CẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌC

CẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌCCẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌCCẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌCCẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌC

Trang 1

CẨM NANG KIẾN THỨC

MÔN TOÁN

 ÔN THI HỌC KỲ

 LUYỆN THI TÚ TÀI

 LUYỆN THI CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC

Trang 2

Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN DĐ: 0917.689.883 Trang 1

  x g

x f

y  xác định khi g x 0

  x g

x f

D x D x

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (oy) làm trục đối xứng

 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ trên tập xác định D          

D x D x

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3 Tính đơn điệu:

 Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu x x1, 2   a b ; : x1   x2 f x  1  f x  2

 Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu x x1, 2   a b ; : x1  x2 f x  1  f x  2

4 Phép tịnh tiến đồ thị: (C): y f x m,nR

 Đồ thị y = f(x) + m : tịnh tiến (C) lên m đơn vị Đồ thị y = f(x) - m : tịnh tiến (C) xuống m đơn vị

 Đồ thị y = f(x + n) : tịnh tiến (C) sang trái n đơn vị Đồ thị y = f(x - n): tịnh tiến (C) sang phải n đơn vị

II PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Giải và biện luận phương trình ax + b =0 (*)

(*)



b ax

2 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

f   Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Dễ nhớ khi xét dấu: PHẢI CÙNG (Cùng dấu với a), TRÁI TRÁI (Trái dấu với a)

LỚP 10

Trang 3

4 Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx +c =0 (*)

 a = 0 xét nghiệm phương trình bx + c = 0 (Như phương trình ax + b = 0)

22

, 1

a

b x x

S  1 2  

a

c x x

P  1. 2 

 Các biểu thức đối xứng hai nghiệm x1, x2:

P S x

x12 22  2 2 x13 x23 S  S2 3 P  4  2 2 2

2 4

 Lưu ý:

 Nếu S = u + v và P = uv thì u và v là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng:x2 Sx P   0 ĐK

0 4

2  P 

S

 Phương trình ax2 + bx +c = 0 (*) khi

(*) có hai nghiệm trái dấu (x1  0  x2)  P < 0

(*) có hai nghiệm cùng dấu(

2 1

x x

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0

6 Dấu tam thức bậc hai

Trang 4

, 02

a c b a

R x c

, 02

a c b a

R x c

bx ax

7 Các phương trình khác đưa về phương trình bậc hai:

02





0 1

12

x x

t   1, điều kiện

02

B A B

B A A

B A B

A B A

B B

0 B

0

B

nghia có

A

B

B A

   2 2

B A B

B B

B A

2

p nt mt

t A t p

A n A m

C B

B A B

A B

B A B A B

B A

Trang 5

10 Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: a x b y c a b a b

 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi)

 Đặt S = x + y, P = xy

 Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2 SX P   0; ĐK S2  4 P  0

12 Hệ phương trình đối xứng loại II:

 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

 Lưu ý: Đối vệ hệ đối xứng loại I và II

 Nếu x0; y0là nghiệm thì y0; x0 cũng là nghiệm

 Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 y0

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

 Khi x  0, đặt y kx  Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo

k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Trang 6

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0

+ a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a   

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

Với a, b, x, y  R, ta có: (ax by )2 (a2b x2)( 2y2) Dấu "=" xảy ra  ay = bx

 Lưu ý: Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki phải chứng minh mới được sử dụng

IV CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công thức đổi rad thành độ và độ dài cung tròn: 





R l a rad



360

)(

0 0

2 Bảng giá trị lượng giác đặc biệt:

“ Sin 3 cos 6 nửa phần, cos 3 sin 6 nửa phần căn 3” Hoặc nhanh nhất là dùng máy tính

Điều kiện Nội dung

Trang 7

3 Hệ thức lượng giác cơ bản:



2cos

1 tan

1  



2sin

1 cot

1   tan  . cot   1

 Hệ quả:

Giá trị lượng giác

Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ, dòng dưới tính

bằng đơn vị radian”

00

0

030 6



045 4



060 3



090 2



0120 2 3



0150 5 6

3

3 2

1

1 2

Trang 8

sin   cos    1 3sin  cos 

tan   cot       cot  sin        sin  cos        cos 

 Quy tắc học thuộc: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan, cot”

Giải nghĩa: Trong công thức góc đối thì có công thức “cos” mang giá trị dương; trong công thức góc bù có công thức

“Sin” mang giá trị dương; trong công thức góc phụ thì giá trị nào cũng dương nhưng lúc này Sin  Cos, Cos  Sin

, tan  cot, cot  tan; trong công thức hơn kém pi thì có “tan, cot ” mang giá trị dương

5 Công thức cộng:

    cos  cos  sin  sin 

    sin  cos  cos  sin 

tantan

1cot.cotcot





  Cot tổng (hiệu) bằng tích cot trừ (cộng) 1 trên tổng (hiệu) cot

6 Công thức nhân đôi, nhân ba:

cos2   cos   sin   2cos     1 1 2sin  Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai bình

cos = cộng 1 trừ hai bình sin

cos3   4cos   3cos  cos 3 là 4 cổ 3 cô

7 Công thức hạ bậc: “dùng công thức góc nhân đôi hoặc nhân ba để suy ra công thức hạ bậc ”

Trang 9

8 Công thức biến đổi tích thành tổng:

2 cos 2 cos 2 cos

cos        



2 sin 2 sin 2 cos

cos            cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin

2 cos 2 sin 2 sin

2 sin 2 cos 2 sin

sin        



9 Công thức biến đổi tổng thành tích:

.

cos      cos  a  b   cos  a  b  

2

1 sin

sin  

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB

 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

 Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b , , để biểu diễn vectơ

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ Mọi vectơ 0 đều bằng nhau

2 Các phép toán trên vectơ

a Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC 

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC 

 Tính chất: a b b a    ; a b   c a b c ; a   0 a

b Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0   Kí hiệu vectơ đối của a là  a

Trang 10

A

 Vectơ đối của 0 là 0

 a b a    b

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA AB 

c Tích của một vectơ với một số

 Cho vectơ a và số k  R ka là một vectơ được xác định như sau:

+ ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0

+ ka  k a

 Tính chất: k a b  ka kb ;( k l a ka la  )   ; k la    ( ) kl a ka 0   k = 0 hoặc a 0 

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a 0cùng phương  k R b ka: 

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k  0: AB k AC

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng phương a b , và x tuỳ ý Khi đĩ ! m, n  R: x ma nb  

 Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA MB 0    OA OB 2OM (O tuỳ ý)

 Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0    OA OB OC  3OG (O tuỳ

ý)

II HỆ THỨC LƯỢNG

Cho ABC cĩ:

 Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

 Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c

 Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c

 Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

 Nửa chu vi tam giác: p

 Diện tích tam giác: S

1 Định lí cơsin:

a2b2c22 cosbc A b2 c2a22 cosca B c2 a2b22 cosab C

sin sin sin 

3 Độ dài đường trung tuyến

4 = pr

S = p p a p b p c(  )(  )(  ) (cơng thức Hê–rơng)

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng (nhắc lại)

Cho ABC vuơng tại A, AH là đường cao

Trang 11

O M

6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

B A I

y y y

x x x

  2 2

A B A

C B A G

y y y y

x x x x

Tọa độ điểm M  xM; yM chia đoạn AB theo tỉ số k  1:

k

x k x x

B A I

1 1

Cho ΔABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE  D , E  BC  khi đó ta có:

DC AC

1 1

b a

b a b

a   a   b    a1 b1; a2 b2 k a    k a1; k a2

2 2 1

.b a b a b

a  aba.ba1.b1a2.b2 0

2 2 2

a

a   

1 2 2

1 b a b a

 Đường thẳng Δ được xác định khi biết M và

Biết một trong hai véc tơ n 

Trang 12

1 0.

.

u t y y

u t x x

2 2

R u u t

 Phương trình chính tắc: Δ đi qua Mx0; y0 và có véc tơ chỉ phương u    u1;u2 có phương trình:

2 0

1

0

u

y y u

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A  xA; yA, B  xB; yB

 Cách 1: Viết phương trình tham số:  

y y x x AB u vtcp

y x A Qua

x x y y hay

x x y y vtpt

y x A Qua

; n

B

A

y y

y y x x

x x

 Phương trình đường thẳng đi qua Mx0; y0 có hệ số góc k cho trước: ykxx0 y0

 Phương trình đoạn chắn: Δ qua A(a;0), B(0;b) với a,b0

/

B A

C By Ax M

4 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 (có VTPT n1( ; )a b1 1 )

1 0

0 2 1 2

1

90

;khi

;180

90

;khi

;

n n n

n

n n n

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 

c = 0 ax by   0  đi qua gốc toạ độ O

a = 0 by c   0  // Ox hoặc   Ox

b = 0 ax c   0  // Oy hoặc   Oy

Trang 13

2 2 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1

2 1

2 1 2 1

;coscos

b a b a

b a b a n

n

n n n

2 1

.1

tan

k k









5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

a x b y c

a x b y c12 12 12

0 0

6 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0    và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N)

 M, N nằm cùng phía đối với  (ax Mby Mc ax)( N by N  c) 0

 M, N nằm khác phía đối với  (ax Mby Mc ax)( N by N  c) 0

7 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0cắt nhau.Phương trình các đường phân giác

của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a x b y c a x b y c

 Lưu ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực

hiện như sau:

 Viết phương trình các đường phân giác 1, 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC

 Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với 1 (hoặc 2)

 Nếu B, C nằm khác phía đối với 1 thì 1 là đường phân giác trong

 Nếu B, C nằm cùng phía đối với 1 thì 1 là đường phân giác ngoài

8 Phương trình chùm đường thẳng đi qua I  1 2 (1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0):

a1xb1yc1 n a2xb2yc20,m2n2 0

m

V ĐƯỜNG TRÒN

1 Phương trình đường tròn

 Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:(x a )2 (y b)2R2

 Phương trình x2y22ax2by c 0 (điều kiệna2b2 c 0)

là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2b2c

Trang 14

2 Lập phương trình đường tròn:

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C)

Khi đó phương trình đường tròn (C) là: (x a )2 (y b)2R2

Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A – Bán kính R = IA

Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  – Bán kính R = d I ( , ) 

Dạng 3: (C) có đường kính AB

– Tâm I là trung điểm của AB

– Bán kính R = AB

2

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Xác định tâm I là giao điểm của d và  – Bán kính R = IA

Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng 

– Tâm I của (C) thoả mãn: I d

Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với  – Xác định tâm I là giao điểm của d và 

– Bán kính R = IA

Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I

2   , và (2) được thay thế bới IA = R

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I

– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C)

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA IB

Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên

– Bán kính R = d I AB ( , )

3 Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và điểm M:

 IM RM nằm trong (C)

Trang 15

 IM RM nằm trên (C)

 IM RM nằm ngoài (C)

4 Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường thẳng Δ

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0    và đường tròn (C):

x2y22ax2by c 0, ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R

– Xác định tâm I và bán kính R của (C)

– Tính khoảng cách từ I đến d nếu:

+ d I d ( , )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

+ d I d ( , )  R  d tiếp xúc với (C)

+ d I d ( , )  R  d và (C) không có điểm chung

 Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

+ Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

+ Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C)

+ Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung

5 Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’)

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn

(C 1 ): x2 y2 2 a x1  2 b y c1  1 0, (C 2 ): x2 y2 2 a x2  2 b y c2  2 0.ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I 1 I 2 với các bán kính R 1 , R 2

+ R R1 2 I I1 2R R1 2  (C 1 ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm

+ I I1 2 R1R2 (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C 2 )

+ I I1 2  R R1 2  (C 1 ) tiếp xúc trong với (C 2 )

+ Hệ (*) có hai nghiệm  (C 1 ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm

+ Hệ (*) có một nghiệm  (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 )

+ Hệ (*) vô nghiệm  (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung

6 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng 

 tiếp xúc với (C)  d I ( , )   R

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0( ; )0 0  (C)

–  đi qua M x y0( ; )0 0 và có VTPT IM0

 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước

– Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t)

– Dựa vào điều kiện:d I ( , )   R, ta tìm được t Từ đó suy ra phương trình của 

 Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A x y( ; )A A ở ngoài đường tròn (C)

Trang 16

– Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số)

– Dựa vào điều kiện: d I ( , )   R, ta tìm được các tham số Từ đó suy ra phương trình của 

x

b

b a

a b

c  Tiêu điểm F1  c ; 0    , F2 c ; 0 F1 0 ;  c    , F2 0 ; c

ex a MF

M

M ey b MF

ey b MF

Phương trình tiếp tuyến

2 0 2

b

y y a

x x

1

2 0 2

b

y y a

x x

a x

Điều kiện tiếp xúc với

b

Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (E):

Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E)

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):

+ b2  a2 c2 + e c

a

 + Các tiêu điểm F c1( ;0), F c2( ;0)

+ Các đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b

Vấn đề 2: Tìm điểm trên (E) thỏa mãn điều kiện cho trước:

Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E):

Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:

Dạng 1: MF MF1 2 2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục lớn 2a

Trang 17

PT chính tắc

Lý thuyết

1

2 2

x

1

2 2

b a

c  Tiêu điểm F1  c ; 0    , F2 c ; 0 F1 0 ;  c    , F2 0 ; c

a ex MF

M thuộc nhánh phải

a ey MF

Phương trình tiếp tuyến

2 0 2

b

y y a

x x

1

2 0 2

a

x x b

y y

Điều kiện tiếp xúc với

y

)

Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (H):

Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H)

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H):

+ b2  c2 a2 + e c

a

 + Các tiêu điểm F c1( ;0), F c2( ;0)

+ Các đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0)

Vấn đề 2: Tìm điểm trên (H) thỏa mãn điều kiện cho trước:

Chú ý:  Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (H):

Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:

Dạng 1: MF MF1 2 2a  Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục thực

Trang 18

Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P)

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P):

– Toạ độ tiêu điểm F p ;0

Vấn đề 2: Tìm điểm trên (P) thỏa mãn điều kiện cho trước:

Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (P): MF x p

IX TÂM SAI ĐƯỜNG COCNIC

Cho conic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn Δ, tâm sai e:       :

/:

M d

MF conic

C y x

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

a Phương trình sinx = sin

2 sin x  sin          x x     k  k 2  ( k Z  ) sinsin . arcsin: 1 2 1. ( )

Trang 19

sin u   sin v  sin u  sin( )  v

sin cos sin sin

b Phương trình cosx = cos

cos x  cos      x  k 2 (  k Z  ) cos . : 1 1.

cos x x a   a Ñieàu kieän  x   arccos    a k  a 2 (  k Z  ) cos u   cos v  cos u  cos(   v )

cos sin cos cos

cosx   1 cos x 1 sin x  0 sinx  0  x k  (k Z )

c Phương trình tanx = tan

tan x  tan     x  k  ( k Z  ) tan x  a  x  arctan a k k Z   (  )

tan u   tan v  tan u  tan( )  v

tan cot tan tan

d Phương trình cotx = cot

cot x  cot     x  k  ( k Z  ) cot x  a  x  arccot a k   ( k Z  )

Trang 20

 Phương trình chứa cotx thì điều kiện là: x k   ( k Z  )

 Phương trình chứa tanx và cotx thì điều kiện là ( )

 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện

 Dùng đường trịn lượng giác

 Giải các phương trình vơ định

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

 Lưu ý: Nếu đặt: t sinx hoặc t sinx thì điều kiện: 0 t 1

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x  b cos x  c

Trang 21

 Vì x    k 2     b c 0, nên (3) có nghiệm khi:'  a2(c2b2) 0  a2b2 c2

 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t

 Ghi chú:

 Cách 2 thường dung để giải và biện luận

 Cho dù là cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2b2  c2

 Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thỏa mãn hay không?

Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1

      (Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

5 Phương trình đối xứng loại I

 Dạng 1: (sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

Trang 22

 cos sin 2 cos 2 sin

 Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dâu giá trị tuyệt đối

6 Phượng trình đối xứng loại II: atan2 xcot2xbtanxcotxc0

 Dạng 1: atan2xcot2xbtanxcotxc0

2 sin 0 cos

0

 Đặt ttanxcotx, điều kiện t  2, tan2 x  cot2 x  t2 2

Khi đó phương trình đã cho có dạng: at2 2btc0at2 btc2a0 (*)

 Giải phương trình (*) theo t và chọn nghiệm t0 thỏa điều kiện t  2

 Với tt0 t0 tanxcotx, khi đó ta có thể chọn một trong hai hướng biến đổi sau:

tan

1tan  t0  2xt0 x 

x

 Hướng 2: Ta có:

0 0

2 2

0

2

1 2 sin cos

sin

cos sin

sin

cos cos

sin

t x t

x x

t x

x x

x        Đây là phương trình cơ bản của sin

 Dạng 2: atan2xcot2xbtanxcotxc0

2 sin 0 cos

0

 Đặt ttanxcotx tan2x  cot2 x  t2 2

Khi đó phương trình đã cho có dạng: at2 2btc0at2 btc2a0 (*)

 Giải phương trình (*) theo t

 Với tt0 t0 tanxcotx, khi đó ta có thể chọn một trong hai hướng biến đổi sau:

tan

1tan  t0  2 xt0 x 

x

 Hướng 2: Ta có:

22

cot2

sin

2cos2cos

.sin

cossin

sin

coscos

0 0

2 2

0

t x t

x

x t

x x

t x

x x

phương trình cơ bản của cot

 Lưu ý: Cũng có thể lựa chọn phép biến đổi t = tanx đối với hai dạng phương trình trên, tuy nhiên

khi đó sẽ thu được một phương trình bậc cao

7 Phương trình không mẫu mực

.

B

A B

2 2

B

A B

A

Trang 23

k A B

A

k B k

1 sin

2 cos

sin

x g

x f x

g x

f

 Dạng: sin  f   x  cos   g   x  1  sin  f     x  g x   sin  f     x  g x   2

 Dạng: cos  f   x  cos   g   x  1  cos  f     x  g x   cos  f     x  g x   2

 Dạng phương trình có điều kiện: chứa ẩn ở mẫu hoặc trong căn Ta đặt điều kiện suy ra tập nghiệm phương

trình là hữu hạn

II TỔ HỢP

1 Quy tắc đếm

Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương án A có thể thực

hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách

Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công

đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách

 Lưu ý: “Cộng trường hợp và nhân giai đoạn”

 Các tính chất của công thức nhị thức Niu – Tơn

 Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng

Trang 24

4 Các dạng toán giải tích tổ hợp thường gặp

III BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1 Biến cố

 Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của phép thử

 Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A, A  Ω

 Biến cố không:   Biến cố chắc chắn:Ω

 Biến cố đối của A: A   \ A  Hợp hai biến cố: AB

 Giao hai biến cố: AB (hoặc A, B)  Hai biến cố xung khắc: AB

 Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

 Quy tắc cộng: Nếu A  B =  thì: P(A  B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

 P(A) = 1 – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)

IV DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

1 Phương pháp quy nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề

đúng với n = k + 1

 Lưu ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n  p thì:

 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh



* : 

u N n u u

n

n n

u N n u u

n

n n

Trang 25

a Định nghĩa: (un)là cấp số nhân  u n+1 = u n q, n  N* (q: công bội)

1 (1 )

1 1

n

n n

 Nếu u n v n,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

 Nếu lim un = a thì limu n  a

c Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1

1

u q

 q 1

a Giới hạn đặc biệt:

lim n   limn k  (k )limq n  (q1)

neáu a v neáu a v

 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:

 Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n

 Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức:

 a  b  a  b    a b ; 3a 3b  3a2 3ab 3b2   a b

 Dùng định lý giới hạn kẹp: Nếu u n v n ,n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

 Khi tính các giới hạn phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số của hệ số của lũy thừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là   nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả của giới hạn đó là  nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

2 Giới hạn hàm số:

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

Trang 26

 

0

1 lim

x  x  ;

0

1 lim

0

lim ( ) lim ( ) ( ) x xlim ( )

x x

nếu L và g x cùng dấu

f x g x nếu L và  g x trái dấu

lim lim ( ) 0 ( ) 0 ( )

x x

P x

Q x

 với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

(Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu)

 L =

0

( ) lim ( )

x

P x

Q x

 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc biểu thức chứa căn

 Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x

 Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x hoặc nhân

lượng liên hợp

 Dạng  – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn

Trang 27

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu

 Dạng 0.: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên

b Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

c Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

d  Hàm số đa thức liên tục trên R:

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

e Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0

 Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 )  0

f Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0 (a; b):

 



 (x = x – x 0 , y = f(x 0 + x) – f(x 0 )

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

 f (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại Mx0;f x0 

 Ứng dụng:

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại Mx0;f x0  là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 ) (*)

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

 Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm Ta có: f x0 k (ý nghĩa hình học của đạo hàm)

 Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y0  f x0

 Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)

 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) cho trước:

 Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 = f(x 0 ))

 Phương trình tiếp tuyến (d): y y 0 f '(x )(x x )0  0

(d) qua A(x , y )1 1  y1y0 f '(x ) (x0 1x ) (1)0

 Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm y0f(x )0 và f '(x ) 0

 Ta viết phương trình (d) theo coogn thức (*)

 Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó:

Trang 28

(kx)’ = k (k là hằng số)

.u’

1 –

2

'



(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosx

(cosx)’ = – sinx (cosu)’ = – u’sinx (tanx)’ =

u

ln.'

 Lưu ý: công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

 Dạng : y =

''' 2

2

c x b x a

c bx ax

) ' ' ( ) ' ' ( 2 ) ' ' (

c x b x a

c b bc x c a ac x

b a ab

c bx ax

) (

2

e dx

dc be x ae x

b ax

d c

b a

d cx

b ax

cb ad





PHẦN II: HÌNH HỌC

I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Trang 29

Trang 30

và ngoại tiếp của ABC

II QUAN HỆ SONG SONG

1 Đường thẳng và mặt phẳng song song

nhau cùng song song với một

đường thẳng thì giao tuyến của

chúng song song với đường

thẳng đó

(P) (Q) d (P) / /a d / /a (Q) / /a

chứa hai đường thẳng a, b cắt

nhau và cùng song song với

d

a (Q)

(P)

a d

Q P

I b a

Q P

a

Q P

Trang 31

Định lí 3: Nếu hai mặt phẳng

(P) và (Q) song song thì mọi

mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì

phải cắt (Q) và các giao tuyến

của chúng song song

III QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Định lí 2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P) và đường

thẳng b nằm trong (P) Khi đó,

điều kiện cần và đủ để b vuông

góc với a là b vuông góc với hình

chiếu a’ của a trên (P)

nằm trong (P), vuông góc với

giao tuyến của (P) và (Q) đều

vuông góc với mặt phẳng (Q)

(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)

Q P

Q

P a

Trang 32

Định lí 3: Nếu hai mặt phẳng

(P) và (Q) vuông góc với nhau

và A là một điểm trong (P) thì

đường thẳng a đi qua điểm A và

vuông góc với (Q) sẽ nằm trong

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt

phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó

H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên

mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song

song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a

là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến

mặt phẳng kia

d((P);(Q)) = OH

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

a

R

Q P

O

H O

P

a

H O

P

H O

Q P

B

A

b a

Trang 33

 Góc giữa hai đường thẳng a và b

Là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một

điểm và lần lượt cùng phương với a và b

 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc

với mặt phẳng (P)

Là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói

rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900

 Góc giữa hai mặt phẳng

Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với

hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt

phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của

đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

 y  f (x) đồng biến / (a, b) (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b)

 y  f (x) nghịch biến / (a, b) (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b)

3 Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính y’ Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc y’ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

 Lập bảng xét dấu y’ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

b' b

a' a

a

b a

Q P

a b

B A

S

LỚP 12

Trang 34

4 Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Dạng 1: Tìm tham số để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến)

Thường sử dụng dấu của tam thức bậc hai P x ax2 bxc a0:

0

a R x x

0

a R x x

P

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b)

Hàm số y = f(x, m) đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b)  y '  ,  x    a ; b (hoặc

  a b x

h b a x x g m h

b

; ,

B4: Tìm cực trị nếu có

Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y/ đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại

y/ đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu

y/ không đổi dấu thì tại x0 hs không đạt cực trị

2 Phương Pháp 2:

B1: Tìm TXĐ

B2: Tìm y'và các điểm tới hạnx0(x0TXĐ mà y'

(x0) = 0 hoặc y'(x0) không XĐ) B3: Tìm y”, y”(x0) và tìm cực trị nếu có

Chú ý: Nếu y”( x0) < 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại Nếu y”(x0) > 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu

Nếu y”(x0) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị

3 Cực trị hàm bậc 3

 x ax bx cx d y f  x ax bx c f

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm cùng một phía đối với Ox

 hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu

0

'

CT CĐ

y y y a

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với Ox

 hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu

0

'

CT CĐ

y y y a

Trang 35

 Cho đường thẳng d: Ax  By  C  0 Gọi M1 x1; y1 và M2 x2; y2 là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị Khoảng cách đại số từ M1 x1; y1 và M2 x2; y2 đến đường thẳng d là:

2 2 1 1 1

B A

C By Ax t

B A

C By Ax t

, biêt x phân nghiêm 2

có 0 '

2 1

t t

x y

 Đồ thị có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với đường thẳng d

, biêt x phân nghiêm 2

có 0 '

2 1

t t

x y

2 1

x x F

a

c x x

a

b x x

 Giải hệ suy ra m So với điều kiện nhận hay loại giá trị của m

 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị : Chia f(x) cho f (x) ta được: y  f       x  Q x f ' x  Mx  NKhi đó, giả sử A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:      

f x Q x f y

N Mx x

f x Q x f y

2 2

2

1 1

1

'

0 '

2

1

x f

f y

N Mx x

f y

2 2

2

1 1

0 0

2 2 0

b ax

x b

ax x y

 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  a b  0

 Hàm số có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0

b a a b a

Chú ý: Nếu đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn tạo thành 1 tam giác cân có đỉnh nằm trên trục tung

Trang 36

5 Cực trị hàm phân thức bậc 2 / bậc 1

y =

e dx

c bx ax

2

) ( )

(

) (

2 '

e dx

x g e

dx

dc be x ae x

ad y

d

e g d

c bx ax x

khi đó  

         v  x

x u x v x v x u y x v

x u

' 0

0 '

' 0 '

x v

x u x v x v x u x

v

x u x v x v x u y

x v

ta có:  

      d

b ax x

v

x u x v

x u

''

Khi đó, giả sử A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì

v

x u x v

x u y

d

b ax x

v

x u x v

x u y

2

2 2

2

2 2

1

1 1

1

1 1

2'

'

2'

'

 các điểm A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng

d

b ax

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	3,94 MB

CẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌC

Ứng dụng của tích phân

điểm đt này không đt kia