Tuyển tập đề thi đáp án môn toán ĐH

http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Giới thiệu Ban quản trị website Tuyensinhtructuyen.edu.vn Đã làm việc với thầy cô chuyên phụ trách công việc đề thi đại học hàng năm, giảng viên trường đại học, trung tâm gia sư uy tín, trung tâm gia sư thủ khoa, để sưu tầm, biên tập giới thiệu đến bạn học sinh tuyển tập đề thi, đại học, cao đẳng, tốt nghiệp mơn học Mong bạn có mùa thi đạt kết cao, ngồi chúng tơi cịn tư vấn miễn phí việc sau + Tư vấn chọn trường + Tư vấn chọn ngành + Cung cấp thông tin trường đại học, cao đẳng + Cung cấp điểm thi đại học sớm + Tư vấn tìm chỗ trọ cho thi sinh thi đại học (Tạm thời áp dụng Hà Nội) Trân trọng / http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề Số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x +1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = (C) x +1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2.Tìm đồ thị (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ 2 y − x =  Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 x − y = y − x  ( ) 6 2.Giải phương trình sau: sin x + cos x + 3 sin x = 3 cos x − sin x + 11 1 x+ ∫ ( x + − x )e x dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = Câu IV(1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) Biết thể khối tứ diện ABCD a 15 27 ( ) 2 Câu V (1,0 điểm) Với số thực x, y thỏa điều kiện x + y = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + y xy + II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a( 2,0 điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vng góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A;B cho AB = 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : x − y z +1 = = −6 −8 x −7 y−2 z = = Xét vị trí tương đối d1 d2 Cho hai điểm A(1;-1;2) B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa −6 12 độ điểm I đường thẳng d1 cho IA + IB đạt giá trị nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị d2 : biểu thức A = z1 + z2 ( z1 + z2 ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(-2;0) Xác định điểm B, C (biết xC >0) 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng qua M cắt ba tia Ox A, Oy B, Oz C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ  x + log y = y log + log x Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x log 72 + log x = y + log y ……………Hết……………… Câu Ý Nội dung Điể m * TËp x¸c định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn tiệm cận: xlim y = xlim y = ; tiÖm cËn ngang: y = →+∞ →−∞ http://tuyensinhtructuyen.edu.vn lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiƯm cËn ®øng: x = - x ( 1) x ( 1) Bảng biến thiên > víi mäi x ≠ - Ta cã y ' = ( x + 1) Hµm số đồng biến khoảng (- ; -1) vµ ( -1; + ∞ ) 1đ x0 + x0 + Gọi A, B lần lợt hình chiếu M TCĐ TCN 0,5 - I Gọi M(x0;y0) điểm thuộc (C), (x0 ≠ - 1) th× y0 = MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | x0 + 1 - 2| = | | x0 + x0 + Theo Cauchy th× MA + MB ≥ x0 +1 =2 x0 + ⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng x0 = hc x0 = -2.Như vËy ta cã hai điểm cần tìm M(0;1) M(-2;3) 0,5 0,5 ( sin x + cos x ) = − sin 2 x (1) Thay (1) vào phơng trình (*) ta có : ( sin x + cos x ) + 3 sin x = 3cos x − 9sin x + 11 0,5   ⇔ 1 − sin 2 x ÷+ 3 sin x = 3cos x − 9sin x + 11   ⇔ 3 sin x − 3cos x = 6sin 2 x − 9sin x + ⇔ sin x − 3cos x = 2sin 2 x − 3sin x + A ⇔ 3cos x ( 2sin x − 1) = (2sin x − 1)(sin x − 1) II ⇔ ( 2sin x − 1) ( ) 3cos x − sin x + =  2sin x − =  2sin x = (2) ⇔ ⇔  3cos x − sin x + = sin x − 3cos x = (3) Gi¶i (2) : KÕt luËn : Π   x = 12 + k Π (k ∈ Z )   x = 5Π + k Π   12 ; Gi¶i (3) Π   x = + kΠ  B (k ∈ Z )  x = 7Π + k Π   12 H I A H B E C D http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định Hết http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề Số A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Câu II (2 điểm): π 2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos (2 x + ) Giải phương trình : Giải phương trình : log (5 − x) + log (5 − x).log x +1 (5 − x) = log (2 x − 5) + log (2 x + 1).log (5 − x) π tan( x − ) Câu III (1 điểm): Tính tích phân I = ∫ cos2x4 dx Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA=a Gọi M,N trung điểm SB SD;I giao điểm SC mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vng góc với AI tính thể tích khối chóp MBAI Câu V (1 điểm): Cho x,y,z ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3( x + y + z ) − xyz π B PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn hai phàn (phần 2) 1.Theo chương trình chuẩn: Câu VIa (2 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng ∆ : 3x − y + = Tìm ∆ hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = r Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = tiếp xúc với (S) Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số x khai triển Niutơn biểu thức : P = (1 + x + x )10 2.Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (2 điểm): x2 y2 + = hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm (E) điểm C có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = r Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = tiếp xúc với (S) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : Câu VIIb (1 điểm): Tìm số nguyên dương n cho thoả mãn 22 2n n 121 Cn + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu NỘI DUNG Ta có y = x − 6mx + 3(m − 1) Để hàm số có cực trị PT y , = có nghiệm phân biệt ⇔ x − 2mx + m − = có nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = > 0, ∀m Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m)  m = −3 + 2 Theo giả thiết ta có OA = 2OB ⇔ m + 6m + = ⇔   m = −3 − 2  Vậy có giá trị m m = −3 − 2 m = −3 + 2 π   PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin x) = 1 + cos(4x+ ) ÷   , I Điêm 05 025 025 05 ⇔ cos4x+ sin x + cos2x+ sin x = II π π ⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 6 π π  x=− +k  π 18 ⇔ 2sin(3 x + ).cosx=0 ⇔  π  x= + kπ   π π π Vậy PT có hai nghiệm x = + kπ x = − + k 18  −1  2, x ≠ (1) ⇔ log (x − 2) + log (2x − 1) − log = log (x + 1) x = − 7x = ⇔  ( x − ) ( x − 1) = ( x + 1) ⇔ x x =  π + kπ 0,5 0,25 0,25 0,5 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số lµ y = (m + 1) x + − m Các điểm cực đại, cực tiểu điểm I(0 ; 4) thẳng hàng ⇔ − m2 = ⇔ m = ±1 KL : m = Câu II Giải phương trình: log2 ( + x ) = log7 x Điều kiện: x > Đặt t = log7 x Û x = 7t 0.2 t ö t t t ổ ữ pt log2 ỗ1 + ÷= t Û + = 2t Û + = Û ç ÷ ç ÷ è ø t + ( ) ( ) t =1 (*) Chứng minh pt (*) có nghiệm t = Câu III x x x 2π Gi¶i phơng trình + sin sin x cos sin x = cos  −  2 4 2 x x π x  + sin sin x − cos sin x = cos  −  (1) 2  2 (1) ⇔ + sin x sin x − cos x sin x = + cos π − x  = + sin x   2 2  x x x x   x   x ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = ⇔ sin x sin − cos sin cos − 1 = 2 2     x x   x  ⇔ sin x sin − 1 sin + sin + 1 = 2     sin x =  x = kπ   x = kπ x ⇔ sin = ⇔ x π ⇔ ⇔ x = kπ  = + k 2π   x = π + k 4π 2  x x  2sin + 2sin + = 2 Giải bất phơng trình sau x − x + 15 ≤ x − 18 x + 18 − x + x − 15 (1) TX§ x ≥ 5, x ≤ −5, x = TH1 x = lµ nghiƯm cđa (1) TH2 x ≥ th× (1) ⇔ x − + x + ≤ x − ⇔ x ≤ 17 17 VËy BPT (1) cã nghiÖm ≤ x ≤ TH3 x ≤ −5 th× (1) ⇔ − x + −5 − x ≤ − x ⇔ x ≤ VËy BPT (1) cã nghiÖm x ≤ −5 Kl : TËp nghiÖm cđa bÊt pt lµ S = ( −∞; −5) ∪ { 3} ∪ (5; 0.2 0.2 0.2 Vậy phương trình có nghiệm x = 343 0.5 17 17 ) 0.2 0.5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Câu IV TÝnh tÝch ph©n: I= +I= dx ∫ x +1− dx ∫ x +1− 2x + ⇒ t = x + ⇒ tdt=dx x + §Ỉt t= x + 0.5 ⇒ t=2 x=4 t=3 tdt tdt ∫ t −1 +Khi ®ã I= = 2∫ 2 +1− t (t − 1) 3 t −1+1 dt ∫ (t − 1) dt = 2∫ (t − 1)dt + 2∫ (t − 1) 2 2 0.5 3 = ln t − − =2ln2+1 +VËy I= 2ln2+1 t −1 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nªn góc à H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA 0.2 a à H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, gãc · H =300 ⇒ A H = AA1 AA1 a Do tam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H = nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) +§ỉi cËn : x= Câu V A B C K A1 C1 111 H 111 KỴ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 B1 111 Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = A1 H AH a = AA1 PHẦN RIÊNG CHO MỖI CHƯƠNG TRÌNH Phần lời giải theo chương trình Chuẩn Cõu VIa Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = đờng thẳng d: x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam gi¸c 0.2 0.2 0.2 3.0 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ABC vuông Từ pt ct đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn AB AC => tứ giác ABIC hình vuông cạnh b»ng ⇒ IA = m −1  m = −5 ⇔ = ⇔ m −1 = ⇔  m = 0.5 0,5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng tr×nh  x = + 2t  LËp phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới y = t  z = + 3t  (P) lµ lớn Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiÕu cđa H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt A ≡ I VËy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến 0.5 H d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) H hình chiếu A d nªn AH ⊥ d ⇒ AH u = (u = (2;1;3) véc tơ phơng d) ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =  7x + y -5z -77 = CâuVII.a n+ n+ n+ 2n 2n Cho đẳng thức: C 2n + + C 2n +21 + C 2n +31 + + C 2n - + C 2n + = 28 - +1 10 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển n+ n+ n+ 2n 2n S = C 2n +11 + C 2n +21 + C 2n +31 + + C 2n - + C 2n + , +1 (1- x+ x - x ) n 0.5 ta có: n- n n+ n+ 2n 2n + (1 + 1)2n + = C 2n + + C1 + + C + + + C 2n + + C 2n + + ( C 2n + + C 2n +21 + + C 2n + ) + C 2n + 2n 2n 2n + 2n n+ n+ n+ Þ 22n + = ( C 2n + + C2n + ) + C2n + + C2n - + + C2n +21 + C 2n +11 + ( C 2n +11 + C n ++21 + + C 2n -+ + C2n + ) 2n + 2n 2n 2n 0.5 Þ 22n + = + 2S Þ 22n = + S Þ 22n = 28 Þ n = Þ (1- n 4 x + x - x ) = é - x) + x 3(1 - x) ù = ( - x ) ( + x ) (1 ê ú ë û = ( C - C1 x + C x - C x + C x ) ( C + C1 x + C x + C x + C x12 ) 4 4 4 4 4 0.5 Ta có hệ số x10 là: - C1 C + C C = - 10 4 Phần lời giải theo chương trình Nâng cao Câu VI.b CâuVII.b Giải bất phơng trình: (2 + 3) x x +1 + (2 − ) x − x −1 ≤ 2− 0.5 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ( Bpt ⇔ + ( ) x −2 x ) ( + 2− ) x −2 x ≤4 (t > 0) , ta ®ỵc: t + ≤ t t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t + (tm) Đặt t = + ( x −2 x ) Khi ®ã: − ≤ + x −2 x ≤ + ⇔ −1 ≤ x − x ≤ ⇔ x − 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + KL: 0.5 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề Số PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) 2x − x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Câu II (2 điểm) 17π x π ) + 16 = 3.s inx cos x + 20sin ( + ) 1) Giải phương trình sin(2x + 2 12 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x − x 3y + x 2y =  2) Giải hệ phương trình :  x y − x + xy = −1  Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = π ∫ tan x ln(cos x ) dx cos x Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A với AB = a, mặt bên tam giác cân đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính cơsin góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +b b +c c +a + + ≥3 ab + c bc + a ca + b PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) đường thẳng ∆ : 2x + 3y + = Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ cho đường thẳng AB ∆ hợp với góc 450 Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) x y +1 z x y −1 z − = = và hai đường thẳng (d ) : = (d ') : = −2 −3 Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó Câu VIII.a (1 điểm) Giải phương trình: log x (24x +1)2 x + logx (24x +1) x = log (24x +1) x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y = , đường thẳng (d ) : x + y + m = Tìm m để (C ) cắt (d ) tại A và B cho diện tích tam giác ABO lớn nhất Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = 0, (R): x + 2y – 3z + = x−2 y +1 z đường thẳng ∆ : = = Gọi ∆ giao tuyến (P) (Q) −2 Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) cắt hai đường thẳng ∆ , ∆ Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: logx( log3( 9x – 72 )) ≤ Hết http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Câu -ý 1.1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung *Tập xác định : D = ¡ \ { 1} *Tính y ' = −1 < ∀x ∈ D (x − 1) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) *Hàm số khơng có cực trị *Giới hạn Lim+ y = +∞ Lim− y = −∞ x →1 Lim y = x →+∞ 1.2 Điểm 0.25 0.25 0.25 x →1 Lim y = x →−∞ Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên *Vẽ đồ thị *Tiếp tuyến (C) điểm M (x ; f (x )) ∈ (C ) có phương trình y = f '(x )(x − x ) + f (x ) 2 Hay x + (x − 1) y − 2x + 2x − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) − 2x ⇔ = + (x − 1) 0.25 0.25 0.25 giải nghiệm x = x = *Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − = x + y − = 2.1 2.2 0.25 0.25 *Biến đổi phương trình cho tương đương với π c os2x − sin 2x + 10c os(x + ) + = π π ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + = π π ⇔ 2c os (x + ) + 5c os(x + ) + = 6 π π Giải c os(x + ) = − c os(x + ) = −2 (loại) 6 π π 5π + k 2π *Giải c os(x + ) = − nghiệm x = + k 2π x = − 2 (x − xy ) = − x y  *Biến đổi hệ tương đương với  x y − (x − xy ) = −1  2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 x − xy = u u = − v  *Đặt ẩn phụ  , ta hệ  x y = v v − u = −1  *Giải hệ nghiệm (u;v) (1;0) (-2;-3) 0.25 *Từ giải nghiệm (x;y) (1;0) (-1;0) *Đặt t=cosx π Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x = t = 0.25 0.25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Từ I = − ∫ ln t dt = t2 dt t2 1 Suy I = − ln t + t ∫ 1 ⇒ du = dt ; v = − t t *Đặt u = ln t ;dv = *Kết 1 ∫ t dt = − ln − t 1 2 I = −1− ln 2 *Vẽ hình *Gọi H trung điểm BC , chứng minh S H ⊥ (A B C ) *Xác định góc hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy S EH = S FH = 600 *Kẻ H K ⊥ S B , lập luận suy góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) H K A a a *Lập luận tính AC=AB=a , H A = , S H = H F tan 600 = 2 1 *Tam giác SHK vng H có = + ⇒ K H =a 2 HK HS HB 10 a AH 20 = = *Tam giác AHK vng H có tan A K H = KH 3 a 10 ⇒ cos A K H = 23 a +b 1−c 1−c = = *Biến đổi ab + c ab + − b − a (1 − a )(1 − b ) 1−c 1−b 1−a + + *Từ V T = (1 − a )(1 − b ) (1 − c )(1 − a ) (1 − c )(1 − b ) Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta V T ≥ 3 1−c 1−b 1−a =3 (đpcm) (1 − a )(1 − b ) (1 − c )(1 − a ) (1 − c )(1 − b ) Đẳng thức xảy a = b = c = 6.a 0.25 ln t dt t2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 u r x = − 3t * ∆ có phương trình tham số  có vtcp u = (−3; 2) y = −2 + 2t *A thuộc ∆ ⇒ A (1 − 3t ; −2 + 2t ) uuuu u rr uuuu u r r A B u 1 ⇔ u = r *Ta có (AB; ∆ )=450 ⇔ c os(A B ; u ) = 2 AB.u ⇔ 169t − 156t − 45 = ⇔ t = 0.25 15 ∨t = − 13 13 0.25 0.25 0.25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn 32 22 32 ; ), A ( ; − ) 13 13 13 13 uu r *(d) qua M (0; −1;0) có vtcp u = (1; −2; −3) uu r (d’) qua M (0;1; 4) có vtcp u = (1; 2;5) uu uu r r ur uuuuuuu r *Ta có u ; u  = ( −4; −8; 4) ≠ O , M 1M = (0; 2; 4)   uu uu uuuuuuu r r r Xét u ; u  M 1M = −16 + 14 =    (d) (d’) đồng phẳng u r *Gọi (P) mặt phẳng chứa (d) (d’) => (P) có vtpt n = (1; 2; −1) qua M1 nên có phương trình x + 2y − z + = *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ ta có đpcm *Điều kiện :x>0 *TH1 : xét x=1 nghiệm *TH2 : xét x ≠ , biến đổi phương trình tương đương với + = + logx (24x + 1) + logx (24x + 1) log x (24x + 1) Đặt logx (x + 1) = t , ta phương trình + = giải t=1 t=-2/3 + 2t + t t *Với t=1 ⇒ logx (x + 1) = phương trình vơ nghiệm *Với t=-2/3 ⇒ logx (x + 1) = − 3 ⇔ x (24x + 1) = (*) Nhận thấy x = nghiệm (*) Nếu x > VT(*)>1 1 Nếu x < VT(*) d có phương trình 12 = 12 = −3 x >  x *Điều kiện : log (9 − 72) > giải x > log 73  x 9 − 72 > Vì x > log 73 >1 nên bpt cho tương đương với log (9x − 72) ≤ x ⇔ 9x − 72 ≤ 3x  x 3 ≥ −8 ⇔ x ⇔x ≤2 3 ≤  *Kết luận tập nghiệm : T = (log 72; 2] 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề Số PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Câu II (2,0 điểm): = + + x − x2 x +1 + − x Giải phương trình: Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x e  ln x  + ln x ÷dx Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: I = ∫    x + ln x Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD S’.ABCD có chung đáy hình vng ABCD cạnh a Hai đỉnh S S’ nằm phía mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vng góc lên đáy trung điểm H AD trung điểm K BC Tính thể tích phần chung hai hình chóp, biết SH = S’K =h Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x9 + y y9 + z z + x9 + + 3 x6 + x3 y + y y + y3 z + z z + z x + x PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần(phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x + y + x − = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc với (C) A Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có phương trình  x = + 3t   y = −2t (t ∈ R)  z = + 2t  Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình tập số phức: z + z = B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Trong khơng gian với hệ toạ độ vng góc Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 x + y +1 = 3 x + y − z + = ( ∆)  ; (∆')  Chứng minh hai đường thẳng ( ∆ ) ( ∆ ' ) cắt x − y + z −1 = 2 x − y +1 = Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo ( ∆ ) ( ∆ ' )  x log + log y = y + log x Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình:   x log 12 + log x = y + log y Hết http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điể m I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) CâuI TXĐ: D = R\{-1} > ∀x ∈ D Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) => hs đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) , hs khơng có cực trị Giới hạn: lim y = 2, lim− y = +∞, lim+ y = −∞ x →±∞ x →−1 2.0 0.25 x →−1 => Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = BBT x -∞ -1 y’ + + +∞ y -∞ 0,25 +∞ 0.25 + Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành điểm ( 2;0 ) , trục tung điểm (0;-4) y f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 0.25 -5 Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng     Gọi điểm cần tìm A, B có A  a; − ÷; B  b; − ÷; a, b ≠ −1 a +1  b +1   a+b a−2 b−2 ; + Trung điểm I AB: I  ÷  a +1 b +1  Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= uuu uuuu r r   AB.MN = Có :   I ∈ MN  a =  A(0; −4) =>  =>  b =  B (2;0) CâuII đc pt: t - 2t - =  t=2 0.25 0.25 0,25 2.0 0,25 TXĐ: x ∈ [ −1;3] Đặt t= x + + − x , t > => 0.25 t2 − + 2x − x = 2 0,25 0,25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn  x = −1 (t / m) Với t =  x + + − x =2 ⇔  x = sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x TXĐ: D =R sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x sin x − cosx = ⇔ (sin x − cosx).[ + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = ⇔   + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = π + Với sin x − cosx = ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) + Với + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = , đặt t = sin x + cosx (t ∈  − 2;  )    t = −1 pt : t2 + 4t +3 = ⇔  t = −3(loai )  x = π + m2π (m ∈ Z ) t = -1 ⇒   x = − π + m2π  π   x = + kπ ( k ∈ Z )  (m ∈ Z ) Vậy :  x = π + m2π  π  x = − + m2π  Câu III e ln x dx , Đặt t = x + ln x 0,25 0.25 + ln x ,… Tính I1 = 2 − 3 0,5 I = ∫ ln x dx , lấy tích phân phần lần I2 = e - ) 0,25 2 I = I + I2 = e − − 3 0,25 ( 0,25 1,0 e I1 = ∫ 1,0 0,25  ln x  I = ∫ + ln x ÷dx   x + ln x e 0,25 Câu IV 1,0 S S' N D M C H K A B SABS’ SDCS’ hình bình hành => M, N trung điểm SB, S’D : V = VS ABCD − VS AMND 0,25 VS AMND = VS AMD + VS MND ; VS AMD SM VS MND SM SN = = ; = = ; VS ABD SB VS BCD SB SC VS ABD = VS ACD = VS ABCD ; VS AMND = VS ABCD ⇒ V = VS ABCD 8 0.25 0.25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ah 24 CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc : a3 + b3 b3 + c c3 + a3 P= + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b3 a − ab + b a − ab + b mà = ( a + b) ≥ (Biến đổi tương đương) a + ab + b a + ab + b a + ab + b a − ab + b => (a + b) ≥ ( a + b) a + ab + b b3 + c c3 + a3 Tương tự: ≥ (b + c); ≥ (c + a) 2 b + bc + c c + ca + a => P ≥ (a + b + c) ≥ abc = (BĐT Côsi) => P ≥ 2, P = a = b = c = ⇔ x = y = z = Vậy: minP = x = y =z =1 II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) A Chương trình chuẩn CâuVI a A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ ⇒V =  x = 3t  Pt đường thẳng IA :  , I ' ∈ IA => I’( 3t ; 2t + ),  y = 2t +  uur uuur AI = I ' A ⇔ t = => I '( 3;3) ( (C’): x − ) + ( y − 3) = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 0,25 0,25 0,25 0.25 M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) ∈ d , AB//d Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB)min = A’B, A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB 0.25 0.25 0,25 MA=MB M(2 ; ; 4) 0,25 CâuVII a 1.0 z = x + iy ( x, y ∈ R ), z2 + z = ⇔ x − y + x + y + xyi = 2 xy =  ⇔ 2 2 x − y + x + y =  (0;0); (0;1) ; (0;-1) Vậy: z = 0, z = i, z = - i B Chương trình nâng cao Câu VI.b BD ∩ AB = B (7;3) , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = A ∈ AB ⇒ A(2a + 1; a), C ∈ BC ⇒ C (c;17 − 2c), a ≠ 3, c ≠ ,  2a + c + a − 2c + 17  ; I = ÷ trung điểm AC, BD 2   I ∈ BD ⇔ 3c − a − 18 = ⇔ a = 3c − 18 ⇒ A(6c − 35;3c − 18) 0,25 0,25 0,5 2.0 0,25 0,25 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn uuu uuur r u c = 7(loai ) M, A, C thẳng hàng  MA, MC phương => c2 – 13c +42 =0   c = 0,25 0.25 c = =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)  3 Chứng minh hệ có nghiệm nhất, ( ∆ ) ∩ ( ∆ ' ) = A  − ;0; ÷  2 M (0; −1;0) ∈ (∆) , Lấy N ∈ (∆ ') , cho: AM = AN => N ∆AMN cân A, lấy I trung điểm MN => đường phân giác góc tạo ( ∆ ) ( ∆ ' ) đg thẳng AI Đáp số: ( d1 ) : x+ 1 + 14 30 = y −2 + 14 30 = z− −3 + 14 30 ;( d ) : x+ 1 − 14 30 = y −2 − 14 30 = z− −3 − 14 30 0.5 0.25 0,25 Câu VII.b x > TXĐ:  y > 3x y = y.x  x log + log y = y + log x  ⇔ x  y 12 x = y  x log 12 + log x = y + log y   y = 2x ⇔ x y 3 y = x  x = log  ⇔ (t/m TXĐ)  y = log  0.25 0.25 0.25 0,25 ... http://tuyensinhtructuyen.edu.vn Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định Hết http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề Số A.PHẦN CHUNG... trình sau tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0 -Hết - http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II, năm 2012 PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung Tập xác... số thỏa mÃn toán 0,5 http://tuyensinhtructuyen.edu.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 Đề S phần chung cho tất thí sinh Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x x + Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ