ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi 23/10/2014 Câu 1 (2,5 điểm). Cho dãy số thực ( ) n x xác định bởi 1 3x = và 1 21 2 6 n n x x + = + + với mọi 1,2, n = Chứng minh rằng dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn . Tính giới hạn đó. Câu 2 (1,5 điểm). Chứng minh rằng nếu , , 0a b c > , thì 5 6 7 5 6 7 5 6 7 18 ab bc ca a b c a b c b c a c a b + + + + ≤ + + + + + + . Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ) ,x y với ,x y nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình ( ) 3 3 2 x x y y− = − . Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( )τ tâm O và ,AB CD là hai đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến với đường tròn ( )τ tại B cắt AC tại .P Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng DP với đường tròn ( ).τ Gọi I là trung điểm của .AP Chứng minh rằng a) Các điểm , , ,O B C I cùng nằm trên một đường tròn b) Ba đường thẳng , ,AG BC OP đồng qui. Câu 5 (1,0 điểm). Tập hợp M có các phần tử là số thực được gọi là "Đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau đây. ) a Với mỗi , ,x y M x y∈ ≠ thí các số x y + và .x y đều khác không và có đúng một số trong chúng là số hữu tỷ. ) b Với mỗi 2 ,x M x∈ là số vô tỷ. Một tập hợp "Đặc biệt"có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? Bạn hãy lấy ra một ví dụ minh họa. ………. Hết………. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh…………………. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung Điểm Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được 3 1,2, n x n≥ ∀ = 0,25 Ta có 1 2 1 3, 21 2 6 21 4 5x x x= = + + ≤ + = Giả sử 5 n x ≤ . Khi đó 1 21 2 6 21 4 5 n n x x + = + + ≤ + = theo nguyên lý quy nạp suy ra * 5, n x n≤ ∀ ∈¥ . Tóm lại ta đã chứng minh được 3 5, 1,2, n x n≤ ≤ ∀ = ( ) 1 0,5 Ta có 1 2 .x x< . Giả sử 1 . n n x x − < khi đó ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 21 2 6 21 2 6 2 6 2 6 0 n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x − − + + + + + + + − + + + − + − − = = = > + + + Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng. 0, 5 Dãy ( ) n x tăng và bị chặn trên do đó dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt lim n L →+∞ = 0,25 3 5L ≤ ≤ . Từ 1 21 2 6, 1, 2, n n x x n + = + + ∀ = cho n → +∞ ta được 0,5 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC ( ) 21 2 6 . 2L L= + + Với điều kiện 3 5L≤ ≤ ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 2 6 25 4 2 6 0L l L l⇔ = + + ⇔ − + − + = ( ) ( ) 2 10 2 2 25 0 5 5 0 4 2 6 4 2 6 L L L L L L −   ⇔ − + = ⇔ − + + − =   + + + +   ( ) 3 Dễ thấy 2 5 0 3 5 4 2 6 L L L + − > ∀ ≤ ≤ + + . Vậy phương trình ( ) 3 có nghiệm duy nhất 5L = . Từ đó lim 5 n n x →+∞ = Kết luận: dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn và và lim 5 n n x →+∞ = 0, 5 Câu 2. (1,5 điểm) Nội dung Điểm Ta chứng minh cho bài toán tổng quát , 0, 0 2 2 ab bc ca a b c p p m n ma nb pc mb nc pa mc na pb m n p + +   + + ≤ > > > >  ÷ + + + + + + + +   (ở bài toán này thì 5, 6, 7m n p= = = ) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 p p m n p p ab m n p ab p p p p ma nb pc m a n b c a b c       − + − + +  ÷  ÷   + +       = + +     − + − + + + +  ÷  ÷     0,25 2 2 2 2 p p m n p p ab a b c a b c   − −  ÷ ≤ + + +  ÷ + +  ÷   2 2 2 2 p p pab pab m a n b c a b c     = − + − + +  ÷  ÷ + +     ( ) 1 0,25 Tương tự ( ) 2 2 2 2 2 m n p p p pbc pbc bc m b n c mb nc pa a b c a + +     ≤ − + − + +  ÷  ÷ + + + +     ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 m n p p p pca pca ca m c n a mc na pb a b b c + +     ≤ − + − + +  ÷  ÷ + + + +     ( ) 3 0,25 Từ ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 suy ra ( ) 2 ab bc ca m n p ma nb pc mb nc pa mc na pb   + + + +  ÷ + + + + + +   0,25 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 3 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC ( ) ( ) ( ) 2 2 2 p p m a b c n a b c p a b c     ≤ − + + + − + + + + +  ÷  ÷     ( ) ( ) m n p a b c= + + + + ab bc ca a b c ma nb pc mb nc pa mc na pb m n p + + ⇒ + + ≤ + + + + + + + + Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= = 0,25 Câu 3. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Áp dụng đẳng thức ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − − .Từ giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 . 3 . . 2x x y x y x x y x x y x x xy yx x x y x y⇔ + + − = − ⇔ + − + + − + + + − = − 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 *x y x y xy x y⇔ − + + − = ( ) 2 3 2 2 3 2 6 2 3 2 x y x y x y x x y x x y  −  ⇒ ⇒ −  − −   ,mặt khác ( ) ( ) 3 2 ,6 2 ,6x y x x y− = − ( do ( ) ( ) ( ) 3 , 1 2 , 1 2 , 1x y x y x x y x= ⇒ − = ⇒ − = ) { } 2 1,2,3,6x y− ∈ ( do từ ( ) * * 2x y− ∈¥ ) 0, 5 Trường hợp 1. 2 1 2 1x y y x− = ⇔ = − thay vào phương trình đã cho ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2 1 6 1 0 1 1x x x x x x x y− = − − − ⇔ − = ⇒ = ⇒ = 0,25 Trường hợp 2. . 2 2 2 2x y y x− = ⇔ = − thay vào phương trình đã cho ta được ( ) ( ) 2 1 3 1 0 1 0x x x x y− − + = ⇒ = ⇒ = ( loại ) 0,25 Trường hợp 3. . 2 3 2 3x y y x− = ⇔ = − thay vào phương trình đã cho ta được ( ) 3 1 4 0 4 5x x x y− − = ⇒ = ⇒ = 0,25 Trường hợp 4 . 2 6 2 6x y y x− = ⇔ = − thay vào phương trình đã cho ta được 3 2 12 36 35 0x x x− + − = do { } , 3, 35 5,7,35y x x x + ∈ > ⇒ ∈Z thử lại không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy các cặp ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 , 1 à , 4 , 5x y v x y= = 0,25 Câu 4. (3,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Ta có BPOI // nên .90 0 =∠=∠ OBPIOB Mà 0 90=∠BCI suy ra 4 điểm ICBO ,,, nằm trên đường tròn )( ω đường kính .BI 1,0 b) (1,0 điểm). Gọi 'I là trung điểm của .PC Ta có DPOI //' nên ).1(' CDGCOI ∠=∠ Mà ).2(CAGCDG ∠=∠ Tam giác CGP vuông tại G có CPCIGI 2 1 '' == suy r '' OGIOCI ∆=∆ (c.c.c), do đó ).3('' OGICOI ∠=∠ 0,5 Từ (1),(2),(3) ta có OGICAG '∠=∠ suy ra 4 điểm GOAI ,,,' nằm trên một đường tròn ).'( ω Ta có 0 )'/()/( =℘=℘ ωω OO 0,5 Hơn nữa )'/()/( '.'2. 2 1 . ωω PP PIPAPIPAPCPI ℘====℘ suy ra OP là trục đẳng phương của hai đường tròn )( ω và ).'( ω 0,5 AG là trục đẳng phương của hai đường tròn )( τ và ).'( ω BC là trục đẳng phương của hai đường tròn )( τ và ).( ω Vậy ba đường thẳng OPBCAG ,, đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba đường tròn ),( τ )( ω và ).'( ω 0,5 Câu 5. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta chứng minh tập “ Đặc biệt” M có nhiều nhất bốn phần tử { } 2 1, 2 1, 2 2, 2 2M = − + − − − 0,25 Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt M là tập hợp có các phần tử là số http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC vô tỉ. Ta có các nhận xét sau Nhận xét 1. Nếu , ,x y z là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số , ,x y y z z x+ + + không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có ( ) 2 x y z x y z x+ + ∈ ⇒ + + ∈ ⇒ ∈¤ ¤ ¤ Vô lý ( từ đ/k số 2) 0,25 Nhận xét 2. Nếu , ,x y z là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số , ,xy yz zx không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có ( ) ( ) 2 àx yz xy xz v yz= ∈ ∈¤ ¤ 2 x⇒ ∈¤ Vô lý ( từ đ/k số 2) Nhận xét 3. Nếu ,x y M xy∈ ⇒ ∈¤ , với mỗi , àz M x z v y z∈ + ∈ + ∈¤ ¤ . Ngược lại theo nhận xét 1 và 2 ở trên thì ta có àx z v yz+ ∈ ∈¤ ¤ hoặc à .y z v yz+ ∈ ∈¤ ¤ , với trường hợp đầu do ( ) àxy v yz xy yz y x z∈ ∈ ⇒ + = + ∈¤ ¤ ¤ vì 0,x z y+ ≠ ∈¤ vô lí trường hợp hai tương tự 0,25 Giả sử rằng tồn tại tập “ đặc biệt” có 5 phần tử là , , , ,a b c d e theo nhận xét 1 ta có ít nhât hai phần tử có tổng là số vô tỉ chẳng hạn là àa v b .Cho nên ab∈¤ theo nhận xét 3 thì , ,a c a d a e+ + + là các số hữu tỷ. Vì thế cho nên theo nhận xét 1 các số , ,c d c e d e+ + + không đồng thời là số hữu tỷ và theo các khẳng định trên thì tất cả ba số , ,cd ce de là số hữu tỷ vô lý với nhận xét 2 0,25 ……. Hết………. ĐỀ CHÍNH THỨC THAY BỞI CÁC CÂU SAU Câu 1.Cho hai dãy số ( ) ( ) , n n x y xác định bởi 1 1 1 1 3, 2 2 3 , 2 , 1,2, n n n n n n x y x x y y x y n + + = =   = + = + =  Với mỗi số nguyên dương ,đặt n n n x z y = . Chứng minh rằng dãy ( ) n x hội tụ và tìm giới hạn đó http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 6 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ) ,p q sao cho 7 1p + chia hết cho q và 7 1q + chia hết cho p . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). a) Tìm tập xác định của hàm số ( ) 2014 2015cot 1 sin f x x x = + − . b) Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 sin cos 2sin sin 2 3 sin 4 3 2 x x x x x+ + = + − . Câu 2 (1,0 điểm). Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng 1 2 3 4 5 6 a a a a a a . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn 1 2 3 4 5 6 .a a a a a a> > > > > Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số của 4 x trong khai triển Niu – tơn của biểu thức ( ) 2 2 , 0 n x x x   + ≠  ÷   , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: ( ) 1 2 3 2 3 4 1 111 n n n n n C C C n C+ + + + + = . Câu 4 (1,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u được xác định bởi: 1 1 1, , 1,2,3, 1 n n n u u u n u + = = = + Tính: ( ) ( ) ( ) 1 2 2014 1 1 1 lim 2015 n u u u n + + + . Câu 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm dương: 5 2014 2015 0x x− − = . Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông, nội tiếp trong đường tròn (I). Kẻ đường kính AM của đường tròn (I). http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 7 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Đường thẳng ∆ đi qua đỉnh A, vuông góc với BC và ∆ cắt đường tròn (I) tại điểm N (N khác A). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng ( ) ( ) 5;3 , 4;4M N , đường thẳng BC đi qua điểm ( ) 4;2P , đường thẳng AC đi qua điểm 3 5 ; 2 2 Q    ÷   và hoành độ điểm B lớn hơn 3. Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, ,SA SC SB SD= = . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC. Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng AD, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao điểm của AC và BD). Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC = = , · 0 60ASB = , · 0 90BSC = , · 0 120ASC = . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông góc với mặt phẳng (SBC). Câu 9 (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương ,a b ta có bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1a b a b a b ab+ − ≥ + − . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 8 (Đáp án có 05 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) a.(1,0 điểm) Hàm số ( ) f x xác định khi và chỉ khi 1 sin 0 sin 1 sin 0 sin 0 x x x x − ≠ ≠   ⇔   ≠ ≠   0,5 2 2 x k x k π π π  ≠ +  ⇔   ≠  ( ) 2 2 2 2 x k x k k x k x k π π π π π π   ≠ + ≠ +   ⇔ ⇔ ∈     ≠ ≠   ¢ 0,25 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \ 2 , 2 S k k k π π π   = + ∈     ¢¡ 0,25 b.(1,0 điểm) ( ) ( ) 2 2 sin cos 2sin sin 2 3 sin 4 3 2 x x x x x+ + = + − 2 1 2sin cos 1 cos 2 3 sin 4sin 3 sinx x x x x x⇔ + + − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 4sin 2sin cos cos 2 3sin 3sinx x x x x x⇔ − + − = − 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 2sin 1 3sin 2sin 1x x x x x⇔ − + − = − ( ) ( ) 2sin 1 3 sin cos 2 0x x x⇔ − − + = 2sin 1 0 3 sin cos 2 0 x x x − =  ⇔  − + =  0,25 +) 3 1 3 sin cos 2 0 sin cos 1 sin 1 2 2 6 x x x x x π   − + = ⇔ − = − ⇔ − = −  ÷   2 2 , 6 2 3 x k x k k π π π π π ⇔ − = − + ⇔ = − + ∈¢ . 0,25 +) ( ) 2 1 6 2sin 1 0 sin 5 2 2 6 x k x x k x k π π π π  = +  − = ⇔ = ⇔ ∈   = +   ¢ . Vậy phương trình đã cho có nghiệm ( ) 5 2 , 2 , 2 3 6 6 x k x k x k k π π π π π π = − + = + = + ∈¢ 0,25 2 (1,0 điểm) Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn 1 2 3 4 5 6 a a a a a a> > > > > ”. Khi đó: ( ) 5 9 9.n M A= (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì 1 a có chín cách chọn, 2 3 4 5 6 a a a a a là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có 5 9 A ). 0,25 TH1: 6 0a = thì 1 2 3 4 5 a a a a a có 5 9 C cách chọn. TH2: 6 2a = thì 1 2 3 4 5 a a a a a có 5 7 C cách chọn. TH3: 6 4a = thì 1 2 3 4 5 a a a a a có 5 5 C cách chọn. 0,5 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC ( ) 5 5 5 9 7 5 148n A C C C= + + = Do đó ( ) ( ) ( ) 5 9 148 37 9. 34020 n A P A n A = = = Ω . 0,25 3 (1,0 điểm) Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 ! ! . ! ! 1 ! ! k k k k n n n n n n n kC k nC kC nC k n k k n k − − − − − = = = ⇒ = − − − . 0,25 Ta có ( ) 1 2 3 2 3 4 1 111 n n n n n C C C n C+ + + + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 111 n n n n n n n n n n C C C nC C C C C⇔ + + + + + + + + + = ( ) 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 111 n n n n n n nC nC nC nC − − − − − ⇔ + + + + + + − = ( ) 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 111 n n n n n n n C C C C − − − − − ⇔ + + + + + − = 1 .2 2 112 n n n − ⇔ + = (1). +) Nếu 1 4 5 5 .2 2 5.2 2 112 n n n n − > ⇒ + > + = vô lí. +) Nếu 1 4 5 5 .2 2 5.2 2 112 n n n n − < ⇒ + < + = vô lí. Do đó 5n = . 0,5 Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có: ( ) 5 5 5 5 2 2 10 3 5 5 0 0 2 2 2 k k k k k k k k x C x C x x x − − = =     + = =  ÷  ÷     ∑ ∑ Hệ số của 4 x ứng với 10 3 4 2k k − = ⇔ = . Do đó hệ số của 4 x là: 2 2 5 2 40.C = 0,25 4 (1,0 điểm) Do 1 0 0, * n u u n> ⇒ > ∀ ∈ ¥ . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n u u u u u u n + + = ⇔ − = ⇒ = + , 1,2, n = 0,5 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 1 2 n n u u u n n n +      + + + = + + + = = +  ÷ ÷  ÷      0,25 Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2014 1 2014 1 1 1 2014 1 2014 lim lim lim 2015 2015 2015 2015 n u u u n n n n   +  ÷ + + + +   = = = Vậy ( ) ( ) ( ) 1 2 2014 1 1 1 2014 lim 2015 2015 n u u u n + + + = . 0,25 5 (1,0 điểm) Đặt ( ) 5 2014 2015f x x x= − − . Tập xác định ( ) D f x= ⇒¡ liên tục trên ¡ . 0,25 Ta có ( ) ( ) 5 0 2015, 8 8 2014.8 2015 14641f f= − = − − = suy ra ( ) ( ) 0 8 0f f < . 0,5 Do đó phương trình 5 2014 2015 0x x− − = có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( ) 0;8 . 0,25 6 (1,0 điểm) Do · 0 90ANM AN MN= ⇒ ⊥ , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là ( ) 1;1MN = − uuuur . Do đó phương 0,25 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 10 [...]... b = 1 Hết http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 13 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm 4 câu) Câu 1 a) Giải phương trình: x 2 − 7 x + 10 = 2 x − 2  x 2 − y 2 − 2 x... 2 + zx + x 2 + 4 zx + 1 4 xy + 1 Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay - Giám thị không được giải thích gì thêm http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 14 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………… Số báo danh :………………………………………………………………… Hết ... nên SH vuông góc với AC, BH = 1 a 3 a AC = , SH = SA2 − HA2 = ⇒ SB 2 = SH 2 + HB 2 ⇒ SH vuông góc với 2 2 2 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 12 0,25 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC BH suy ra SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) H, K là trung điểm CA, CB suy ra HK||AB ⇒ HK ⊥ BC (1) Mặt khác SH vuông góc (ABC) suy ra SH ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ ( SHK...ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC x−4 y−2 = ⇔ x+ y−6 = 0 −1 1 uuuu r AH vuông góc với MN nên AH có vtpt là MN = ( −1;1) suy ra phương trình trình đường thẳng BC : đường thẳng AH: −1( x − 4 ) + 1( y − 4 ) = 0... là B ( 5;1) , C ( 2; 4 ) , A ( 1;1) (A là giao của đường thẳng AH và 2 AC) A H I B K P E C M N 7 Q (1,0 điểm) http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 11 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với AC Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD Do đó SO vuông góc với (ABCD) . http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 13 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời. đó http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 6 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ) ,p q sao cho 7 1p + chia hết cho q và 7 1q + chia hết cho p . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ. Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh…………………. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH