KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 38) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)! https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (0;1) I và cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 (O là gốc tọa độ). Câu II (1 điểm) Giải phương trình: (1 cos )cot cos2 sin sin 2 x x x x x . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2 2 6 cos .ln(1 sin ) sin x x I dx x . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có ( ), SC ABCD đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3 a và 0 120 . ABC Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( ) ABCD bằng 0 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD. Câu V (1 điểm) ) Cho , , a b c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 2 3 P a ab abc a b c . Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 5, AB ( 1; 1) C , đường thẳng AB có phương trình là 2 3 0 x y và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng : 2 0 x y . Tìm tọa độ các đỉnh A và . B Câu VII (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( 2;2; 2), (0;1; 2) A B và (2;2; 1) C . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A , song song với BC và cắt các trục y ’ Oy, z ’ Oz theo thứ tự tại , M N khác gốc tọa độ O sao cho 2 . OM ON Câu VIII (1 điểm) Tính mô đun của các số phức z thỏa mãn 2 2 1 ( 1) z z i iz . Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình: 3 1 2 7 2 ( , ) 2 4 5 x x y y x x y x y x y . CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: Câu Ý Đáp án 1 2,0 đ 1 1,0 đ Hàm số 2 1 1 x y x TXĐ: \ 1 D Sự biến thiên của hàm số: + Các giới hạn và tiệm cận ( 1) ( 1) lim ; lim x x y y Đường thẳng 1 x là tiệm cận đứng. lim 2 x y Đường thẳng 2 y là tiệm cận ngang. + Đạo hàm: ' 2 3 0 ( 1) y x D x + Bảng biến thiên: x 1 + y ’ + + y + 2 2 Hàm số đồng biến trong các khoảng ( ; 1) và ( 1; ) . Hàm số không có cực trị. Đồ thị: Tự vẽ đồ thị. 2 1,0 đ : 1 y mx Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và : 2 2 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 2 0 (1) 1 x mx x f x mx m x x Đk: (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 0 0 5 2 6 0 0 5 2 6 5 2 6 ( 1) 0 5 2 6 m m m m m m f m . Khi đó cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 1 1 2 2 ( ; 1); ( ; 1) A x mx B x mx Với 1 2 , x x là hai nghiệm của (1) Ta có 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) (1 ) ( ) 4 (1 ) AB x x m x x x x m Mà 1 2 1 2 1 2 , m x x x x m m . Do đó 2 2 1 ( 10 1)(1 ) AB m m m m : 1 1 0 y mx mx y 2 1 ( , ) 1 d d O m Khi đó: 2 1 10 1 . 3 2 2 OAB m m S AB d m 2 1 11 10 1 0 1 11 m m m m (tmđk). Do đó : 1 y x hay 1 1. 11 y x Câu II: Phương trình (1 cos )cot cos2 sin sin 2 x x x x x (1) Điều kiện: sin 0 ( ) x x k k Khi đó: (1) cos (1 cos ) cos2 sin sin 2 sin x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos cos cos2 sin sin 2sin cos cos (1 2sin ) cos 2 sin (cos sin ) 0 x x x x x x x x x x x x x cos co s 2 cos 2 sin cos 2 0 cos 2 (cos sin 1) 0 cos 2 0 cos sin 1 x x x x x x x x x x x + cos2 0 ( ) 4 2 x x k k . + 1 cos sin 1 0 cos 2 4 4 4 2 x x x x l 2 ( ) 2 2 x l l x l . Kết hợp điều kiện phương trình đã cho có các nghiệm là: 4 2 x k , 2 2 x l ( , ) k l . Câu III: Tích phân 2 2 6 cos .ln(1 sin ) sin x x I dx x . Đặt sin cos t x dt xdx 1 ; 1 6 2 2 x t x t Khi đó 1 2 1 2 ln(1 ) t I dt t Đặt: 2 ln(1 ) 1 1 dt u t du t dt dv v t t Ta có 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 1 ln(1 ) ln 2 2 ln ( 1) 2 1 dt I t dt t t t t t 1 1 1 1 2 2 27 2ln3 3ln 2 ln ln 1 3ln 3 4ln 2 ln . 16 t t Câu IV a 3 I O D K B A C S Kẻ ( ) SK AB K AB CK AB (định lí 3 đường vuông góc) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( ) ABCD là góc giữa SK và CK . Do SKC nhọn nên 0 45 SKC , 0 0 120 60 ABC CBK . Trong tam giác vuông : CBK 0 3 sin 60 2 a CK CB Tam giác SCK vuông cân tại C nên 3 2 a SC Ta có 2 0 3 3 . sin120 2 ABCD a S AB BC . Do đó 3 . 1 3 3 . 3 4 S ABCD ABCD a V S SC (đvtt) Gọi O AC BD .Ta có ( ) BD AC BD SAC BD SC tại O . Kẻ ( ) OI SA I SA OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Dùng hai tam giác đồng dạng AOI và ASC suy ra 3 5 10 a OI Vậy 3 5 ( , ) 10 a d SA BD . Câu V Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 3 1 4 1 4 16 4 . . ( ) 2 2 3 4 3 a b a b c a ab abc a a b c Đẳng thức xảy ra khi 4 16 . a b c Suy ra 3 3 2( ) P a b c a b c . Đặt , 0 t a b c t Khi đó ta có 3 3 2 P t t Xét hàm số ( ) f t 3 3 2t t với 0 t . ' 2 3 3 ( ) ; 2 2 f t t t t ' 2 3 3 ( ) 0 0 1 2 2 f t t t t t Bảng biến thiên: t 0 1 ' ( ) f t 0 + ( ) f t 0 3 2 Do đó 0 3 min ( ) 2 t f t khi và chỉ khi 1 t . Suy ra 3 2 P . Vậy GTNN của P bằng 3 2 khi và chỉ khi 1 4 16 a b c a b c 16 4 1 , , . 21 21 21 a b c Câu VI Gọi ( ; ) I x y là trung điểm của đoạn AB và ( ; ) G G G x y là trọng tâm của ABC . Do 2 3 CG CI .nên 2 1 2 1 ; . 3 3 G G x y x y Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: 2 3 0 5 2 1 2 1 1 2 0 3 3 x y x x y y . Vậy (5; 1) I Ta có 5 2 2 AB IA IB Gọi ( ) C là đường tròn có tâm (5; 1) I và bán kính 5 2 R 2 2 5 ( ) : ( 5) ( 1) 4 C x y . Tọa độ hai điểm , A B là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 3 0 4 6 . 5 1 3 ( 5) ( 1) 4 2 2 x y x x x y y y Vậy tọa độ hai điểm , A B là 1 3 4; , 6; . 2 2 Câu VII Từ giả thiết ta có (0; ;0) M m và (0;0; ) N n trong đó 0 mn và 2 m n . Do ( ) / / P BC và ( ) P đi qua , M N nên VTPT của ( ) P là , ( ; 2 ; 2 ) n BC MN m n n m TH1: 2 m n thì , (3 ; 2 ; 4 ) ( 0) n BC MN n n n n . ( ) P đi qua ( 2;2; 2) A ( ):3 2 4 2 0. P x y z TH2: 2 m n thì , ( ; 2 ;4 ) ( 0) n BC MN n n n n . ( ) P đi qua ( 2;2; 2) A ( ): 2 4 10 0. P x y z ( loại vì ( ) P BC ) Vậy ( ) :3 2 4 2 0. P x y z Câu VIII Đặt , ( , ) z a bi a b . Từ giả thiết ta có 2 2 1 ( 1) ( 1 ) a bi a b i b ai 2 2 1 2( 1) 1 2( 1) 2 ( 1) (1) 2 ( 1) a b a bi b a b i b a b Từ (1) suy ra : 2 1 2( 1) ( 1) 2( 1) b b b b 2 2 1 ( 2)(2 1) 0 1 1 2 2 b a b b b a Suy ra 1 2 z i hoặc 1 1 . 2 2 z i + Với 1 2 z i , ta có 5 z . + Với 1 1 2 2 z i , ta có 2 2 z . Câu IX Hệ phương trình 3 1 2 7 2 (1) 2 4 5 (2) x x y y x x y x y Điều kiện: 2 0 4 0 x y x y Với điều kiện trên thì (1) 3x 2 7xy + 2y 2 + x 2y = 0 (3xy)(x2y) +(x2y) = 0 (x2y)(3xy +1) = 0 2 0 3 1 0 x y x y + x 2y = 0 x = 2y (2): 4 9 5 y y y = 1 y = 1 x = 2 (tmđk) + 3x y + 1= 0 y = 3x+1 (2) trở thành: 7 1 7 2 5 x x 2 1 7 49 21 2 11 7 x x x x 1 11 17 7 7 17 25 25 x x x . 17 76 25 25 x y (tmđk). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) = 17 76 ; 25 25 . . KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 38) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất. bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: Câu Ý Đáp án 1 2,0 đ 1 1,0 đ Hàm số 2 1 1 x y x TXĐ: 1 D Sự biến thi n của hàm số: +. https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua