Đề và đáp án HSG Toán 7

http://phuongthcsnt.violet.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP ĐỀ S Bài (4 điểm) a) Chứng minh 76 + 75 - 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 Bµi (4 điểm) a) Tìm số a, b, c biÕt r»ng : a b c = = vµ a + 2b - 3c = -20 b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ Trị giá loại tiền Hỏi loại có tờ? Bài (4 ®iÓm) x g(x) = 5x4 - x5 + x2 - 2x3 + 3x2 a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 - 3x2 + 7x4 - 9x3 + x2 - TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) - g(x) b) Tính giá trị đa thức sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 x = -1 Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 900, cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Tia phân giác góc B cắt AC D a)So sánh độ dài DA DE b) Tính số đo góc BED Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE c¾t AD ë G Gäi I, K theo thø tự trung điểm GA, GB Chứng minh rằng: a) IK// DE, IK = DE b) AG = AD http://phuongthcsnt.violet.vn §Ị Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4    Bài 2: (4 điểm): Cho a2 + c2 a a) 2 = b +c b a c = chứng minh rằng: c b b2 − a2 b − a b) 2 = a +c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x + − = −2 b) − 15 x+ = x− 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây µ Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009)2 http://phuongthcsnt.violet.vn §Ị Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = b) Cho c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC d) AM = BC http://phuongthcsnt.violet.vn Đề Bài 1: (2 điểm) Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101 a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n A b, Tính A Bài 2: ( điểm) Tìm x,y,z trờng hợp sau: a, 2x = 3y =5z vµ x − y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90 c, y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z Bµi 3: ( ®iĨm) a a a a a Cho a = a = a = = a = a vµ (a1+a2+…+a9 ≠0) Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9 Cho tØ lÖ thøc: a +b+c a −b +c = vµ b ≠ a +b−c a −b −c Chøng minh c = Bµi 4: ( ®iĨm) Cho sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5 Gọi b1, b2, b3, b4, b5 hoán vị sè ®· cho Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) M Bài 5: ( điểm) Cho đoạn thẳng AB O trung điểm đoạn thẳng Trên hai nửa mặt phẳng đối qua AB, kẻ hai tia Ax By song song với Trên tia Ax lấy hai điểm D F cho AC = BD vµ AE = BF Chøng minh r»ng : ED = CF === Hết=== http://phuongthcsnt.violet.vn Đề Bài 1: (3 ®iĨm)     4,5 :  47,375 −  26 − 18.0, 75 ÷.2, : 0,88      Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 17,81:1,37 − 23 :1 Tìm giá trị x y thoả m·n: x − 27 2007 + ( y + 10 ) 2008 =0 Tìm số a, b cho 2007ab bình phơng số tự nhiên Bài 2: ( điểm) Tìm x,y,z biết: x −1 y − z − = = vµ x-2y+3z = -10 Cho số a,b,c,d khác thoả mÃn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ Chøng minh r»ng: a + b3 + c a = b3 + c + d d Bài 3: ( điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + > 10 100 Tìm x,y để C = -18- x − − y + đạt giá trị lớn Bài 4: ( điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC Kẻ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thc AE) 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam giác gì? Tại sao? === Hết=== http://phuongthcsnt.violet.vn Đề số Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x tho¶ m·n: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: A =x +8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tỉng : S= 22+ 42+ +202 C©u : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM Gäi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt c¹nh AC t¹i D a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD - HÕt http://phuongthcsnt.violet.vn Đề số Thời gian làm bài: 120 a b c a+b+c a = = Cho: Chøng minh:    = b c d d b+c+d  a c b = = T×m A biÕt r»ng: A = b+c a+b c+a Câu ( 2đ) Câu (1đ) Tìm x Z để A Z tìm giá trị Câu (2đ) a) A = x+3 x2 Câu (2đ) Tìm x, biết: x3 = a) b) A = b) ( x+ 2) = 81 − 2x x+3 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chøng minh MHK vuông cân HÕt http://phuongthcsnt.violet.vn Đề số Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài lµ 4,12 ,a BiÕt r»ng a lµ mét sè tự nhiên Tìm a ? Chứng minh từ tØ lÖ thøc a c = ( a,b,c ,d≠ 0, ab, cd) ta suy đợc tỉ b d lÖ thøc: a) a c = a−b c−d b) a+b c+d = b d C©u 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < C©u 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a B Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 > 2008 10 + 10 + Tơng tự: 10B = Bài 2:(2điểm) Thực hiƯn phÐp tÝnh:       ÷ ÷  ÷ 1 A = 1 − (1 + 2).2 ÷ 1 − (1 + 3).3 ÷ 1 − (1 + 2006)2006 ÷  ÷ ÷  ÷      = 2007.2006 − 10 18 2007.2006 − = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Bài 3:(2điểm) Từ: x 1 x − = ⇒ = − y y y Quy đồng mẫu vế phải ta cã : = x-2 Do ®ã : y(x-2) =8 Để x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm bảng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn c¹nh thø VËy cã: b + c > a Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c2 (3) Céng vÕ víi vÕ cđa (1), (2), (3) ta đợc: -8 -1 http://phuongthcsnt.violet.vn 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 à Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I Ta có: VIBC cân nên IB = IC · · VBIA = VCIA (ccc) nªn BIA = CIA =120 Do ®ã: VBIA = VBIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: · BAK = 70 A I K B - C http://phuongthcsnt.violet.vn Đáp án ®Ị 30 C©u 1: ( ®iĨm ) 1 < víi mäi n ≥ nªn ( 0,2 ®iĨm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 ®iĨm ) −1 n a Do Mặt khác: C= = 1 1 + + + + ( n − 1).( n + 1) ( 0,2 ®iĨm) 1.3 2.4 3.5 1 1 1 1  −  − + − + − + +  ( 0,2 ®iĨm) 1 n −1 n + 1  = 1 + − −  n  3  < = víi k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) k áp dụng bất đẳng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k + k +1 1.1 k + k +1 = < k k k Suy < k +1 + + + + k +1 k +1  1 < 1+  −  k  k k +1 k +1 k = ( 0,5 điểm ) Lần lợt cho k = 1,2, 3,…………………… n n < +3 k 1 (0,5 ®iĨm ) + = 1+ k +1 k k ( k + 1) cộng lại ta đợc n +1 + + n +1 < n + − < n + ( 0,5 ®iĨm) n n => [α ] = n Câu (2 điểm ) Gọi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có: http://phuongthcsnt.violet.vn + hb hb + hc hc + 2( + hb + hc ) + hb + hc = = = = 20 10 ( 0,4 ®iĨm ) hc hb = = => : hb : hc = : 2: ( 0,4 ®iĨm ) 1 Mặt khác S = a.ha = bhb = chc ( 0,4 ®iĨm ) 2 a b c = = 1 => (0 , ®iĨm ) hb hc => 1 1 1 => a :b : c = h : h : h = : : = 10 : 15 : (0 ,4 ®iĨm ) a b c VËy a: b: c = 10 : 10 : C©u 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A , tia Oy lÊy B′ cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iĨm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 ®iĨm ) Gọi H K lần lợt hình chiếu Của A B đờng thẳng A B y Tam giác HA A = tam giác KB B ( cạnh hun, gãc nhän ) ( 0,5 ®iĨm ) => H A′ = KB′, ®ã HK = A′B′ (0,25 ®iĨm) Ta chứng minh đợc HK AB (Dấu = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iĨm) ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iĨm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iĨm ) Câu ( điểm ) Giả sử a + b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) => a + b = d − a => b +b +2 bc = d + a + 2d a => bc = ( d + a − b − c ) − 2d a ( 0,2 ®iĨm) ( ) ( 0,2 ®iĨm) => 4bc = ( d + a − b − c ) + d2a – 4b ( d + a − b − c ) a ( 0,2 ®iĨm) => d ( d + a − b − c ) a = ( d + a − b − c ) + 4d 2a – bc * NÕu d ( d + a − b − c ) # th×: ( 0,2 ®iĨm) a= ( d + a − b − c ) + 4d a − 4ab số hữu tỉ 4d ( d + a − b − c ) (0,2 5®iĨm ) ** NÕu d ( d + a − b c ) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iĨm ) + d = ta cã : a+ b+ c =0 http://phuongthcsnt.violet.vn => a = b = c = ∈ Q (0,25 ®iĨm ) + d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) => bc = −d a V× a, b, c, d ≥ nên a = Q ( 0,25 điểm ) Vậy a số hữu tỉ Do a,b,c có vai trò nh nên a , b , c số hữu tỉ PNE.edu.vn website giáo dục cung cấp tài liệu học tập mơn Tốn miễn phí ! ... − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +11 =0 0,5 điểm 1 − ( x − )  =   ( x +1) 1 − ( x − ) 10  = ⇔ ( x − 7)     x? ?7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x ? ?7) 10 =0    ⇔  x? ?7= 0⇒ x =7 10  ( x ? ?7) ... http://phuongthcsnt.violet.vn Đề Bài 1: (3 điểm)     4,5 :  47, 375 −  26 − 18.0, 75 ÷.2, : 0,88      Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 17, 81:1, 37 − 23 :1 T×m giá trị x y thoả mÃn: x − 27 20 07 + ( y + 10 ) 2008... Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 212.35 − 46.9 510 .73 − 255.492 10 212.35 − 212.34 510 .7 − A= − = 12 12 − 9 3 125 .7 ) + 59.143 + + ( 3) + ( 0,5 điểm 212.34 ( − 1) 510 .7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59 .73 ( +