ĐỀ THI THỬ SỐ 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1 2 x y x (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0. Câu 2 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 cos cos cos . 3 3 2 x x x b) Giải phương trình 2 2 2 log ( 3) 8log 2 1 4.x x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 0 ( sin ) .I x x x dx Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( 1) 3 (5 ) z z i i . Tính môđun của z. b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, 0 60 ,BAC cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM. Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện 0 90 ,AIB chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 5. Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 2 2 4 2 3( 2) 1 3 1 . 1 x x x x x x Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 .S x y z Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….…… 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 2,00 a (1,00 điểm) TXĐ: D = \{ 2}. Giới hạn và tiệm cận: 2 2 lim 2; lim ; lim x x x y y y Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2. 0,25 Sự biến thiên: 2 3 ' 0, \{ 2} ( 2) y x x Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–;–2) và (–2;+). 0,25 Bảng biến thiên: H àm s ố kh ô ng c ó c ực tr ị . 0,25 Đồ thị: 0,25 b (1,00 điểm) Gọi 0 0 ( ; ) M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x 0 ) = 3. 0,25 Ta có phương trình 0 2 0 2 00 1 3 3 ( 2) 1 3. ( 2) x x x x 0,25 Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là: 3 2, 3 14 y x y x . 0,25 Từ giả thiết ta được 3 2. y x 0,25 2 2 1,00 a (0,5 điểm) Ta có 3 1 2 4 cos2 cos 2 cos 2 2 2 3 3 A x x x 0,25 3 1 3 1 3 cos2 2cos 2 cos cos2 cos2 . 2 2 3 2 2 2 x x x x 0,25 b (0,5 điểm) ĐK: 1 , 3. 2 x x Với điều kiện đó, phương trình tương đương với 2 2 2 3 4 log 3 4log (2 1) 4 log 1 2 1 x x x x 0,25 3 4 2 3 2 3 4 2 1. 3 4 2 2 1 x x x x x x x x x Phương trình có nghiệm 1. x 0,25 3 1,00 3 3 2 0 0 0 0 ( sin ) sin sin . 3 3 x I x x x dx x xdx x xdx 0,25 Tính 1 0 sin . I x xdx Đặt sin cos . u x du dx dv xdx v x 0,25 1 0 0 0 cos cos sin . I x x xdx x 0,25 3 . 3 I 0,25 4 1,0 a (0,5 điểm) Đặt ,( , ) z a bi a b . Khi đó: 2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0. z z i i a bi a bi i a b i 0,25 1 2. 1 a z b 0,25 b (0,5 điểm) Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. Ta có 5 5 5 5 20 15 10 5 C C C C cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D. 0,25 Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có 5 5 5 15 10 5 C C C cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại Do vai trò các nhóm như nhau, có 5 5 5 15 10 5 4 C C C cách chia các bạn vào các nhóm A, B, C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm. Xác suất cần tìm là: 5 20 4 1 ( ) 3876 P X C . 0,25 5 1,00 3 Xét tam giác ABC có 0 2 tan60 2 3 2 3. ABC BC AB a S a 0,25 2 3 . 1 1 . 3.2 3 2 . 3 3 S ABCD ABC V SAS a a a 0,25 - Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB // (CMN) nên ( , ) ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )). d SB CM d SB CMN d B CMN d A CMN - Kẻ , AE MC E MC và kẻ , AH NE H NE Chứng minh được ( ) AH CMN ( ,( )) . d A CMN AH 0,25 Tính 2 AMC S AE MC trong đó: 2 1 1 3 . .sin .4 . 3 2 3 . 2 2 2 13 13 AMC S AM AC CAM a a a a AE MC a Tính được 2 3 2 3 2 3 ( ,( )) ( , ) . 29 29 29 a a a AH d A CMN d SB CM 0,25 6 1,00 Do 0 90AIB 0 45 ACB hoặc 0 135 ACB 0 45 ACD tam giác ACD vuông cân tại D nên DA = DC. Hơn nữa, IA = IC. Suy ra, DI AC đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và AC vuông góc ID. 0,25 Viết phương trình đường thẳng AC: 2 9 0 x y . Gọi (2 9; ) A a a AC . Do 2 ( , ) 2 10 DA d D AC nên 0,25 2 2 2 1 ( 7;1) (2 8) ( 1) 2 10 6 5 0 5 (1;5) a A a a a a a A Theo giả thiết bài cho (1;5) A . 0,25 Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi ( 3 4; ). B b b Tam giác IAB vuông tại I nên . 0 3( 3 2) 4( 1) 0 2 IAIB b b b (2; 2). B Đáp số: (1;5), (2; 2). A B 0,25 7 1,0 Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0). I 0,25 Bán kính của (S) là 3 2 AB R . Phương trình của (S): 2 2 2 ( 2) ( 3) 3. x y z 0,25 4 Gọi (0;0; ) M t Oz . Do V MABC = 5 nên 1 [ , ] 5 6 AB AC AM 11 4 5. t 0,25 1 (0;0;1) 11 4 15 11 4 15 13 13 11 4 15 (0;0; ). 2 2 t M t t t t M 0,25 8 1,00 ĐK: 1. x Với điều kiện đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 6( 2) 2 6 1 0 1 4 2 3 1 1 2 5 0. 1 BPT x x x x x x x x x x x x x x x 0,25 Xét hàm số 4 2 ( ) 5 1 f t t t với 0. t Ta có 2 2 '( ) 1 . ( 1) 1 f t t t '( ) 0 1. f t t Bảng xét dấu Suy ra ( ) (1), [0;+ ) ( ) 0, [0;+ ). f t f t f t t Dấu “=” xảy ra t = 1. 0,25 Do 2 2 2 4 2 0, [0;+ ) 5 0, [0;+ ). 1 x x x x x x x x Dấu “=” xảy ra khi 2 1 5 1 . 2 x x x 0,25 Khi đó: 2 2 2 2 2 2 4 2 3 1 1 2 5 0 1 x x x x x x x x 2 2 2 2 1 0 1 5 1 0 . 2 4 2 5 0 1 x x x x x x x x x Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 5 [1; ) \ 2 S . 0,25 9 1,00 Ta có: 2( ) ( 7) x y z xy . Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0. Khi đó, từ giả thiết ta được 2( ) . 7 x y z xy Suy ra: 4( ) ( ; ) 2 7 x y S f x y x y xy với điều kiện 0, 0, 7 x y xy (*) 0,25 Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được: 2 ' 2 2 4( 7) 4 ( ) 28 4 ( ; ) 1 1 . ( 7) ( 7) y xy x x y x f x y xy xy ' 2 2 2 0 2 7 7 ( ; ) 0 14 21 4 0 2 1 . y f x y x y xy x y x x 5 Su y ra: 0 2 11 7 ( ; ) 2 4 1 .f x y x x x 0,25 Xét hàm số 2 11 7 ( ) 2 4 1g x x x x với x > 0 với 2 3 2 11 28 '( ) 2 . 7 1 g x x x x '( ) 0 3.g x x Khi đó ( ) (3) ( ) 15.g x g g x 0,25 Với điều kiện (*), ta có 0 ( ; ) ( ) 15.S f x y g x Vậy min 15S khi 3, 5, 2.x y z 0,25 H ết . ĐỀ THI THỬ SỐ 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0. tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….…… 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm. phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1 2 x y x (1). a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d