TRƯỜNG THPT HAI BÀ TR ƯNG Đề chính th ứ c ( Đề thi gồ m 01 trang) K Ỳ THI TH Ử THPT QU Ố C GIA L Ầ N 3 N Ă M 2015 Môn : TOÁN Th ờ i gian làm bài:180 phút, không k ể th ờ i gian phát đề Câu 1 (2,0 đ i ể m ) Cho hàm số (1) 2 1 2 x m y x − − = − . a. Khảo sát sự biến thiên và v ẽ đồ thị ( ) C c ủ a hàm s ố (1) khi 1 m = . b. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị ( ) C bi ế t ti ế p đ i ể m có tung độ 3 y = . c. Tìm các giá tr ị 3 m ≠ để hàm s ố (1) đồ ng bi ế n trên các kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. Câu 2 (1,0 đ i ể m ) a. Cho ( ) 1 sin 3 π α + =− v ớ i 2 π α π < < . Tính 7 tan 2 π α − . b. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình ( ) 1 9 1 8.3 . x x x x x − −+ + ≥ ∈ » Câu 3 (1,0 đ i ể m ) Tính di ệ n tích hình ph ẳ ng gi ớ i h ạ n b ở i đồ th ị hàm s ố 1 x y e = + , tr ụ c hoành và hai đườ ng th ẳ ng ln3, ln8 x x = = . Câu 4 (1,0 đ i ể m) Cho hình l ă ng tr ụ đứ ng ABCD.A’B’C’D’ có đ áy là hình thoi c ạ nh a , 0 60 BAD = và ' 2 AC a = . G ọ i O là giao đ i ể m c ủ a AC và BD , E là giao đ i ể m c ủ a A’C và OC’ . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ABCD.A’B’C’D’ và kho ả ng cách t ừ đ i ể m A đế n m ặ t ph ẳ ng ( EBD ). Câu 5 (1,0 đ i ể m ) Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy , cho tam giác nh ọ n ABC , g ọ i E , F l ầ n l ượ t là hình chi ế u c ủ a các đỉ nh B , C lên các c ạ nh AC , AB . Các đườ ng th ẳ ng BC và EF l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là : 4 12 0BCx y − − = , :8 49 6 0EF x y + − = , trung đ i ể m I c ủ a EF n ằ m trên đườ ng th ẳ ng : 12 0x y ∆ − = . Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC bi ế t 217BC = và đỉ nh B có hoành độ âm. Câu 6 (1,0 đ i ể m ) Trong không gian Oxyz , cho ba đ i ể m (1; 2;0), (5; 3;1) A B − − − − , ( ) 2;3;4 C − − và đườ ng th ẳ ng 1 2 : 1 1 1 x y z + − ∆ = = − . a . Ch ứ ng minh tam giác ABC đề u. Tính di ệ n tích tam giác ABC . b. Tìm t ọ a độ đ i ể m D thu ộ c đườ ng th ẳ ng ∆ sao cho th ể tích t ứ di ệ n D.ABC b ằ ng 3. Câu 7 (1,0 đ i ể m ) a. Gi ả i ph ươ ng trình ( ) 3 2 2 1 1 x x x x + + + = + ∈ » . b. T ừ t ậ p { } 1;2;3;4;5 E = , l ậ p các s ố t ự nhiên có ba ch ữ s ố . L ấ y ng ẫ u nhiên hai s ố trong các s ố v ừ a l ậ p. Tính xác su ấ t để trong hai s ố đượ c l ấ y ra có ít nh ấ t m ộ t s ố có đ úng hai ch ữ s ố phân bi ệ t. Câu 8 (1,0 đ i ể m) Tìm s ố ph ứ c z bi ế t ( ) ( ) 2 3 6 3 13 0 z i z i + − − + − + = . Câu 9 (1,0 đ i ể m) Cho ,, 1 abc ≥ là các s ố th ự c th ỏ a mãn 6 a b c + + = . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 P a b c = + + + . H ế t Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u. Cán b ộ coi thi không gi ả i thích gì thêm. H ọ tên thí sinh………………………………………….; S ố báo danh…………. TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG TỔ TOÁN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn : TOÁN; Lần 3 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) 2 2 2 x y x − = − * T ậ p xác đị nh: { } \ 2 D = » . * S ự bi ế n thiên: Đạ o hàm ( ) 2 2 ' 0, 2 y x D x − = < ∀ ∈ − . Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng ( ) ( ) ;2 ; 2; −∞ +∞ . 0.25 Gi ớ i h ạ n: lim lim 2 x x y y →+∞ →−∞ = = , nên đườ ng th ẳ ng 2 y = là ti ệ m c ậ n ngang c ủ a đồ th ị ( ) 1 C . 2 2 lim ; lim x x y y + − → → = +∞ = −∞ , nên đườ ng th ẳ ng 2 x = là ti ệ m c ậ n đứ ng c ủ a đồ th ị ( ) 1 C . 0.25 B ả ng bi ế n thiên: 0.25 * Đồ th ị : Đồ th ị hàm s ố nh ậ n giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng ti ệ m c ậ n làm tâm đố i x ứ ng. Đ i ể m đặ c bi ệ t 0.25 b. (0,5 điểm) Ta có ( ) 1 3 4; ' 4 2 y x y = ⇒ = = − 0.25 1 (2,0 điểm) Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i đ i ể m ( ) 4;3 M : 0.25 ( ) 1 1 4 3 5 2 2 y x y x = − − + ⇔ = − + c. (0,5 điểm) Ta có ( ) 2 3 ' 2 m y x − + = − , t ậ p xác đị nh { } \ 2 D = » . 0.25 V ớ i 3 m ≠ , hàm s ố đồ ng bi ế n trên các kho ả ng ( ;2) −∞ và ( ) 2; +∞ khi và ch ỉ khi ' 0, 2 3 y x m > ∀ ≠ ⇔ > . 0.25 a. (0,5 điểm ) Ta có ( ) 1 1 sin sin 3 3 a π α + = − ⇒ = . Do 2 π α π < < nên 1 2 2 cos 0 cos 1 9 3 α α < ⇒ = − − = − . 0.25 7 tan tan 3 tan cot 2 2 2 π π π α π α α α − = + − = − = cos 2 2 sin α α = = − . 0.25 b. (0,5 điểm ) Đ i ề u ki ệ n: 0 x ≥ B ấ t ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v ớ i ( ) 2 8.3 9. 3 1 0 x x x x− − + − ≥ . Đặ t 3 , 0 x x t t − = > , ta có 2 9 8 1 0 t t + − ≥ ⇔ 1 t ≤ − (lo ạ i) ho ặ c 1 9 t ≥ . 0.25 2 (1,0 điểm) Do v ậ y 1 3 2 2 0 0 2 0 4 9 x x x x x x x x − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là [ ] 0;4 T = . 0.25 Di ệ n tích hình ph ẳ ng c ầ n tìm là: ln8 ln8 ln3 ln3 1 1 x x S e dx e dx = + = + ∫ ∫ . 0.25 Đặ t 2 2 2 1 1 2 1 x x x t t e e t e dx tdt dx dt t = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − Đổ i c ậ n : ln3 2, ln8 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0.25 Khi đ ó 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 t S dt dt t t t = = + − − − + ∫ ∫ 0.25 3 (1,0 điểm) 3 3 2 2 1 3 2 ln 2 ln 1 2 t t t − = + = + + 0.25 4 (1,0 điểm) ABD ∆ có 0 , 60 AB AD a BAD = = = nên ABD ∆ đề u, suy ra 3 3 2 a AO AC a = ⇒ = ; ' CC a = 0.25 I O B C A B' D' C' A' D H 2 1 3 . 2 2 ABCD a S AC BD = = . Do v ậ y 3 . ' ' ' ' 3 '. 2 ABCD A B C D ABCD a V CC S = = . 0.25 V ẽ '( ') CH OC H OC ⊥ ∈ (1) Ta có ( ') (2) ' BD OC BD OCC BD CH BD CC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ T ừ (1) và (2) ta có ( ) CH IBD ⊥ nên ( ) ( ) , d C IBD CH = . 0.25 AC c ắ t (IBD) t ạ i O và O là trung đ i ể m c ủ a AC. Do v ậ y ( ) ( ) ( ) ( ) , , d A IBD d C IBD CH = = 2 2 2 2 3 . '. 21 2 7 ' 3 4 a a CC OC a CC OC a a = = = + + . 0.25 Vì I thu ộ c ∆ nên ( ) 12 ; I m m , mà I thu ộ c EF nên ta có 6 145 m = , suy ra 72 6 ; 145 145 I G ọ i d là đườ ng th ẳ ng đ i qua I và vuông góc v ớ i EF, ta có :49 8 24 0 d x y − − = Đườ ng th ẳ ng d c ắ t BC t ạ i trung đ i ể m M c ủ a BC, do v ậ y ( ) 0; 3 M − . 0.25 Ta có ( ) 17, 4 12; BM B b b = + , ( ) ( ) 2 2 4 12 3 BM b b= + + + nên ta có ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4; 2 4 12 3 17 17 102 136 0 4 4; 4 b B b b b b b B = − ⇒ − + + + = ⇔ + + = ⇔ = − ⇒ − − Ch ọ n ( ) ( ) 4; 4 4; 2 B C − − ⇒ − . 0.25 L ấ y 6 8 ; 49 e E e − , ta có . 0 BE EC = , do v ậ y 16 2 ; 5 5 E − và 64 14 ; 29 29 F − ho ặ c 16 2 ; 5 5 F − và 64 14 ; 29 29 E − . + V ớ i 16 2 ; 5 5 E − và 64 14 ; 29 29 F − . Ta có : 2 4 0, : 2 5 2 0 BE x y CF x y − − = + + = , suy ra 16 10 ; 9 9 A − (lo ạ i vì ( ) . 0 cos , 0 90 o AB AC AB AC A< ⇒ < ⇒ > ). 0.25 5 (1,0 điểm) + V ớ i 64 14 ; 29 29 E − và 16 2 ; 5 5 F − . Ta có :5 2 12 0, :2 6 0 BE x y CF x y − + = + − = , suy ra ( ) 0;6 A (th ỏ a mãn). V ậ y ( ) ( ) ( ) 0;6 , 4; 4 , 4; 2 A B C − − − . 0.25 a. (0,5 điểm ) Ta có 3 2 AB BC AC = = = nên tam giác ABC đề u. 0.25 Di ệ n tích tam giác ABC là: ( ) 2 3 2 3 9 3 4 2 S = = . 0.25 b. (0,5 điểm ) . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 3 2 , . 3 , 3 3 D ABC ABC V V d D ABC S d D ABC S = = ⇒ = = . ( ) ( ) ( ) 4; 1;1 , 1; 1;4 , 3;15;3 AB AC AB AC = − − = − − ⇒ = − . Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (ABC) là : 5 9 0 x y z − − − = . 0.25 6 (1,0 điểm) Vì D ∈ ∆ nên ( ) 1 ; ;2 D t t t − + − . ( ) ( ) 2 1 5 2 9 2 2 , 3 12 6 6 3 3 3 3 t t t t d D ABC t t = − − + − − + − = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − V ậ y có hai đ i ể m D th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n bài toán : ( ) 3; 2;4 D − − ho ặ c ( ) 6; 7;8 D − − . 0.25 a. (0,5 điểm ) Đ i ề u ki ệ n 1 2 x ≥ − . V ớ i đ i ề u ki ệ n đ ó, ta có 3 2 2 1 1 x x x + + + = + ( ) ( ) 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 x x x x x x ⇔ + + + = + + + + − + ( ) ( ) 3 2 2 1 3 2 2 1 1 0 3 2 2 1 1(do 3 2 2 1 0) x x x x x x x x ⇔ + + + + − + − = ⇔ + − + = + + + > 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x ⇔ + = + + ⇔ + = + + + + 0.25 2 0 8 4 0 x x x ≥ ⇔ − − = 4 2 5 x⇔ = + (th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n) V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m là 4 2 5 x = + . 0.25 b. (0,5 điểm ) T ừ t ậ p h ợ p { } 1;2;3;4;5 E = ta có th ể l ậ p đượ c 3 5 125 = s ố có 3 ch ữ s ố . Ch ọ n 2 s ố t ừ 125 s ố ở trên có 2 125 C cách. 0.25 7 (1,0 điểm) G ọ i A là bi ế n c ố : « Hai s ố đượ c ch ọ n có ít nh ấ t m ộ t s ố có đ úng hai ch ữ s ố phân bi ệ t ». Trong 125 s ố trên có 2 5 .6 60 C = s ố có ba ch ữ s ố trong đ ó có đ úng hai ch ữ s ố phân bi ệ t. Do v ậ y ( ) 2 60 60.65 A n C Ω = + . V ậ y xác su ấ t c ầ n tìm là : 2 60 2 125 60.65 567 0,73 775 C P C + = = ≈ . 0.25 Đặ t 3 t z i = + − , ph ươ ng trình tr ở thành : 2 6 13 0 t t − + = . 0.25 Ta có 2 ' 4 4 i ∆ = − = , ' ∆ có hai c ă n b ậ c hai là 2 i ± 0.25 Ph ươ ng trình trên có hai nghi ệ m ph ứ c là 3 2 t i = − ho ặ c 3 2 t i = + . 0.25 8 (1,0 điểm) Do v ậ y 3 3 2 z i i + − = − ho ặ c 3 3 2 z i i + − = + V ậ y z i = − ho ặ c 3 z i = . 0.25 Ghi chú: N ế u h ọ c sinh làm cách khác đ áp án và đ úng thì v ẫ n đượ c đ i ể m t ố i đ a . Hết Không m ấ t t ổ ng quát có th ể gi ả s ử a b c≥ ≥ . Suy ra 6 a b c c c c= + + ≥ + + suy ra 2; 4 c a b≤ + ≥ Ta ch ứ ng minh b ấ t đẳ ng th ứ c ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b + + + ≤ + 0.25 Th ậ t v ậ y, b ấ t đẳ ng th ứ c t ươ ng đươ ng v ớ i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16 16 4 16 4 a b ab a b a b a b a b ab a b a b aba b a b a b a b ab + + + ≤ + + ⇔ − ≤ + − ⇔ − ≤ − + − ⇔ − ≤ − + + B ấ t đẳ ng th ứ c cu ố i cùng đ úng b ở i vì ( ) 2 2 4 16 a b + ≥ = . 0.25 Đặ t 2 a b x + = ta có ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 a b c x c x x + + + ≤ + + = + − + Vì 1 c ≥ nên ta có 5 2 6 2 x c x + = ⇒ ≤ . H ơ n n ữ a 2 4 x a b = + ≥ nên ta có 5 2; 2 x ∈ . Ta c ầ n tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a () ( ) ( ) 2 2 2 6 5 4 3 2 2 6 2 2 4 24 54 96 168 96 152 f x x x x x x x x x = + − + = − + − + − + trên 5 2; 2 . 0.25 9 (1,0 đ i ể m) () ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 12 2 2 3 1 f x x x x x = + − − + , và () 5 ' 0, 2; 2 f x x < ∀∈ . Nh ư ng () 2 216 f = nên () f x đạ t GTLN b ằ ng 216, d ấ u b ằ ng x ả y ra khi và ch ỉ khi 2 x = . V ậ y ta có ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 216 a b c + + + ≤ , hay P đạ t GTLN b ằ ng 216, d ấ u b ằ ng x ả y ra khi và ch ỉ khi 2 a b c = = = . 0.25 . BÀ TR ƯNG Đề chính th ứ c ( Đề thi gồ m 01 trang) K Ỳ THI TH Ử THPT QU Ố C GIA L Ầ N 3 N Ă M 2015 Môn : TOÁN Th ờ i gian làm bài:180 phút, không k ể th ờ i gian phát đề Câu 1 . coi thi không gi ả i thích gì thêm. H ọ tên thí sinh………………………………………….; S ố báo danh…………. TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG TỔ TOÁN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn. phút, không k ể th ờ i gian phát đề Câu 1 (2,0 đ i ể m ) Cho hàm số (1) 2 1 2 x m y x − − = − . a. Khảo sát sự biến thi n và v ẽ đồ thị ( ) C c ủ a hàm s ố (1) khi 1 m = . b. Vi ế t