Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cụm Sơn Động tỉnh Bắc Giang năm học 2012201

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT Chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,5 điểm). 1. Giải hệ phương trình   2 2 2 3 3 3 4 14 , , 34 x y z x y z x y z x y z                 2. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực, nhận giá trị trong tập số thực và thỏa mãn ( ) ( ) y xf y yf x f x         với mọi số thực x, y , 0.x  Câu 2 (1,5 điểm). Cho trước số thực (0;1).a Cho dãy số 1 ( ) n n x  bị chặn và thỏa mãn 2 1 (1 ) , 1. n n n x a x ax n        Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB AC nội tiếp trong đường tròn ( )O . Các tiếp tuyến tại B và C của ( )O cắt nhau tại T , đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X . Gọi Y là điểm đối xứng với X qua điểm O . Các đường thẳng YB, XC cắt nhau tại P , các đường thẳng XB, YC cắt nhau tại Q . 1. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. 2. Chứng minh rằng các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy. Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( ; ; )x y z thỏa mãn 5 1 2 x y z y z x     Câu 5 (1,0 điểm). Một vòng tròn được chia thành k cung, được đánh số từ 1 đến k như trong hình vẽ. Ban đầu tại mỗi cung đặt một viên bi. Mỗi lần dịch chuyển, người ta dịch chuyển hai viên bi, một viên theo chiều cùng chiều kim đồng hồ, một viên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa nó (hai viên bi được dịch chuyển không nhất thiết phải từ cùng một cung). Hỏi sau hữu hạn bước như vậy, có đưa được tất cả các viên bi về cùng một cung hay không? Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….……… ……… Số báo danh…………………… k 3 2 1