SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013 - 2014 TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 3 2y x x x= − + − có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tất cả giá trị của tham số k để đường thẳng ( ) 2y k x = − cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 2. (1,0 điểm). Giải phương trình: cos3 2cos2 2 tan 3 cos x x x x + + = − . Câu 3. (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 2 1 3 2 1 3 x x x x = + + − + + − Câu 4. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 2 2 1 4 2 2 0 x y x y y x x y x + + + = + − + − = ,x y ∈¡ Câu 5. (1,0 điểm). Giải phương trình : ( ) 2 2 2 1 5 5 1 x x x x − − − = + − . Câu 6. (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và cạnh SC tạo với đáy một góc 30° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC theo a Câu 7. (1,0 điểm). Cho 0 0 , , a b c x y z < ≤ ≤ < .Chứng minh rằng: 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 4 x y z a c ax by cz x y z a b c ac + + + + + ≤ + + Câu 8. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, D có ( ) B 8;4 , CD 2AB= và phương trình AD: x y 2 0- + = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và 82 6 M ; 13 13 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø là trung điểm của HC. Tìm tọa độ các điểm A, C, D. Câu 9. (1,0 điểm). Khai triển và rút gọn biểu thức n xnxx )1( )1(21 2 −++−+− thu được đa thức n n xaxaaxP +++= )( 10 . Tính hệ số 8 a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn: n CC nn 171 32 =+ . ………… Hết ………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………………………… ; Số báo danh: …………. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN (có 4 trang) Câu Đáp án Điểm 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị 1,00 3 2 3 3 2y x x x= − + − * TXĐ: D = ¡ * Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: 2 2 ' 3 6 3 3( 2 1) 0,y x x x x x= − + = − + ≥ ∀ ∈¡ ; 2 ' 0 2 1 0 1y x x x= ⇔ − + = ⇔ = Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;−∞ +∞ . 0,25 + ) Giới hạn: 3 2 lim ( 3 3 2) x x x x →−∞ − + − = −∞ 3 2 lim ( 3 3 2) x x x x →+∞ − + − = +∞ 0,25 +) Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ y ′ + 0 + y +∞ −∞ 0,25 * Đồ thị: 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 0,25 2. Tìm k… 1,00 Ta cY PT hoành độ giao điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 2 1 0 1x x x k x x x x k− + − = − ⇔ − − + − = 0,25 ( ) 2 2 1 0 2 x x x k = ⇔ − + − = 0,25 Để đường thẳng ( ) : 2d y k x= − cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải cY ba nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) phải cY hai nghiệm phân biệt khác 2. 4 3 0 4 2 1 0 k k ∆ = − > ⇔ − + − ≠ 0,25 3 4 3 k k > ⇔ ≠ Vậy với 3 ( ; ) \{3} 4 k ∈ +∞ thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 0,25 2 • Giải phương trình 1,00 Điều kiện : cos 0x ≠ . Quy đồng rồi biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 1 sin 2sin 2cos 2sin cos 1 0x x x x x− + + + = 0,25 Vì cos 0 sin 1x x ≠ ⇒ ≠ nên : 2sin 2cos 2sin cos 1 0x x x x + + + = 0,25 Đặt sin cosx x t + = với 2t ≤ . Phương trình trở thành: 2 2 2 0 0 t t t t = − + = ⇒ = Do 2t ≤ nên ta lấy 0t = 0,25 Với 0t = thì sin cos 0 tan 1 4 x x x x k π π + = ⇔ = − ⇒ = − + , k ∈¢ 0,25 3 • Giải phương trình 1,00 TXĐ: x [ ] 1;3∈ − Đặt t= 1 3 , t > 0x x+ + − => 2 2 4 3 2 2 t x x − + − = 0,25 Ta được phương trình: t 3 - 2t - 4 = 0 t=2 0,25 Với t = 2 1 1 3 =2 ( / ) 3 x x x t m x = − + + − ⇔ = 0,25 Vậy pt đã cho cY hai nghiệm: x=3 và x= -1 0,25 4 • Giải hệ 1,00 Ta biến đổi hệ về dạng : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 x y x y y x x y y + + + − = + + − = .Nếu 0y = thì hệ vô nghiệm. Nếu 0y ≠ thì ta biến đổi hệ về dạng ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 x y x y x y x y + + + − = + + − = 0,25 Đặt 2 1 ; 2 x u v y x y + = = + − . Hệ pt trở thành 2 1 1 1 u v u uv v + = = ⇔ = = 0,25 Với 1 1 u v = = thì 2 2 1 1 2 2 0 5 3 2 1 x x x x y y y x y x + = = − + − = ⇔ ⇒ = = − + − = hoặc 1 2 x y = = 0,25 Vậy hệ phương trình cY 2 nghiệm là ( ) 2;5− và ( ) 1;2 0,25 Giải phương trình 1,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 5 5 1 5 5 1 5 5 x x x x x x x x x x − − − − − = + − ⇔ + − = + − 0,25 5 Vì hàm số ( ) 5 5 t f t t= + đồng biến trên R nên ( ) ( ) 1 2 1 2 f t f t t t= ⇔ = 0,25 Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 5 5 1 5 5 1 x x x x x x f x f x x − − + − = + − ⇔ − = − 2 1 1x x x x⇔ − = − ⇒ = 0,25 Vậy phương trình cY nghiệm duy nhất 1x = 0,25 6 • Tính thể tích và khoảng cách 1,00 +) Vì SC vuông gYc với đáy nên · 0 30SAC = +) ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 ABCD AC a 2 S a ì ï = ï í ï = ï î S +) a 6 SA AC.tan 30 3 = = K A D H B C E 0,25 Vì SA vuông gYc với đáy nên thể tích khối chYp là 3 ABCD 1 a 6 V SA.S 3 9 = = (đvtt) 0,25 Dựng hình bình hành ABEC. Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông gYc với BE, H nằm trên BE. Trong mặt phẳng (SAH), dựng AK vuông gYc với SH. Dễ dàng chứng minh được ( ) AK SBE^ , Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d AC;SB d AC; SBE d A; SBE AK= = = 0,25 Xét tam giác SAH vuông tại A cY AK là đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 AK AH SA = + CY 1 a 2 a 6 a 14 AH BD ;SA AK 2 2 3 7 = = = Þ = 0,25 7 Chứng minh 1,00 Đặt 2 ( ) ( ) 0f x x a c x ac= − + + = cY 2 nghiệm a,c. Mà 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) by ac ( ) a b c f b b a c b ac ac y b a c a c y b b ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + 0,25 ( ) (yb ) (zc ) (a c) x (a c) y (a c) z xa yb zc ac( ) ( )( ) x y z xa ac ac ac a b c x y z a c x y z a b c ⇒ + + + + + ≤ + + + + + ⇔ + + + + + ≤ + + + 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy ta cY: 0,25 1 ( ) ( ) ( ( )) 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 x y z x y z ax by cz ac ax yb zc ac a b c a b c x y z ax by cz ac a c x y z a b c + + + + + + + + + + + + + + + + T Y ta cY: 2 2 ( ) (ax by cz)( ) ( ) 4 x y c a c x y z a b z ac + + + + + + + . 0,25 8 Tỡm ta nh A, C, D 1,00 +) Phng trỡnh trỡnh AB: x y 12 0+ - = , vỡ A l giao im ca AB v AD nờn ta A tha món h phng trỡnh ( ) x y 12 x 5 A 5;7 x y 2 y 7 ỡ ỡ + = = ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù - =- = ù ù ợ ợ 0,25 CY ( ) 17 85 AM ; 13 13 AM : 5x y 32 0 A 5;7 ỡ ổ ử ù ữ ù ỗ = - ữ ù ỗ ù ữ ỗ ố ứ ị + - = ớ ù ù ù ù ợ uuur Gi N l trung im ca CD suy ra MN / /DH MN AC MN : x 5y 4 0ị ^ ị - - = D thy ABND l hỡnh ch nht. Do Y ( ) BN / /AD : x y 2 0 BN : x y 4 0 B 8;4 ỡ + - = ù ù ị - - = ớ ù ù ợ 0,25 CY ( ) N MN BN N 4;0= ầ ị Li cY ( ) CD / /AB: x y 12 0 CD : x y 4 0 N 4;0 CD ỡ + - = ù ù ị + - = ớ ù ẻ ù ợ 0,25 T Y ta c : ( ) ( ) C CD AC C 7; 3 D CD AD D 1;3 = ầ ị - = ầ ị Vy A(5;7), C(7; -3), D(1; 3) 0,25 9 Khai trin v rỳt gn biu thc n xnxx )1( )1(21 2 +++ 1,00 Ta cY = + =+ nnnnnn n n CC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 0,25 .9 0365 3 2 = = n nn n 0,25 Suy ra 8 a l h s ca 8 x trong khai trin .)1(9)1(8 98 xx + 0,25 Vy 8 a = .89.9.8 8 9 8 8 =+ CC 0,25 Lu ý: Thớ sinh lm cỏch khỏc ỳng vn cho im cỏc phn tng ng. . 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 0 ,25 2. Tìm k… 1,00 Ta cY PT hoành độ giao điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 2 1 0 1x x x k x x x x k− + − = − ⇔ − − + − = 0 ,25 ( ) 2 2 1 0 2 x x x k = ⇔ −. VĨNH PHÚC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 20 13 - 20 14 TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2, 0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 3 2y x x x=. sin 2sin 2cos 2sin cos 1 0x x x x x− + + + = 0 ,25 Vì cos 0 sin 1x x ≠ ⇒ ≠ nên : 2sin 2cos 2sin cos 1 0x x x x + + + = 0 ,25 Đặt sin cosx x t + = với 2t ≤ . Phương trình trở thành: 2 2 2 0 0 t t