Trờng thpt lơng thế vinh H nội Năm học 2014 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán - Lần thứ 3 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 16.5.2015 Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s 32 1 x y x . a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C ) ca hm s ó cho. b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng :dy xm ct th ( C ) ti hai im phõn bit. Cõu 2 (1,0 im). a) Cho gúc tha món: 3 2 v tan 2 . Tớnh 2 5 sin sin sin 2 22 M . b) Cho s phc z tha món h thc: 2 (3) (2) i iz iz i . Tỡm mụun ca s phc wzi . Cõu 3 (0,5 im). Gii bt phng trỡnh: 20,5 log ( 2) log 1 x x . Cõu 4 (1,0 im). Gii bt phng trỡnh: 32 32 245 34xx x x xxx . Cõu 5 (1,0 im). Tớnh tớch phõn: 2 0 cos 2 .Ixx xdx Cõu 6 (1,0 im). Cho hỡnh chúp .S ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B; ;AB BC a 2 A Da ; ()SA ABCD . Gúc gia mt phng ()SCD v mt phng () A BCD bng 0 45 . Gi M l trung im AD. Tớnh theo a th tớch khi chúp .SMCD v khong cỏch gia hai ng thng SM v BD . Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phng ta ,Oxy cho tam giỏc A BC cú phng trỡnh ng phõn giỏc trong gúc A l :30dx y . Hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm ng trũn ni tip tam giỏc A BC lờn ng thng A C l im (1; 4)E . ng thng BC cú h s gúc õm v to vi ng thng A C gúc 0 45 . ng thng AB tip xỳc vi ng trũn 2 2 (): 2 5Cx y . Tỡm phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc A BC . Cõu 8 (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im 1; 1; 0A v ng thng 11 : 213 x yz d . Lp phng trỡnh mt phng ( )P cha A v d . Tỡm ta im B thuc trc Ox sao cho khong cỏch t im B n mt phng ()P bng 3. Cõu 9 (0,5 im). Trong t xột tuyn vo lp 6A ca mt trng THCS nm 2015 cú 300 hc sinh ng ký. Bit rng trong 300 hc sinh ú cú 50 hc sinh t yờu cu vo lp 6A. Tuy nhiờn, m bo quyn li mi hc sinh l nh nhau, nh trng quyt nh bc thm ngu nhiờn 30 hc sinh t 300 hc sinh núi trờn. Tỡm xỏc sut trong s 30 hc sinh chn trờn cú ỳng 90% s hc sinh t yờu cu vo lp 6A. Cõu 10 (1,0 im). Cho cỏc s thc , ab dng v tha món 1ab . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 11 32 11 2(1 ) 2(1 ) 8 T ab aabb . HT Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: 1/6 Trờng thpt lơng thế vinh H nội Nm hc 2014 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Lần thứ 3 ỏp ỏn cú 06 trang Cõu ỏp ỏn im a) (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s 32 1 x y x . Tp xỏc nh: D \ {1} . lim 3; lim 3 xx yy suy ra tim cn ngang 3y . 11 lim ; lim xx yy suy ra tim cn ng ca th hm s l ng thng 1 x . o hm: 2 1 '0 1 1 yx x . 0,25 Hm s luụn nghch bin trờn khong ;1 v 1; . Hm s khụng cú cc tr. 0,25 Bng bin thiờn: x 1 y' - - y 3 3 0,25 th: (Hs cú th ly im (2;4); (0;2)). 0,25 b) (1,0 im) Tỡm cỏc giỏ tr ca m :dy x m ct th (C ) ti hai im phõn bit. Phng trỡnh tng giao: 32 1 x x m x (1)x 2 () (2 ) 2 0fx x mx m (1) 0,25 K: (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 0 (1) 0f 0,25 2 4120mm 0,25 1 (2,0) 6; 2mm . 0,25 a) (0,5 im) Cho tan 2 . 3 2 . Tớnh 2 5 sin sin sin 2 22 M . Ta cú 22 2 1113 1tan 145 cos cos cos 5 2 5 x . 0,25 2222 sin cos cos2 sin cos 2cos 1 cos cosM 11 5 5 . 0,25 2 (1,0) b) (0,5 im) Cho 2 (3) (2) i iz iz i . Tỡm mụun ca s phc wzi . 2/6 Gọi 2 ,, 1z a ib ab Ri . Từ giả thiết ta có: (3)( )12(2)( ) 1 10 4 (1)(252)0 1 . 4 2520 5 5 iabi i iabi a a aabi z i ab b 0,25 Từ đó: 11 |||1|1 525 zi i 26 5 . 0,25 Giải bất phương trình: 20,5 log ( 2) log 1 x x . Điều kiện: 2 x . Bpt 222 22 log 2 log 1 log 1 2 xx xx xx 0,25 3 (0,5đ) 22 2 x xx . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là 2 x . 0,25 Giải bất phương trình: 32 32 245 34xx x x xx x . Bpt 22 2212(1)xx xx x x 0x . 2 (2)| 2| 1 1 2 1xxx xx . (1) 2: x (1) 0 2 2 (loại). 0: (1) 2 2x (loại). 0,25 2: x 2 (1) ( 2) 1 1 1 2 1xxxx Chia 2 vế cho .( 2) 0xx ta được: 2 111 1 (1) 1 1 2 2 xx x x . Xét hàm 2 2 () 1 , 0 '() 1 0 0 1 t f tt tt ft t t () f t đồng biến 0t 11 (1) 2x x . 0,25 2 25404;1 x xx x x x . Kết hợp 24 x x . 0,25 4 (1,0đ) 02: x 2 (1) ( 2) 1 1 1 2 1xxxx . Chia 2 vế cho .( 2) 0xx ta được: 2 111 1 (1) 1 1 2 2 xx x x . Xét hàm 2 2 22 1 () 1 , '() 1 0 11 ttt f tt tt ft t tt () f t đồng biến t . Từ đó 11 (1) 2x x . Trường hợp này vô nghiệm vì 1 0 2 x . Đáp số: 4 x . 0,25 3/6 Cách 2: ĐK 0 x (mỗi dấu + ứng với ¼ điểm) 0 x không là nghiệm. Xét 0: x + 2 32 32 54 (1) 2 1 45 34 xx xx xxxxx 32 32 11 () 4 0 2 45 34 xx fx x x xxxxx . + Xét 32 32 11 () 2 45 34 xx gx x xxxxx Nếu 1 x thì () 0gx . + Nếu 01: x 11 11xx . Ta có: 111 (1) 2 22 2 xx xx 2 32 34 1 2 2 1 22 x xxxxxxx 32 32 45 342 x xxxx x 32 32 11111 222 222 45 34 xxxx xxxx xxxxx 32 32 11 (2) 2 45 34 x xxxxx . Từ (1) và (2) suy ra () 0 0gx x. + () 0 4 0 4fx x x. Kết hợp ĐK suy ra đáp số: 4 x . Tính tích phân: 2 0 cos 2 .Ixx xdx 22 2 00 cos 2Ixdxx xdx . Ta có 3 2 23 2 0 0 1 324 Axdx x . 0,25 2 0 cos 2 .Bx xdx Đặt 1 '1. 'cos2 sin2 2 ux u v x v x . 2 2 0 0 11 sin 2 sin 2 22 Bx x xdx . 0,25 2 0 11 1 1 0cos2 11 22 4 2 x 0,25 5 (1,0đ) IAB 3 1 24 2 . ( 0,792)I . 0,25 .SABCD đáy là hình thang vuông tại A và B ; ; A BBCa 2 A Da ; ()SA ABCD . Góc giữa ()SCD và () A BCD bằng 0 45 . M là trung điểm A D . Tính thể tích .SMCD, (,)dSMBD 6 (1,0đ) Ta có ()( ) .SCD ABCD CD 0 ,() 45.CD SA AC CD SAC SC CD SCA 0,25 4/6 H B A C I D F E J . 1 3 SMCD MCD VSAS . 2 1 2; . 2 MCD SA AC a S a Suy ra 2 . 11 .2. 32 SMCD Vaa 3 2 6 a . 0,25 Gọi N là trung điểm A B //( )BD SMN . Suy ra: (,)(,( )) (,( )) (,( ))dSMBD dBD SMN dD SMN dA SMN . Kẻ , ()(,()) A PMNPMNAHSPHSP AH SMN d A SMN AH . 0,25 Tam giác vuông SAP có 222 111 A HASAP 2 2 2 22 22 11 111111 22 4 a A SANAM a a a Suy ra 22 11 a AH 22 (,) 11 a dSMBD . 0,25 Tam giác A BC có phân giác trong góc A là :30dx y . Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC lên A C là (1; 4)E . BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng A C góc 0 45 . Đường thẳng A B tiếp xúc với 2 2 (): 2 5Cx y . Tìm phương trình các cạnh. Gọi F là điểm đối xứng với E qua d (1;2)F . Nhận xét: ()C có tâm (2;0),I bán kính 5R và () F C . Từ đó A B qua F và vuông góc với IF nên có phương trình :230 A Bx y . 0,25 (3;0)AB d A :2 6 0 A Cxy . Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp A BC . Đường thẳng qua 110 ,:270 ; 33 EAC x y dJ . 0,25 7 (1,0đ) Gọi vtpt của đường thẳng BC là 22 (;), 0nabab . Ta có: 0 22 2 22 2 2 |2 | cos 45 5. 22 5 3 8 3 0 ab ab ab ab a abb 0:a suy ra 0b (loại) 0:a chọn 13ab (thỏa mãn hệ số góc âm), 1 3 b (loại). Suy ra phương trình :3 0BC x y C . 0,25 A D B C S M N P H 5/6 Do J là tâm đường tròn nội tiếp A BC nên (, ) (, )d J AC d J BC Suy ra 210 1 |6||10| 29 10 2 33 3 3 510 C C (thỏa mãn); 29 10 2 3 C (loại vì khi đó , A J nằm 2 phía BC ). Từ đó: 29 10 2 :3 0 3 BC x y . Đáp số: :230 A Bx y ; :2 6 0 A Cxy ; 29 10 2 :3 0 3 BC x y . 0,25 1; 1; 0A , 11 : 213 x yz d . Lập () P chứa A và d . Tìm :(, ) 3BOxdBOx. Đường thẳng d qua 1;1; 0M và có vtcp (2;1; 3)u . Ta có (2; 2;0)MA . () P qua 1; 1; 0A và có vtpt , 6;6;6 .nMAu Chọn (1;1;1)n . 0,25 Phương trình tổng quát của () P là: 1( 1) 1( 1) 1( 0) 0 0.xyz xyz 0,25 Gọi (;0;0) ;Bb Ox || (,()) 3 3 3 b dB P . 0,25 8 (1,0đ) | | 3 3 ( 3;0;0)bb B . Đáp số: (): 0Pxyz ; ( 3;0;0)B . 0,25 Có 300 học sinh đăng ký. Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A. Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên. Tìm xác suất để có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu. Gọi A là biến cố: “Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu”. Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có 30 300 C cách chọn. Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu, tức là chọn được 27 em. Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có 27 50 C cách. Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có 3 250 C cách. 0,25 9 (0,5đ) Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: 27 50 C . 3 250 C . Xác suất của biến cố A là () P A 27 3 21 50 250 30 300 . 1,6.10 CC C . 0,25 Cho , 0:ab 1ab . Tìm GTNN của 11 32 11 2(1 ) 2(1 ) 8 T ab aa bb . 10 (1,0đ) Ta có: 11 2 , 1 11 1 ab ab ab . Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt trên tương đương với 2 10ab ab (Đúng). Lại có: 22 24 1 3 11.1 1 2 ab ab ab ab . Suy ra: 11 4 11 3abab . 0,25 6/6 Ta có: 22 (1)(1) 2 2222222a a b b a b a b ab ab ab . Suy ra: 2(1 ) 2(1 ) 8 4 12aa bb ab . 1 1 32 32 16 2(1 ) 2(1 ) 8 2(1 ) 2(1 ) 8 412 2 3 3 aa bb aa bb ab ab ab . 416 3 3 T ab ab . Đặt 2 416 1(). 3 3 tab T ft t t 0,25 22 22 22 8 8 (3)(3) 3 '( ) 8. (3) (3) 3 ( 3)(3) 3 ttttt ft t tt t tt . Xét 22 2 (3)(3) 3(3) 3 30Mt tt t t t tt 24232432 33693()390ttt ttttttt (Đúng 1t ). Suy ra '( ) 0 1 f tt () f t đồng biến 1t . 0,25 Từ đó: 1 (1) 7 1 1. t MinT f t a b 0,25 Cách 2: Có thể dồn biến về 22uab ab như sau: 11 4 4 1111 2ababu 22 22 (1 ) (1 ) 2 2 2a a b b aba b ab ab ab u Suy ra: 11 2(1 ) 2(1 ) 8 2 12 2(1 ) 2(1 ) 8 2 12 aa bb u aa bb u 432 (), 2. 2 212 Tfuu u u Chứng minh '( ) 0 2fu u tương tự cách 1. Kết luận: 2 (2) 7 2 1. u MinT f u a b Hết . Trờng thpt lơng thế vinh H nội Năm học 2014 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán - Lần thứ 3 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 16.5.2015. coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: 1/6 Trờng thpt lơng thế vinh H nội Nm hc 2014 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán. thời gian phát đề Ngày 16.5.2015 Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s 32 1 x y x . a) Kho sỏt s bin thi n v v th ( C ) ca hm s ó cho. b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng :dy xm ct th ( C ) ti hai