu hệ này tôi phải mất tới 1,2 phút định hướng cần phải làm gì Các bạn cũng vậy , hãy dành vài phút để nháp nó Việc quan trọng đầu tiên là tìm điều kiện của bài toán : x 2  12  2 3  x  2 3 ; y  1 một công việc nhẹ nhàng cho ta 0,25 điểm đầu tiên Tiếp theo ta nên làm gì, đó là quan sát từng phương trình và rõ ràng ở phương trình hai không hề có mối liên hệ gì nên tôi tìm hướng ở phương trình. .. đạt được khi và chỉ khi x  y vậy thì nhiệm vụ còn lại không hề khó khăn với phương trình hai :  9  73 9  73   9  73 9  73  2 9  73 x 1  2x  x 1  2x   x   x, y   , , ;   36 9 36 36   36 36      Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên        x 2  2x  2  y 2  4y  2  Bài toán 34 Giải hệ phương trình :  2 6x  y  11  10  4x  2x  0   Lời giải... xảy ra khi và chỉ khi : x 2  z 2  12  y  12  x 2 thế xuống phương trình hai ta có : x 3  8x  1  2 10  x 2 Đến đây lại khai thác một trong những kỹ năng giải hệ phương trình đó là nhẩm nghiệm Rõ ràng điều tôi nghĩ đến luôn là căn phải là một số chính phương đó cũng là kinh nghiệm đi thi Ta cần xử lý sao cho 10  x 2 là một số chính phương Vậy thì có thể xảy ra hai trường hợp sau : x 2  1 ; x . Hệ Phương Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC. x by khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành :                       2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phương trình hai của hệ phương trình được viết.      Phương trình trên dễ dàng chứng minh vô nghiệm bằng phương pháp bình phương hai lần do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên  Bài toán 25. Giải hệ phương trình :  