ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích

Tính cấp thiết của đề tài Qua quá trình giảng dạy môn Toán Cao cấp cho sinh viên K38-39-40 Nganh Công nghiệp Nông thôn, tôi nhận thấy năng lực giải các bài toán tích phân và đặc biệt là

PHẦN 1 Đặt vấn đề

1 Tính cấp thiết của đề tài

Qua quá trình giảng dạy môn Toán Cao cấp cho sinh viên K38-39-40 Nganh Công nghiệp Nông thôn, tôi nhận thấy năng lực giải các bài toán tích phân và đặc biệt là khả năng ứng dụng tích phân vào lĩnh hội kiến thức chuyên môn có toán tích phân của sinh viên còn nhiều hạn chế Vì lẽ đó đề tài

“ Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích ” là cần thiết

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học:

Hệ thống hoá các kiến thức về tích phân, cũng nh các ứng dụng của nó trong các ngành Khoa học – Kĩ thuật, đặc biệt là các bài toán tính diện tích và thể tích

PHẦN II Tổng quan tài liệu

2.1 Cơ sở lí luận về tích phân

2.1.1 Các định nghĩa về tích phân

a Tích phân xác định

Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b]

thành những đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia a x= < < <0 x1 x n =b Trong mỗi khoảng nhỏ [x i−1, ]x i lấy một.

mà I n có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào

cách chọn điểm ξi và cách chia đoạn [a,b] thì I được gọi là tích phân xác định

của hàm số f(x) lấy trên đoạn [a, b] Tức là: 0

1

lim n ( )i i

i n

b Tích phân suy rộng

Giả sử hàm số ( )f x xác định trong khoảng [ , a +∞), nghĩa là ( )f x xác

định với mọi x a≥ và khả tích trong bất kì khoảng hữu hạn [ , ]a A ; khi đó, nh

A

A a

f x dx

→+∞∫ (1) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy

rộng của hàm số ( )f x trong khoảng [ , a +∞) và kí hiệu là: ( )

a

f x dx

+∞

∫ (2)Khi đó ta cũng nói rằng tích phân (2) hội tụ và viết:

I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá

trị I không phụ thuộc vào cách chia miền D

và cách chọn điểm M i thì I được gọi là tích

phân kép ( tích phân hai lớp) của hàm số

f(x,y) lấy trong miền D Tức là:

1

lim n ( , )i i i

n i

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian

ba chiều Oxyz Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ Gọi tên và cả

thể tích của các miền nhỏ đó lần lượt là

Gọi d i là đường kính tương ứng của miền nhỏ ∆V i

Nếu khi n→ ∞ sao cho max1 i 0

e Tích phân đường loại một

Cho hàm số ( )f M = f x y( , )xác định trên một cung phẳng »AB Chia

cung »AB thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia

0, , ,1 n

A A A= A =B (hình 1.4)

Gọi độ dài của cung ¼A A i−1 i là ∆s i.Trên cung ¼A A i−1 i

lấy một điểm tuỳ ý M x y i( , ),i i i=1,n

f Tích phân đường loại hai

Cho hai hàm số P x y( , ), Q x y( , ) xác định trên cung »AB Chia cung »AB

thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia A A A= 0, , ,1 A n =B Gọi hình chiếu của vectơ uuuuurA A i−1 i lên hai trục Ox và Oy lần lượt là ∆x i, ∆y i Trên cung ¼A A i−1 i

lấy một điểm tuỳ ý M x y i( , ),i i i=1,n

Cho hàm số ( )f M = f x y z( , , ) xác định trên mặt cong S Chia S thành

n mảnh nhỏ Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó lần lượt là

Gọi di là đường kính của mảnh thứ i

Nếu khi n→ ∞ sao cho max1 i 0

i n d

≤ ≤ → mà I n có giới hạn ( hữu hạn) là I

thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm

P x y z Q x y z R x y z xác định trên mặt định hướng S Chia S

thành n mảnh nhỏ Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó

lần lượt là ∆ ∆S1, S2, ,∆S n Trong mỗi mảnh nhỏ ∆S i lấy một điểm tuỳ ý ( , , ), 1,

giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không

phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm

()([

.)()

(

dx x f c dx x f c

b Tính chất 2:

Nếu f (x) khả tích trên đoạn [a, b] thì ∀c∈( b a, )ta có:

.)()

()

c Tính chất 3:

- Nếu f(x)≥0,∀x∈[a,b] thì ∫b ( ) ≥0

a

dx x f

- Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì f (x) cũng khả tích trên

- Nếu f(x) bị chăn trên đoạn [a, b], tức là

],[,

)(x M x a b f

2 2 Một số vấn đề thường gặp khi học toán tích phân

2.2.1 Các dạng bài toán tích phân thường gặp

Trong chương trình toán cao cấp sinh viên thường gặp các dạng tích phân xác định của hàm hữu tỉ, hàm vô tỉ và hàm lượng giác; tính tích phân suy rộng trong trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn hoặc hàm số lấy tích phân không bị chặn; tính tích phân bội trên miền bị chặn bất kì; tính tích phân trên một đường cong bất kì hoặc định hướng, mặt cong bất kì hoặc định hướng…

Muốn làm được các bài toán này các em phải chọn đúng phương pháp

để đưa tích phân đã cho về tổng các tích phân cơ bản đã biết Đối với các tích phân bội cần phải xác định đúng các cận lấy tích phân khi đưa về tích phân xác định…

2.2.2 Một số phương pháp cơ bản tính tích phân

a Tích phân xác định

• Phương pháp phân tích

Dùng các phép biến đổi đại số, biến đổi lượng giác để đưa hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng các hàm số đơn giản để áp dụng công thức cơ bản

Ta thường gặp công thức:

.)(

1)(

)(

1)

α

β α

β α

b ax F a b ax d b ax f a dx b ax

∫

• Phương pháp đổi biến

9

- Nếu đặt x =ϕ(t), trong đó ϕ(t) khả vi trong [α,β] và

b

= ; ( ))

dx x f

b

a

- Nếu đặt t=ϕ(x), trong đó ϕ(x) khả vi trong [ b a, ] Khi đó

dt t g dx x

f( ) = ( ) và ϕ(α)=a;ϕ(β)=b thì ( ) ( ) .

) ( ) (∫

x f

ϕ ϕ

+ Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng

∫ a2 − x2dx ta đặt x= asinx hoặc x=acosx

udv

+ Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng

- ∫P(x)aαx dx;∫P(x)sinaxdx; ∫P(x)cosaxdx ta đặt u=P (x),

dv là phần còn lại.

- ∫P(x)loga x dx ta đặt u =loga x , dv là phần còn lại.

- ∫aαxsinβxdx; ∫aαxcosβxdx đặt tuỳ ý nhưng phải lấy tích phân hai lần và thống nhất cách đặt trong cả hai lần

b Tích phân kép

• Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có cạnh song song với các trục tọa độ

Nếu f(x, y) liên tục trên miền chữ nhật D xác định bởi

b x a

dx dy y x f dy

y x f dx dxdy y x f

dy dx y x f dx

y x f dy dxdy y x f

• Miền lấy tích phân là miền bị chăn bất kì

- Nếu f(x, y) liên tục trên miền D xác định bởi

.)

,()

,()

,(

) ( ) (

) ( ) (

2

1 2

x y

x y

x y

b

a D

dx dy y x f dy

y x f dx dxdy y x f

- Nếu f(x, y) liên tục trên miền D xác định bởi

.)

,()

,()

,(

) ( ) (

) ( ) (

2

1 2

y x

y x

y x

d

c D

dy dx y x f dx

y x f dy dxdy y x f

• Miền lấy tích phân là các miền tròn

Ta chuyển từ hệ toạ độ Đecac sang hệ tọa độ cực Đặt

D

0

20

11

r f dxdy y x

c Tích phân bội ba

• Nếu miền lấy tích phân là miền bị chặn bất kì

Nếu hàm số f(x,y,z) liên tục trên miền V giới hạn bởi các mặt

),(,

),

1 x y z z x y

z

z= = trong đó z1, z2liên tục trên miền D là hình chiếu

của V trên mặt phẳng Oxy Nếu D được giới hạn bởi các đường

)(,

) ( ) (

2

1 2

1

),,()

,,(

y x z

y x z

x y

x y

b

a V

dz z y x f dy dx dxdydz

z y x

• Nếu miền lấy tích phân là các miền hình trụ

Ta chuyển từ hệ tọa độ Đecac sang hệ toạ độ trụ Đặt

20

:

πϕ

′

=

V V

dz rdrd z r

r f dxdydz

z y x

f( , , ) [ cosϕ, sinϕ, ] ϕ .

• Nếu miền lấy tích phân là các miền hình cầu

Ta chuyển từ hệ tọa độ Đecac sang hệ toạ độ cầu Đặt

ϕθ

cos

sinsin

cossin

πϕ

Và ∫∫∫ ∫∫∫

′

=

V V

d drd r

r r

r f dxdydz

z y

x

f( , , ) [ sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ] 2sinθ ϕ θ .

d Tích phân đường loại một

• Nếu cung trơn »AB được cho bởi phương trình y = y(x),a≤x≤b và

),

( , ) ( ), ( ) ( ) ( )

t

t AB

f x y ds= f x t y t x t′ + y t dt′

Trường hợp cung »AB cho trong không gian cũng được áp dụng theo phương pháp trên

e Tích phân đường loại hai

• Nếu cung »AB được giới hạn bởi phương trình y = y (x) và a là hoành

độ của điểm A, b là hoành độ của điểm B thì:

A

dt t y t y t x Q t x t y t x P Qdy

Pdx

• Công thức Green: Giả sử D là miền liên thông, bị chặn, có biên L gồm một hay nhiều đường cong kín trơn từng khúc, rời nhau từng đôi một

13

Nếu các hàm số P(x,y),Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D thì ta có:

)]

(,,[)

,,(x y z dS f x y z x z 2 z 2dxdy f

D

y x

R( , , ) .Giả sử mặt S được xác định bởi z= z ( y x, ) Khi đó ta có:

∫∫

D S

dxdy y

x z y x R dxdy

z y x

R( , , ) [ , , ( , )] với D là hình chiếu của S trên

mặt phẳng Oxy và ( ,n Ozr ) 90< 0, trong đó nr là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện với S

và ∫∫ =−∫∫

D S

dxdy y

x z y x R dxdy

z y x

R( , , ) [ , , ( , )] nếu (n,Oz)>900.

Áp dụng tương tự cho các thành phần còn lại của tích phân mặt loại hai

PHẦN IIInội dung và phương pháp nghiên cứu

3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán

tính diện tích và thể tích

Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân với sinh viên K38, 39,

40 ngành Công nghiệp Nông thôn

3.2 Nội dung nghiên cứu

- Những sai sót của sinh viên khi làm bài toán tích phân

- Ứng dụng tích phân vào tính thể tích và diện tích

3.3 Phương pháp nghiên cứu

Thống kê quả học tập phần tích phân, đặc biệt là các lỗi, sai sót của sinh viên Trên cơ sở đó hệ thống hoá kiến thức tính phân cũng nh những ứng dụng của nó và kiểm nghiệm trong giảng dạy

PHẦN IV

Kết quả nghiên cứu

4.1 Thực trạng về giải các bài toán tích phân của sinh viên khi thực hiện chương trình toán cao cấp

Trong chương trình đào tạo cho ngành CNNT, môn toán cao cấp được phân phối thành 6 tín chỉ, trong đó các phép toán tích phân chiếm 1/2 khối lượng của học phần Toán Cao cấp 2 Sinh viên được trang bị các kiến thức cơ bản và cách tính tích phân xác định, tích phân kép, tích phân bội

ba, tích phân đường, tích phân mặt cùng với các ứng dụng của nó

Song do thời lượng dành cho mỗi phép toán là hạn chế nên chủ yếu phần ứng dụng sinh viên phải tự đọc giáo trình Trong khi đó ứng dụng của tích phân lại rất rộng, không chỉ trực tiếp trong toán học mà còn ở rất nhiều môn khoa học kĩ thuật khác nh:

Tính giới hạn của dãy số, xét sự hội tụ của chuỗi số dương … trong đại số

Tính độ dài đường cong, diện tích hình phẳng, mặt cong, thể tích vật thể

Do đó nếu có sự tổng hợp về kiến thức và các ứng dụng của tích phân sẽ giúp sinh viên có cái nhìn khái quát hơn về môn học Tạo ra sức hấp dẫn và động lực đối với sinh viên khi học toán tích phân Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán cũng như các môn học khác.Trong khuôn khổ của

đề tài tôi trình bày vê ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích

4.2 Một số khó khăn của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân

4.2.1 Một sè sai sót của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân

Khi tính tích phân xác định, sinh viên thường nhầm lẫn trong việc lựa chọn các phương pháp tính tích phân

Ví dô: Tính tích phân sau

∫

= 2

0 cos sin

π

xdx e

dx xe

du xdx

cos cos

0 cos 2

0

cos 2

0

2

1cos

cossincos

π π π

π

dx xe xe

dx xe x xe

Đến đây việc lấy tích phăn càng trở nên khó khăn hơn

Sai lầm của sinh viên là cho rằng tích phân này có thể làm bằng phương pháp tích phân từng phần mà không chú ý đến quy tắc của phương pháp này

là ∫vdu phải đơn giản hơn ∫udv Bài toán này ta phải làm bằng phương pháp

đổi biến nh sau:

Đặt t =ecosx ⇒dt =−sinxecosx dx

Khi tính tích phân cần kiểm tra điều kiện khả tích

Cần chó ý đến tính chẵn lẻ của hàm số f(x) trên đoạn [a, b]

Điều kiện để áp dụng công thức Newton – Lepbnitz là:

+ f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

+ F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b]

Khi tích tích phân từng phần ta chọn u(x), v(x) phải thoả mãn hai tích chất sau:

+ u, v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]

+∫vdu phải đơn giản hơn ∫udv

Khi đứng trước một bài toán có ứng dụng tích phân sinh viên thường nhầm lẫn trong việc lựa chọn các dạng tích phân.

Ví dô: Khi yêu cầu tính diện tích của mặt cong S, sinh viên thường lúng

túng trong việc chọn tích phân xác định, tích phân kép, tích phân mặt loại một hay tích phân mặt loại hai …

Với những bài toán phải đổi hệ trục tọa độ sinh viên thường nhầm lẫn khi lựa chọn hệ tọa độ mới.

z a

y x V dxdydz z

y x

3:

,)

Khi giải bài toán này sinh viên thường thấy nó gần với dạng của phương trình mặt cầu nên đã chuyển sang hệ toạ độ cầu Nhưng khi lấy cận thì bán kính r có cận không hằng số Sinh viên có thể tiếp tục giải phương trình:

1

3 2

2 2

2 2

=+

+

a

z a

y x

để tìm r là: 3(x2 + y2)+ z2 =3a2

19

30

.sin213

3)sin21(

2

2 2

2

2 2

2

θθ

=

⇔

=+

⇔

a r

a r

a r

Với kết quả này thì việc tính tích phân là rất khó khăn

Trong trường hợp này sinh viên đã sai lầm khi lựa chọn hệ toạ độ mới.Với những miền V là elip ta cần chuyển sang hệ tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt:

ϕθθ

πθ

πϕθ

ϕθ

ϕθ

d drd r

a dxdydz

r

V r

a

z

ar y

ar

x

sin3

10

0

20

:cos

3

sinsin

cossin

2 3

Hoặc có thể đổi biến hai lần:

Lần 1: Chuyển miền lấy tích phân từ elip về cầu bằng cách đặt

:3

Lần 2: Chuyển sang hệ toạ độ cầu

Khi đổi hệ toạ độ sinh viên thường xác định sai cận lấy tích phân.

Ví dô: Tính tích phân sau I =

Chuyển sang tọa độ trụ ta được:

a r V

z z

r y

r x

00

20

:sin

ϕϕ

Do đó:

2

2 0

0

2 0

a

a a zdz

dr d

I = ∫π ϕa∫ a∫ = π =π

Ở đây sinh viên đã chọn cận sai cho biến r Theo phương trình của miền

V thì z = r2 tức là 0≤r ≤ z Vì vậy, bài toán cần được giải là:

Chuyển sang tọa độ trụ ta được:

z r V

z z

r y

r x

00

20

:sin

ϕϕ

48

22

22

0

4 0

3

2 0

0

2 0

a r

dz

r dz

r z zdz

dr d

4.2.2 Nguyên nhân gây ra sai sót của sinh viên khi học toán tích phân

Chưa nắm vững kiến thức cơ bản

Khi áp dụng các định lí và các phương pháp tính tích phân còn thụ động Khả năng phân tích, tổng hợp các dạng bài toán còn hạn chế

Chưa xác định rõ động cơ học tập

4.3 Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích

4.3.1 Tính độ dài cung đường cong

• Tính độ dài cung đường cong bằng tích phân xác định

Cho đường cong có phương trình

( )

y= f x với ( )f x là hàm số liên tục và có

đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] Gọi cung

»AB là đồ thị của hàm số ( )f x trên đoạn [a,

b] (hình 3 2), khi đó độ dài của cung »AB

được tính bởi công thức

- Trường hợp đường cong cho dưới dạng tham sè

( )

,( )

′ thay vào (1) ta được (2).

- Trường hợp đường cong cho trong hệ toạ độ cực

[ ]( ), ,

Thật vậy, theo công thức liên hệ giữa hệ toạ độ Đêcac và hệ toạ độ cực ta

có x r= ( )cos ,ϕ ϕ y r= ( )sinϕ ϕ Ta coi x, y được biểu diễn theo tham sè ϕ,

tính đạo hàm và dx rồi thay vào (1) ta được (3).

Ví dô 1: Tính độ dài cung đường cong y e= x, (0≤ ≤x x0)(hình 3 3)

Đặt

2

11

Do đó:

23

( 2)2

( 2)

coscos 2

0 cos

dt I

TÝnh độ dài cung đường cong bằng tích phân đường loại một

Theo định nghĩa tích phân đường loại một ta thấy, khi ( , ) 1f x y = thì tích

phân đường

»AB

I = ∫ ds là chiều dài của cung »AB Nếu cung »AB được cho bởi

phương trình y y x= ( ), a x b≤ ≤ thì chiều dài của cung »AB trở về với tích phân xác định

l= ∫ ds=∫ +y x dx′ Tương tù cho trường hợp cung »AB được cho bởi phương trình tham sè hay trong toạ độ cực

25

- Trường hợp hình phẳng được giới hạn bởi đường cong cho trong hệ toạ

độ cực r = f( ),ϕ ϕ α β∈[ , ] (hình 3 8) thì diện tích của hình phẳng là:

2

1( )2

β α

- Có thể sử dụng tính đối xứng của miền lấy tích phân đÓ việc tính toán đơn giản hơn (chó ý tính chẵn lẻ của hàm số biểu diễn biên của miền)

- Khi tính diện tích hình phẳng ta nên biểu diên hình Êy Nếu không vẽ hình thì ta phải xác định miền biến thiên của biến số theo giá trị hàm số biểu diễn biên của miền Êy

- Nếu đường cong cho ở dạng phương trình Èn thì ta có thể đưa về dạng tham số hoặc toạ độ cực

Ví dô 1:Tính diện tích của Elip

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

trong toạ độ cực ta được 1 2( )

2

β α