ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn Toán – Thời gian 180 phút Câu 1*(2đ) : Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Câu 2* (1đ): 1. Cho cot( 5 2 π -x) = 2 . Tính tan(x+ 4 π ) 2. Tìm số phức z thoả 3 z +z = 8 - 6i Câu 3*(1đ) : Tính tích phân 2 1 1 (ln 2ln 2) e dx x x x− + ∫ Câu 4 (1đ) : Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) , SA=AB=a; BC=a 3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối tứ diện GSIC . Câu 5(1đ) : Cho 3 số thực không âm x, y, z thoả x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xy + yz + zx + zyx ++ 5 Câu 6 (1đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH, phân giác trong BD và trung tuyến CM . Biết 17 ( 4;1); ;12 5 H M − ÷ và phương trình đường thẳng BD: x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. Câu 7*(1đ): Trong không gian Oxyz ,cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng 1 2 ;d d có phương trình: 1 2 1 2 1 3 1 : ; : 2 2 1 2 2 1 x y z x y z d d − − + − + = = = = − − . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M , song song với trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 2 ;d d lần lượt tại A, B sao cho AB = 1 . Câu 8* (0,5đ) : Một cái hộp có 4 bi trắng, 5 bi vàng, 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để lấy được 3 bi cùng màu. Câu 9* (0,5 đ): Giải phương trình 2 2x+1 -3.2 x - 2 = 0 Câu 10 (1đ) : Giải bất phương trình sau 2 5 3 2 4 1 5 6x x x x+ + − > + + − HẾT HƯỚNG DẪN NỘI DUNG Điêm Câu 4 : Tam giác SAB vuông cân tại A Giải thích AI vuông góc mp(SBC) Trong mp(AIJ) vẽ GH //AI Suy ra GH vuông góc mp (SBC) V GSIC = 1/3 . GH. S SIC SB = a 2 AI = 2 2a GH= 1/3. AI = 6 2a S SIC = ½.S SBC = 4 6 2 a V GSIC = 36 3 3 a Câu 5 : Đặt t= x+y+z ĐK t > 0 xy+yz+zx = 2 3 2 t − Ta có 2 2 2 2 2 2 0 ;0 ;0 2 2 2 x y x z z y xy xz zy + + + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Suy ra 2 2 2 0 xy yz zx x y z≤ + + ≤ + + 2 3 0 3 2 t − ≤ ≤ 3 3t≤ ≤ Ta có M= 2 3 5 2 t t − + Xét hàm số f(t) = 2 3 5 2 t t − + với 3 3t≤ ≤ f’(t) = 3 2 5t t − >0 ; 3 3t≤ ≤ f( 3 )= 5/ 3 ; f(3)=14/3 Vậy Max f(t) = 14/3 với 3 3t≤ ≤ Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 Vậy Max A = 14/3 khi x=y=z =1 . Câu 6 A Gọi H’ là đối xứng của H qua phân giác trong BD thì 'H AB∈ ' ': 0 ( 4;1) ' 5 HH BD ptHH x y c H HH c ⊥ ⇒ − + = − ∈ ⇒ = Vậy pt HH’: x –y + 5 = 0 Gọi K là giao điểm của HH’ và BD , tọa độ K thỏa hệ: 5 (0;5) 5 x y K x y − = − ⇒ + = K là trung điểm HH’ '(4;9)H⇒ ( ) 3 3 ' ; 3 1; 5 5 5 MH = − = − ÷ uuuur ( ) ( ) ' 4;9 : 5;1 quaH AB VTPT n = r Pt AB: 5x + y – 29 = 0 B là giao điểm của AB và BD ⇒ tọa độ B thỏa hệ 5 29 (6; 1) 5 x y B x y + = ⇒ − + = M là trung điểm AB 4 ;25 5 A ⇒ ÷ Câu 7 Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 ;2 2 ; 1 3 2 ; 1 2 ; 2( ) 2; 2( ) 3;( ) 1 1 9( ) 22( ) 14 1 13 9 A d A t t t B d B l l l AB l t l t l t l t AB l t l t l t ∈ ⇒ + − − + ∈ ⇒ + − − = − + − − − − + − = − = − + − + = ⇔ − = − uuur ( ) ( ) * 1 0; 1;0 ; (0;0;1) P l t AB VTPT n AB i − = − ⇒ = − ⇒ = = uuur r uuur r Pt mặt phẳng (P): z = 0 ( loại vì (P) chứa Ox) ( ) * 13 / 9 8 1 4 4 1 ; ; ; 0; ; 9 9 9 9 9 P l t AB VTPT n AB i − = − − − − ⇒ = ⇒ = = − ÷ ÷ uuur r uuur r Pt mặt phẳng (P): - 4 y + z + 8 = 0 ( thỏa đề bài nhận) 05 Câu 10 : 2 5 4 1 3 2 5 6 0 1 1 ( 2 4)[ ] 0 2 5 4 1 3 2 5 6 2 BPT x x x x x x x x x x ⇔ + − + + − − − > ⇔ − + + > + + + − + − ⇔ < . ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn Toán – Thời gian 180 phút Câu 1*(2đ) : Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − + (1) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ. hàm số (1) ứng với m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. cot( 5 2 π -x) = 2 . Tính tan(x+ 4 π ) 2. Tìm số phức z thoả 3 z +z = 8 - 6i Câu 3*(1đ) : Tính tích phân 2 1 1 (ln 2ln 2) e dx x x x− + ∫ Câu 4 (1đ) : Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là