Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cụm Sơn Động tỉnh Bắc Giang năm học 2012201

ĐỀ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (3,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 4 3 4 1 3 ( 1)( 2 ) 1 2 2( 1) y xy y x y y x y y x y x                   2. Xét phương trình bậc hai 2 0ax bx c   có hai nghiệm thuộc đoạn   0;2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 8 6 4 2 a ab b P a ab ac      Câu II (1,5 điểm). Cho dãy số   n x xá định như sau:         1 1 1 1,2,3 1 2 3 1 n n n n n x n x x x x x              Đặt   1 1 1,2,3 2 n n i i y n x      . Tính lim n x y  Câu III (1,5 điểm). Cho hai số nguyên tố ,p q thoả mãn 2p q  . Tìm tất cả các số nguyên k sao cho phương trình   2 px qy kxyz  có nghiệm nguyên   ; ;x y z thoả mãn 0xyz  . Câu IV (2,5 điểm). Cho hai đường tròn     1 2 ,O O không bằng nhau và tiếp xúc ngoài tại T. Kẻ 1 O A tiếp xúc với   2 O tại A; 2 O B tiếp xúc   1 O tại B sao cho các điểm A, B cùng nằm về một phía với đường thẳng bờ 1 2 OO . Lấy điểm H thuộc 1 O A và điểm K thuộc 2 O B sao cho BH và AK cùng vuông góc với 1 2 OO . TH cắt   1 O lần nữa tại E, TK cắt   2 O lần nữa tại F. Gọi S là giao của AB và EF. Chứng minh ba đường thẳng 1 O A , 2 O B và TS đồng quy. Câu V (1,5 điểm). Cho hàm số   f x xác định trên   0;1 thoả mãn     0 0, 1 1f f  ,     2 6 5 3 x y f f x f y          với   ; , 0;1x y x y  . Tính 8 23 f       . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………