ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích

PHẦN 1 Đặt vấn đề 1. Tính cấp thiết của đề tài Qua quá trình giảng dạy môn Toán Cao cấp cho sinh viên K38-39-40 Nganh Công nghiệp Nông thôn, tôi nhận thấy năng lực giải các bài toán tích phân và đặc biệt là khả năng ứng dụng tích phân vào lĩnh hội kiến thức chuyên môn có toán tích phân của sinh viên còn nhiều hạn chế. Vì lẽ đó đề tài “ Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích ” là cần thiết. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Hệ thống hoá các kiến thức về tích phân, cũng nh các ứng dụng của nó trong các ngành Khoa học – Kĩ thuật, đặc biệt là các bài toán tính diện tích và thể tích. Ý nghĩa thực tiễn: Nâng cao năng lực và khả năng ứng dụng toán tích phân vào học tập môn giải tích và các bài toán kĩ thuật. Góp phần nâng cao chất lượng đào tạo trong nhà trường. 3. Mục đích nghiên cứu Nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng tích phân trong các môn học khác cho sinh viên. Cung cấp một tài liệu tham khảo có tính ứng dụng cho sinh viên ngành Công nghiệp Nông thôn. 1 PHẦN II Tổng quan tài liệu 2.1. Cơ sở lí luận về tích phân 2.1.1. Các định nghĩa về tích phân a. Tích phân xác định Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia 0 1 n a x x x b = < < < = . Trong mỗi khoảng nhỏ 1 [ , ] i i x x − lấy một. điểm i ξ tuỳ ý: 1 , ( 1, ) i i i x x i n ξ − ≤ ≤ = và lập tổng 1 ( ) n n i i i I f x ξ = = ∆ ∑ với 1 , ( 1, ) i i i x x x i n − ∆ = − = Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n x λ ≤ ≤ ∆ = → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chọn điểm i ξ và cách chia đoạn [a,b] thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) lấy trên đoạn [a, b]. Tức là: 0 1 lim ( ) n i i i n I f x λ ξ → = →∞ = ∆ ∑ . Kí hiệu: ( ) b a I f x dx= ∫ 2 b. Tích phân suy rộng Giả sử hàm số ( )f x xác định trong khoảng [ , )a +∞ , nghĩa là ( )f x xác định với mọi x a ≥ và khả tích trong bất kì khoảng hữu hạn [ , ]a A ; khi đó, nh đã biết tích phân ( ) A a f x dx ∫ có nghĩa với bất kì A a > . Nếu tồn tại lim ( ) A A a f x dx →+∞ ∫ (1) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số ( )f x trong khoảng [ , )a +∞ và kí hiệu là: ( ) a f x dx +∞ ∫ (2) Khi đó ta cũng nói rằng tích phân (2) hội tụ và viết: ( ) lim ( ) A A a a f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ . Nếu không tồn tại giới hạn (1) thì ta nói rằng tích phân (2) phân kì. Tương tù, ta cũng định nghĩa: ( ) a f x dx −∞ = ∫ lim ( ) a A A f x dx →−∞ ∫ . (A<a) ( )f x dx +∞ −∞ = ∫ lim ( ) A A A A f x dx ′ →−∞ ′ →+∞ ∫ . c. Tích phân kép Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh nhỏ tuỳ ý. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh đó lần lượt là 3 1 2 , , , n S S S ∆ ∆ ∆ (hình 2. 2). Trong mỗi mảnh nhỏ i S ∆ lấy một điểm tuỳ ý ( , ), 1, i i i M x y i n = . Lập tổng 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆ ∑ . Gọi i d là đường kính tương ứng của mảnh thứ i. Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n d ≤ ≤ → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm i M thì I được gọi là tích phân kép ( tích phân hai lớp) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D. Tức là: 1 lim ( , ) n i i i n i I f x y S →∞ = = ∆ ∑ Kí hiệu: ( , ) D I f x y dS = ∫∫ . d. Tích phân bội ba Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian ba chiều Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi tên và cả thể tích của các miền nhỏ đó lần lượt là 1 2 , , , n V V V ∆ ∆ ∆ (hình 2. 3). Trong mỗi miền i V ∆ lấy một điểm tuỳ ý ( , , ), 1, i i i i M x y z i n = . 4 Lập tổng 1 ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆ ∑ . Gọi i d là đường kính tương ứng của miền nhỏ i V ∆ . Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n d ≤ ≤ → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm i M thì I được gọi là tích phân bội ba của hàm số f(x,y,z) lấy trong miền V. Tức là: 1 lim ( , , ) n i i i i n i I f x y z V →∞ = = ∆ ∑ . Kí hiệu: ( , , ) V I f x y z dV = ∫∫∫ . e. Tích phân đường loại một Cho hàm số ( ) ( , )f M f x y= xác định trên một cung phẳng » AB . Chia cung » AB thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia 0 1 , , , n A A A A B = = (hình 1.4). Gọi độ dài của cung ¼ 1i i A A − là i s ∆ .Trên cung ¼ 1i i A A − lấy một điểm tuỳ ý ( , ), 1, i i i M x y i n = . Lập tổng 1 ( , ) n n i i i i I f x y s = = ∆ ∑ . Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n s ≤ ≤ ∆ → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia cung » AB và cách chọn điểm i M thì I được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x,y) dọc theo cung » AB . Tức là: 1 lim ( , ) n i i i n i I f x y s →∞ = = ∆ ∑ . Kí hiệu: » ( , ) AB I f x y ds= ∫ . 5 f. Tích phân đường loại hai Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên cung » AB . Chia cung » AB thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia 0 1 , , , n A A A A B = = . Gọi hình chiếu của vectơ 1i i A A − uuuuur lên hai trục Ox và Oy lần lượt là i x ∆ , i y ∆ . Trên cung ¼ 1i i A A − lấy một điểm tuỳ ý ( , ), 1, i i i M x y i n = . Lập tổng 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i I P x y x Q x y y = = ∆ + ∆ ∑ . Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n x ≤ ≤ ∆ → , 1 max 0 i i n y ≤ ≤ ∆ → mà n I có giới hạn (hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia cung » AB và cách chọn điểm i M thì I được gọi là tích phân đường loại hai của hàm số f(x,y) dọc theo cung » AB . Tức là: 1 lim ( , ) ( , ) n i i i i i i n i I P x y x Q x y y →∞ = = ∆ + ∆ ∑ . Kí hiệu: » ( , ) ( , ) AB I P x y dx Q x y dy= + ∫ . g. Tích phân mặt loại một Cho hàm số ( ) ( , , )f M f x y z= xác định trên mặt cong S. Chia S thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó lần lượt là 1 2 , , , n S S S ∆ ∆ ∆ . Trong mỗi mảnh nhỏ i S ∆ lấy một điểm tuỳ ý ( , , ), 1, i i i i M x y z i n = . Lập tổng 1 ( , , ) n n i i i i i I f x y z s = = ∆ ∑ . Gọi d i là đường kính của mảnh thứ i. Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n d ≤ ≤ → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm 6 i M thì I được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x,y,z) trên mặt S. Tức là: 1 lim ( , , ) n i i i i n i I f x y z s →∞ = = ∆ ∑ Kí hiệu: ( , , ) S I f x y z dS = ∫∫ . h. Tích phân mặt loại hai Cho các hàm số: ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z xác định trên mặt định hướng S. Chia S thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó lần lượt là 1 2 , , , n S S S ∆ ∆ ∆ . Trong mỗi mảnh nhỏ i S ∆ lấy một điểm tuỳ ý ( , , ), 1, i i i i M x y z i n = . Gọi , , i i i α β γ lần lượt là góc giữa vectơ pháp tuyến của S tại điểm M i với các trục Ox, Oy, Oz. Gọi d i là đường kính của mảnh thứ i. Lập tổng: [ ] 1 ( )cos ( )cos ( )cos n n i i i i i i i i I P M Q M R M s α β γ = = + + ∆ ∑ . Nếu khi n → ∞ sao cho 1 max 0 i i n d ≤ ≤ → mà n I có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm i M thì I được gọi là tích phân mặt loại hai của hàm số ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z trên mặt S (hình 2. 5). Tức là: [ ] 1 lim ( )cos ( )cos ( )cos n i i i i i i i n i I P M Q M R M s α β γ →∞ = = + + ∆ ∑ Kí hiệu: [ ] ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos S I P x y z Q x y z R x y z dS α β γ = + + ∫∫ . 7 Hoặc S I Pdydz Qdzdx Rdxdy = + + ∫∫ . 2.1.2 Một số tích chất đơn giản của tích phân a. Tính chất 1: .)()()]()([ .)()(. ∫ ∫∫ ∫∫ ±=± = b a b a b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf dxxfcdxxfc b. Tính chất 2: Nếu f (x) khả tích trên đoạn [a, b] thì ),( bac∈∀ ta có: .)()()( ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf c. Tính chất 3: - Nếu ],[,0)( baxxf ∈∀≥ thì .0)( ≥ ∫ b a dxxf - Nếu ],[),()( baxxgxf ∈∀≤ thì .)()( ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf - Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì )(xf cũng khả tích trên đoạn [a, b] và .)()( ∫∫ ≥ b a b a dxxfdxxf - Nếu f(x) bị chăn trên đoạn [a, b], tức là ],[,)( baxMxfm ∈∀≤≤ thì ).()()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ * Chó ý: Các tích phân còn lại có các tính chất giống nh tích phân xác định. 8 2. 2. Một số vấn đề thường gặp khi học toán tích phân 2.2.1. Các dạng bài toán tích phân thường gặp Trong chương trình toán cao cấp sinh viên thường gặp các dạng tích phân xác định của hàm hữu tỉ, hàm vô tỉ và hàm lượng giác; tính tích phân suy rộng trong trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn hoặc hàm số lấy tích phân không bị chặn; tính tích phân bội trên miền bị chặn bất kì; tính tích phân trên một đường cong bất kì hoặc định hướng, mặt cong bất kì hoặc định hướng… Muốn làm được các bài toán này các em phải chọn đúng phương pháp để đưa tích phân đã cho về tổng các tích phân cơ bản đã biết. Đối với các tích phân bội cần phải xác định đúng các cận lấy tích phân khi đưa về tích phân xác định… 2.2.2. Một số phương pháp cơ bản tính tích phân a. Tích phân xác định • Phương pháp phân tích Dùng các phép biến đổi đại số, biến đổi lượng giác để đưa hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng các hàm số đơn giản để áp dụng công thức cơ bản. Ta thường gặp công thức: .)( 1 )()( 1 )( β α β α β α baxF a baxdbaxf a dxbaxf +=++=+ ∫∫ • Phương pháp đổi biến 9 - Nếu đặt )(tx ϕ = , trong đó )(t ϕ khả vi trong ],[ βα và ba == )(;)( βϕαϕ thì .)()]([)( ∫∫ ′ = β α ϕϕ dtttfdxxf b a - Nếu đặt )(xt ϕ = , trong đó )(x ϕ khả vi trong ],[ ba . Khi đó dttgdxxf )()( = và ba == )(;)( βϕαϕ thì .)()( )( )( ∫∫ = b a b a dttgdxxf ϕ ϕ + Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng ∫ − dxxa 22 ta đặt xax sin = hoặc xax cos= . ∫ − dxax 22 ta đặt t a cos · = . ∫ + dxax 22 ta đặt atgtx = . • Phương pháp tính tích phân từng phần . ∫∫ −= b a b a vduuvudv + Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng - ∫∫ ∫ axdxxPaxdxxPdxaxP x cos)(;sin)(;)( α ta đặt )(xPu = , dv là phần còn lại. - dxxxP a ∫ log)( ta đặt xu a log = , dv là phần còn lại. - ∫∫ xdxaxdxa xx ββ αα cos;sin đặt tuỳ ý nhưng phải lấy tích phân hai lần và thống nhất cách đặt trong cả hai lần. b. Tích phân kép • Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có cạnh song song với các trục tọa độ 10 [...]... sức hấp dẫn và động lực đối với sinh viên khi học toán tích phân Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán cũng như các môn học khác.Trong khuôn khổ của đề tài tôi trình bày vê ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích 4.2 Một số khó khăn của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân 4.2.1 Một sè sai sót của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân Khi tính tích phân xác định,... sai sót của sinh viên khi học toán tích phân Chưa nắm vững kiến thức cơ bản Khi áp dụng các định lí và các phương pháp tính tích phân còn thụ động Khả năng phân tích, tổng hợp các dạng bài toán còn hạn chế Chưa xác định rõ động cơ học tập 4.3 Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích 4.3.1 Tính độ dài cung đường cong • Tính độ dài cung đường cong bằng tích phân xác định Cho đường cong có phương... sinh viên khi làm bài toán tích phân - Ứng dụng tích phân vào tính thể tích và diện tích 3.3 Phương pháp nghiên cứu Thống kê quả học tập phần tích phân, đặc biệt là các lỗi, sai sót của sinh viên Trên cơ sở đó hệ thống hoá kiến thức tính phân cũng nh những ứng dụng của nó và kiểm nghiệm trong giảng dạy 16 PHẦN IV Kết quả nghiên cứu 4.1 Thực trạng về giải các bài toán tích phân của sinh viên khi thực... − ∫∫ R[ x, y, z ( x, y )]dxdy S D nếu (n, Oz ) > 90 0 Áp dụng tương tự cho các thành phần còn lại của tích phân mặt loại hai 14 15 PHẦN III nội dung và phương pháp nghiên cứu 3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán tính diện tích và thể tích Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân với sinh viên K38, 39, 40 ngành Công nghiệp Nông thôn... CNNT, môn toán cao cấp được phân phối thành 6 tín chỉ, trong đó các phép toán tích phân chiếm 1/2 khối lượng của học phần Toán Cao cấp 2 Sinh viên được trang bị các kiến thức cơ bản và cách tính tích phân xác định, tích phân kép, tích phân bội ba, tích phân đường, tích phân mặt cùng với các ứng dụng của nó Song do thời lượng dành cho mỗi phép toán là hạn chế nên chủ yếu phần ứng dụng sinh viên phải tự đọc... trong hệ toạ độ cực - Nếu miền D có tính chất đối xứng thì chỉ cần tính thể tích của một phần rồi suy ra toàn thể - Có trường hợp phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ để tính rồi cộng lại Ví dô 1: Tính thể tích giới hạn bởi mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 và mặt trụ x 2 + y 2 − 2ay = 0 ( hình 3 24) Giải : Do tính chất đối xứng của miền nên ta chỉ cần tính 1 4 thể tích cần tìm nằm trong phần tám thứ... 4.3.4 Tính thể tích vật thể • Tính thể tích vật thể bằng tích phân xác định - Nếu vật thể là tròn xoay sinh bởi hình thang cong có phương trình y = f ( x), y = 0, x = a, x = b (hình 3 20) trong đó f ( x) liên tục, đơn trị trên đoạn [a,b] khi quay xung quanh trục Ox là: b V = ∫ f 2 ( x)dx a - Nếu vật thÓ là bất kì với thiết diện sinh bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x( a ≤ x ≤ b )đã biết có diện tích. .. khi đó ứng dụng của tích phân lại rất rộng, không chỉ trực tiếp trong toán học mà còn ở rất nhiều môn khoa học kĩ thuật khác nh: Tính giới hạn của dãy số, xét sự hội tụ của chuỗi số dương … trong đại số Tính độ dài đường cong, diện tích hình phẳng, mặt cong, thể tích vật thể … trong hình học Tính kì vọng, phương sai … của các biến ngẫu nhiên liên tục trong xác suất thống kê Tính khối lượng vật thể, trọng... diện tích của elip 2 + 2 = 1 được tính bởi công thức S = π ab nên thiết a b  x2  diện trên có diện tích là: S ( x) = π bc 1 − 2   a  Do đó thể tích của elipxôit là: a  x2  2π bc V = ∫ S ( x )dx = π bc ∫ 1 − 2 ÷dx = 2 ∫ (a 2 − x 2 )dx a  a 0 −a −a  a a a 2π bc  2 x3  4 = 2  a x − ÷ = π abc a  30 3 • Tính thể tích vật thể bằng tích phân kép - Nếu vật thể là hình trụ cong giới hạn phía... trình bày ở trên ta thấn để tính diện tích hình phẳng ta có thể sử dụng nhiều dạng tích phân khác nhau Ví dô: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ax = y 2 , a > 0 (hình 3 16)  ay = x 2  Giải: Giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình x = 0 x2 = ax ⇔ x 4 = a 3 x ⇔  a x = a Vậy giao điểm của hai đường cong là: O(0, 0) và A(a, a) 1 Nếu dùng tích phân xác định: 1 2 a  x  . là khả năng ứng dụng tích phân vào lĩnh hội kiến thức chuyên môn có toán tích phân của sinh viên còn nhiều hạn chế. Vì lẽ đó đề tài “ Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích ” là cần. tích phân để tính diện tích và thể tích. 4.2. Một số khó khăn của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân 4.2.1. Một sè sai sót của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân Khi tính tích. của sinh viên khi làm bài toán tích phân. - Ứng dụng tích phân vào tính thể tích và diện tích. 3.3. Phương pháp nghiên cứu Thống kê quả học tập phần tích phân, đặc biệt là các lỗi, sai sót của