Chuyên đề khảo sát hàm số

Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page1 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ. Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định trên (a; b). - Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) trong (a; b) 12 1 2 1 2 ,(;): ()() x xabxx fxfx     . - Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) trong (a; b) 12 1 2 1 2 ,(;): ()() x xabxx fx fx     . - Hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu. 2. Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a, b). - f(x) đồng biến trên (a,b) '( ) 0, ( , ). f xxab ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). - f(x) nghịch biến trên (a,b) '( ) 0, ( , ). f xxab ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). 3. Điểm tới hạn: là điểm '' 0 (,): ( ) 0 ( ). oo x ab fx fx 4. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm số: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. Giải phương trình y'=0. (để tìm điểm tới hạn). - Lập bảng biến thiên: + xét dấu y', suy ra tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. 5. Chú ý: - Đa thức bậc 3 chỉ đổi dấu ở nghiệm đơn và nghiệm bội 3. Tại nghiệm bội 2 không đổi dấu. - D ấu của vùng cuối cùng luôn cùng dấu với hệ số cao nhất. II. BÀI TẬP: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 2 32 3 . 2 3 . 3 5 131 . 3 7 1 . 31 ay x x by x x x cy x x x dy x       2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 2 2 31 . 2 . 1 5 . 3 x x ay x x by x x cy x       Dạng 1: Bài toán đồng biến, nghịch biến đối với hàm có chứa tham số. 1 f(x) đồng biến trên (a,b) '( ) 0, ( , ). f xxab - f(x) nghịch biến trên (a,b) '( ) 0, ( , ). f xxab 2. Xét 2 () ax ( 0)fx bx c a  Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page2 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. 0 () 0, 0 0 () 0, 0 a fx x a fx x               + Để hàm số f(x) không đổi dấu trên toàn R là 0   . 3. Thông thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của tam thức với các số  . 12 12 12 1. . ( ) 0 0 2. . ( ) 0 2 0 3. . ( ) 0 2 4. ( ) 0, ( ) 0, ( ( ) ê ) () 0 5. 0 : ( ) 0, ( , ) () 0 o xxaf xx af S xx af S f xxxfxx fxlintuc f afx x f                                             Bài 1: Cho hàm 32 1 (1) (32) (1) 3 ymxmxmx . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. HD: (1) đồng biến trên R '0, 2yx m . Bài 2: Tìm m sao cho hàm số 2 22xmxm y xm     đồng biến trên từng khoảng xác định. HD: 1 2 m m      Bài 3: định m để hàm số 2 (6)3 y mx m x nghịch biến trên (1, )   . Bài 4: tìm m để hàm số 32 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 ( ) m yx mx mmx C    đồng biến trên (2, )   Hd: 1m  . Bài 5: tìm m để hàm số 42 231yx mx m   đồng biến trên (1, 2). Hd: 0: ' 0, 0 0: ' 0 0 1 my xm my m   Vậy 1m  . Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page3 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. Bài 6: tìm m để hàm số 32 1 22 3 yxxmx đồng biến trên , ( ,1)   . Hd: 2 22 '4 '0,1 4 0,1 4 yx xm y xxxmxmxx     Vậy 3m  . Bài 2: CỰC ĐẠI- CỰC TIỂU. I. LÝ THUYẾT: 1. Lân cận của o x : 2. Cực đại, cực tiểu: Định lý 1: '( ) 0, ( , ) . '( ) 0, ( , ) oo o oo fx x x hx ax fx x xx h         là điểm cực đại của f(x). '( ) 0, ( , ) . '( ) 0, ( , ) oo o oo fx x x hx bx fx x xx h         là điểm cực tiểu của f(x). c. Các điểm cực đại, cực tiểu gọi là cực trị. Định lý Ferma: nếu hàm số y=f(x) coa đạo hàm tại o x và đạt cực trị tại o x thì '( ) 0 o fx . Mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn. Quy tắc: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. giải phương trình y'=0 tìm điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên. Định lý 2: '( ) 0 . ''( ) 0 o fx ax fx       là điểm cực tiểu của f(x) '( ) 0 . ''( ) 0 o fx bx fx       là điểm cực đại của f(x) Quy tắc: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn i x . - Tính y'' và thế i x vào y''. từ đó áp dụng định lý 2. II. BÀI TẬP: Bài 1: tìm cực trị của hàm số: Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page4 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. 2 32 1 .() 1 .(1) x ay f x xx by x x     Bài 2: xác định m để 322 3(1)2yx mx m x    đạt cực đại tại x=2. Chú ý: nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc 2 thì ta lập luận : hàm số có cực trị khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: (A-2005) Cho hàm số 1 ymx x  . Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các điểm cực trị. Bài 4: tìm m để 32 () 2 1 y fx x x mx có cực trị. Bài 5: cho hàm số 322 1 (1)1 3 yxmxmmx . Với giá trị nào của m thì hàm đạt cực tiểu tại x=1. Chú ý: nếu 0 '( ) 0fx thì 0 x chưa hẳn là cực trị . Lúc này 0 x là cực trị thì đạo hàm cấp 1 phải đổi dấu hoặc 0 ''( ) 0fx . Bài 6: tìm m để hàm số 2 1 () x mx yfx x m     đạt cực đại tại x=2. Hd: 1 '( ) 0 1 xm fx xm         , lập bảng biến thiên: m=-3. Chú ý: khi làm việc với tam thức bậc 2 có chứa m, nên lập  . Nếu  là bình phương của một biểu thức thì tam thức có nghiệm đẹp. Hãy lấy nghiệm và làm việc theo nghiệm. Bài 7: tìm m để 2 2 () 1 xmx yfx x    có 2 cực trị. Bài 8: (B-2002) tìm m để hàm số 422 9( 9) 10ymx m x  có 3 cực trị. Hd: 3 03 m m      Bài 9: tìm m để đồ thị hàm số 322 (2 1) ( 3 2) 4 y xmxmmx       có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung. Hd: 1<m<2. Bài 10: xác định m để đồ thị hàm số 32 1 (2 1) 3 3 y xmx m x   có cực đại, cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung. Hd: 1 1 2 m m        Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page5 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. Nhận xét: cho hàm số () () () ux fx vx  đạt cực trị tại o x thì giá trị cực trị tại đó là '( ) () '( ) o o o ux fx vx  . Bài 11: tìm m để đồ thị hàm số 32 1 1 3 m y xmxmx    không có cực trị. Đs: 0m  Bài 12: tìm m để hàm số 43 2 2 1 32 m yx x x   . a. Chỉ có 1 cực trị. b. Có 3 cực trị. c. Có cực đại. d. Có cực tiểu, không có cực đại. Chú ý: - hàm bậc 3 hoặc đổi dấu 1 lần, hoặc đổi dấu 3 lần. - Hàm bậc 3 đổi dấu 3 lần khi có 3 nghiệm phân biệt. Bài 13: cho hàm số 32 2yx mx . Tìm m để hàm số có CĐ, CT, đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị nằm 2 phía đối với trục Ox. Dạng 2: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu( cực trị). I. Hàm bậc 3: Xét 32 () y f x ax bx cx d 2 ''()3 2 y f x ax bx c B1: điều kiện để có cực trị là y'=0 có 2 nghiệm phân biệt. B2: chia đa thức y cho y'. kết quả có dạng: ().'yx yx     B3: giả sử có 2 nghiệm D , CCT x x thì: , CD CD CT CT yx yx     B4: kết luận: đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: yx     Nhận xét: nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tọa độ các điểm cực trị là: 12 11 2 2 : : xx AB yx yx        Ví dụ 1: cho hàm số 32 3935yx mx x m  . Định m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị ấy. Hd: 2 2(3 ) 6 5ymxm  Ví dụ 2: cho hàm số 3 () 2 f xxmx  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. a. Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox. Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page6 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. b. Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với M(1, 1) nằm trên một đường thẳng. Hd: chia y cho y' a. 12 ().() 0 3fx fx m ( sử dụng viet) Ví dụ 3: (B-2007)Tìm m để hàm số 32 2 2 () 3 3( 1) 3 1yfx x x m x m        có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị cách đều gốc tọa độ. Hd: tìm tọa độ cực trị, sử dụng công thức OA=OB. Đs: 1 2 m   . Ví dụ 4: định m để đồ thi hàm số 32 23(1)6(2)1 y xmxmx   có 2 cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y=x. Hd: m=2 hoặc m=4. II. Hàm hữu tỷ: Xét hàm số () () () ux yfx vx  B1: điều kiện để có cực trị y'=0 có hai nghiệm phân biệt. B2: giá trị cực trị là '( ) () '( ) o o o ux fx vx  B3: đường thẳng qua hai điểm cực trị là '( ) '( ) ux y vx  Ví dụ : cho hàm số 2 (1) 1xmxm y xm    a. C/m rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. b. Định m để giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu. viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. III. Hàm trùng phương: Xét hàm số 42 ax y bx c 1. Hàm số có 1 cực trị .0ab 2. Hàm số có 3 cực trị .0ab Ví dụ: cho hàm số 2 44 22 y xmxmm  . Định m để hàm số có cực trị và đồng thời các điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Hd: nêu tọa độ cực trị 442 42 (0, 2 ), ( , 2 ), ( , 2 ) A mm B mm m mC mm m m    . Hàm số là hàm chẵn, nên B, C đối xứng qua trục tung, tức AB=AC. Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB=BC. Bài toán tìm quỹ tích các điểm cực trị ( tìm tập hợp điểm) B1: tìm tọa độ điểm cực trị ( ) (1) : (, ) (2) xgm M yfxm      B2: khử m. Rút m từ (1) rồi thê vào (2), ta được phương trình quỹ tích y=F(x). Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page7 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y. Ví dụ 1: cho 32 (): 3 1 m Cyx mx . Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị hàm số. Hd: xét m<0, m>=0. Ví dụ 2: cho hàm số 32 (): 2 3(2 1) 6( 1) 1 m Cyx mx mmx   .tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của hàm số. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT. I. LÝ THUYẾT: 1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên D. () , ax ( ) :() D oo f xDxD Mmfx x fx M       () , () :() D oo f xDxD mminfx x fx m       2. Cần phân biệt các cặp khái niệm: - Giá trị lớn nhất và giá trị cực đại. - Giá trị bế nhất và giá trị cực tiểu. 3. Tìm GTLL, GTNN: a. Trên khoảng (a, b)( sử dụng bảng biến thiên): lập bảng xét dấu của y' và DC y là GTLL nếu cực đại là duy nhất, CT y là GTNN nếu cực tiểu là duy nhất. b. Trên đoạn [a, b]( áp dụng đối với hàm số phức tạp, lượng giác): giải phương trình y'=0 có nghiệm 12 , , [ , ]. x xab  Tính 12 ( ), ( ), , ( ), ( ) f xfx fafb. Số lớn nhất là GTLL, số nhỏ nhất là GTNN. II. BÀI TẬP: Tìm GTLL, GTNN của: Bài 1: 42 () 2 3yfx x x trên [-3, 4]. Bài 2: () 2os2 4sin y fx c x x  trên [0, ] 2  . Bài 3: 3 4 () 2sin sin 3 y fx x x  trên [0, ]  . Bài 4: 2 () sin 2 x y fx x trên [,] 22   . Bài 5: (D-03) 2 1 () 1 x yfx x    trên [-1, 2]. Bài 6: (B-03) 2 () 4 y fx x x Bài 7: 20 20 sin os y xc x Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page8 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. Hd: đặt 2 sin , 0 1txt. Bài 8: cho x>0,y>0 thỏa điều kiện x+y=1. Tìm GTLN, GTNN của 11 x y P y x   . Bài 9: 44 66 sin os () sin os x cx yfx x cx    Hd: đặt 22 1 sin . os , 0 4 txcxt Bài 10: cho x>0, y>0 thỏa x+y=1. Tìm GTNN của 1 Pxy x y  . Bài 4: TIỆM CẬN. Cho hàm số y=f(x). 1. Tiệm cận đứng: Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp sau lim , lim , lim , lim xa xa xa xa           thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Chú ý: xét () () ux y vx  , nếu a là nghiệm của mẫu thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị. Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 2 22 21 3 3 65 . ( ) . ( ) . ( ) . 254 43 1 xx xxx af x bf x cf x dy xxx xx x        3. Tiệm cận ngang: đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng y=b làm tiệm cận ngang khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: lim() , lim() xx f xb fxb     4. Chú ý: đồ thì hàm số hữu tỷ có đường tiệm cận ngang khi bậc tử  bậc mẫu. Ví dụ: tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: 22 2 21 1 1 32 . ( ) . . . . 34 34 21 25 xxxxxx ay f x by cy dy xxx x x         Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước giải bài toán: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x). 1. Tìm tập xác định D ( tính chẵn, lẻ nếu có) 2. Chiều biến thiên: - Tìm các giới hạn ở vô tận. - Tìm các đường tiệm cận( nếu có). - Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tới hạn. Xét dấu y' để tìm khoảng tăng, giảm và tìm cực trị( nếu có) của hàm số. - Lập bảng biế n thiên. 3. Vẽ đồ thị: Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page9 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. - Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị: + Các điểm cực trị. + Giao điểm của đồ thị với trục Oy, Ox. - Vẽ đường tiệm cận. - Vẽ đồ thị. I. Hàm bậc ba 32 () ax ( 0)yfx bxcxda: Khảo sát tổng quát: - D   . - Tiệm cận- giới hạn: , 0 lim ( ) , 0 x a fx a          , 0 lim ( ) , 0 x a fx a          - 2 '3 2 y ax bx c. - '' 6 2 0 3 b yaxb x a   : hoành độ của điểm uốn . Điểm uốn của đồ thị là điểm ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của đồ thị. Khi đó tiếp tuyến đâm xuyên qua đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. - Bảng biến thiên: có 6 trường hợp. - Đồ thị: có 6 dạng.  Caùc daïng ñoà thò: *a>0: 1. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: 14 12 10 8 6 4 2 -15 -1 0 -5 5 10 15 2.y'=0 có nghiệm kép: 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -15 -10 -5 5 10 15 3. y'=0 vô nghiệm: Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww.VNMATH.com   Page10 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -15 -1 0 -5 5 10 15 Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 32 () 3 2yfx x x Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 32 () 3 3 1 y fx x x x *a<0 4.y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 5. y'=0 có nghiệm kép: 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -1 0 -5 5 10 15 6.y'=0 vô nghiệm: 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -1 0 -5 5 10 15 Ví dụ 3: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 32 1 () 3 4 3 y fx x x x      Ví dụ 4: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 32 () 3 y fx x x II. Hàm trùng phương 42 () ax ( 0)yfx bxca : - D   - Đồ thị nhận trục trung làm trục đối xứng( vì hàm chẵn). - Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y'=0 có 3 nghiệm phân biệt 0ab 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -1 0 -5 5 10 15 . Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww .VNMATH. com    Page1 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. CHƯƠNG I: KHẢO.  Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww .VNMATH. com    Page2 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. 0 () 0, 0 0 (). . Chuyênđề:KHẢOSÁTHÀMSỐwww .VNMATH. com    Page3 Giáoviên:NguyễnThịLành‐THPTNguyễnTrườngTộ‐Huế. Bài 6: tìm m để