SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: Toán, KHỐI 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số: 4 2 2 3y x x = − − có đồ thị ( ) C 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2.Tùy theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình sau: 4 2 2 3 .x x m − − = Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: ( ) − + = 2 8 log 3 3log 2.x x Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: = = 2 ;y x y x Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: ln12 ln5 4. x I e dx = + ∫ Câu 5 (1,5 điểm). Giải phương trình sau: 2 2 2z 5 0z + + = Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a (a>0), hình chiếu của S trên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD, đặt ( 0)SG x x= > . Tính theo a, x thể tích khối chóp S.ABCD. Tìm x theo a để góc hợp bởi 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 0 60 . Câu 7 (2,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho 2 mặt phẳng: (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng: 1 2 5 3 1 3 1 2 : ; : 2 4 3 2 3 4 x y z x y z d d + − + − + − = = = = − − 1. Chứng minh 1 d và 2 d chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . HẾT Giám thị không giải thích gì thêm.! Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:……………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: Toán, KHỐI: 12 I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 Cho hàm số: 4 2 2 3y x x = − − Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1,5 a) TXĐ: D = R b) SBT •Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ 0,25 •Chiều biến thiên: Có 3 ' 4 4xy x = − 0 ' 0 1 x y x = = ⇔ = ± 0,25 Bảng biến thiên x −∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y −∞ -3 +∞ -4 -4 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 1;0 − và ( ) 1; +∞ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1 −∞ − và ( ) 0;1 0,25 Hàm số đạt cực đại tại 1 1 0; 3x y = = − Hàm số đạt cực tiểu tại: 2 2 1; 4x y = − = − 3 3 1; 4x y = = − 0,25 c) Đồ thị: Đồ thị hàm số qua ( ) ( ) 3;0 3;0A B − 0,25 NX: Đồ thị có trục đối xứng là trục Oy 2 Biên luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2 2 1 0x x m − + − = 1,0 ( ) 4 2 4 2 2 1 0 2 1 1x x m x x m − + − = ⇔ − + = Số nghiệm của PT(1) chính là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng d: y=m 0.25 Đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m + Nếu > −3m thì PT(1) có 2 nghiệm phân biệt + Nếu = − 3m thì PT(1) có 3 nghiệm phân biệt 0.25 + Nếu − < < −4 3m thì PT(1) có 4 nghiệm phân biệt 0.25 + Nếu = − 4m thì PT(1) có 2 nghiệm phân biệt + Nếu < −4m thì PT(1) vô nghiệm 0.25 2 Giải phương trình: ( ) − + = 2 8 log 3 3log 2x x 1,0 >: 3DK x 0.25 ( ) ( ) − + = ⇔ − + = 2 8 2 2 log 3 3log 2 log 3 log 2x x x x 0.25 ( ) ⇔ − = 2 2 log 3 2x x = − ⇔ − = ⇔ = 2 1 3 4 4 x x x x 0.25 KL: x=4 0.25 3 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: = = 2 ;y x y x 1,0 +) PT hoành độ giao điểm: = = ⇔ = 2 0 1 x x x x 0,25 diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: = = 2 ;y x y x ( ) = − ∫ 1 2 0 xS x x d 0,25 = − ÷ ÷ 1 3 2 0 3 2 x x S 0,25 ( ) = − = 1 1 1 d 3 2 6 S dv t 0,25 4 Tính tích phân ln12 ln5 4. x I e dx= + ∫ 1,0 Đặt 2 4 4 2 x x x e t e t e dx tdt + = ⇒ = − ⇒ = Đổi cận ln5 3x t = ⇒ = ln12 4x t = ⇒ = 0.25 ln12 4 2 2 ln5 3 4 2 . . 4 x x x e t I e dx dx e t + = = − ∫ ∫ 0.25 4 3 2 2 2 . 2 2 I dx t t = + − ÷ − + ∫ 0.25 ( ) 4 3 5 2 2ln 2 2ln 2 2 2ln 3 I t t t = + − − + = + KL: 0.25 5 Giải phương trình sau: 2 2 2z 5 0z + + = 1,5 2 ' 4 4i∆ = − = 0,5 PT có 2 nghiệm phân biệt: 1 1 2z i= − + 0,5 2 1 2z i= − − 0,5 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a (a>0), hình chiếu của S trên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD, đặt ( 0)SG x x= > . 1,0 Tính theo a, x thể tích khối chóp S.ABCD 0,5 I G C D a O B A S 2 DABC S a= 0,25 2 D D 1 1 . 3 3 SABC ABC V SG S xa= = 0,25 2 Tìm x để góc hợp bởi mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 0 60 0,5 Gọi O là tâmcủa hình vuông ABCD ⇒ ⊥AO BD Ta có: ⊥ ⇒ ⊥ SG (ABCD) SG BD . Suy ra: ⊥ BD (SAO) ∆ = ∆SAB SAD (c.c.c) IB IC IBC⇒ = ⇒ ∆ cân tại I. Dựng ⊥ ⇒ BI SA ⊥ ID SA ( ) ( ) ( ) · ( ) · ⇒ = SAB , SAD IB,ID 0.25 = = = = = = 1 a 2 a 2 BD a 2; AO BO CO BD ; AG 2 2 3 ∆ ∆ ⇒ = = = + + 2 2 2 2 AO a 2 1 ax 2 AIO ~ AGS IO SG. x. . AS 2 SG AG 2a 2 x 9 ⇔ = + 2 2 3ax 2 IO 2 9x 2a . Ta có: +) Để ( ) · · = ⇔ = o o IB,ID 60 BID 60 · · ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + o o o 2 2 BIO 30 tanBIO tan30 a 2 3.3ax 2 BO IO.tan30 2 3.2 9x 2a ⇔ + = ⇔ + = 2 2 2 2 2 9x 2a x 3 9x 2a 3x (VL) 0.25 +) Để ( ) · · = ⇔ = o o IB,ID 60 BID 120 · · ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + o o o 2 2 BIO 60 tanBIO tan60 a 2 3.3ax 2 BO IO.tan60 2 2 9x 2a ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9x 2a 3x 3 9x 2a 27x a 18x 2a 9x a x . 3 Vậy, a x . 3 = 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho 2 mặt phẳng: (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng: 1 2 5 3 1 3 1 2 : ; : 2 4 3 2 3 4 x y z x y z d d + − + − + − = = = = − − 2,0 1 Chứng minh 1 d và 2 d chéo nhau 1,0 d 1 có vectơ chỉ phương 1 u (2; 4; 3)= − r và qua M(-5;3;-1) 0,25 d 2 có vectơ chỉ phương 2 u ( 2; 3; 4)= − r và qua N(3;-1;2) 0,25 ( ) 1 2 , 25; 14;14u u = − − uur uur 0,25 ( ) 1 2 8; 4;2 , 0 MN u u MN = − ≠ uuuur uur uur uuuur Suy ra 1 d và 2 d chéo nhau 0,25 2 Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . 1,0 (P) có pháp vectơ ( ) 1;4; 1 P n = − uur (Q) có pháp vectơ Q n (3; 4; 9)= − r D có cặp véctơ pháp tuyến là: ; P Q n n uur uur ( ) , 32; 12; 16 4(8; 3; 4) P Q n n = − − = − − uur uur Suy ra d có 1 VTCP là (8; 3; 4) d u = − − uur 0,25 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 5 2 ;3 4 ; 1 3 : 3 2 ; 1 3 ;2 4 A d A t t t B d B t t t ∈ − + − − + ∈ − − + − ( ) 1 2 2 1 2 1 8 2 2 ; 4 3 4 ;3 4 3AB t t t t t t= + − − + + + − uuur 0,25 ; d AB u uuur uur Cùng phương khi 1 2 2 1 2 1 8 2 2 4 3 4 3 4 3 8 3 4 t t t t t t+ − − + + + − = = − − 0,25 1 2 1 1 2 8 6 14 1 25 25 1 t t t t t − = = ⇔ = = − MNên ( ) 3 8 3; 1;2 : 1 3 2 4 x t A PT d y t x t = − + − − = − − = − 0,25 Người ra đề Nguyễn Thu Hà Người ký duyệt đề . = 0 .25 ln 12 4 2 2 ln5 3 4 2 . . 4 x x x e t I e dx dx e t + = = − ∫ ∫ 0 .25 4 3 2 2 2 . 2 2 I dx t t = + − ÷ − + ∫ 0 .25 ( ) 4 3 5 2 2ln 2 2ln 2 2 2ln 3 I t t t = + − − + = + KL: 0 .25 5 Giải. = SAB , SAD IB,ID 0 .25 = = = = = = 1 a 2 a 2 BD a 2; AO BO CO BD ; AG 2 2 3 ∆ ∆ ⇒ = = = + + 2 2 2 2 AO a 2 1 ax 2 AIO ~ AGS IO SG. x. . AS 2 SG AG 2a 2 x 9 ⇔ = + 2 2 3ax 2 IO 2 9x 2a . Ta có: +) Để. o o 2 2 BIO 30 tanBIO tan30 a 2 3.3ax 2 BO IO.tan30 2 3 .2 9x 2a ⇔ + = ⇔ + = 2 2 2 2 2 9x 2a x 3 9x 2a 3x (VL) 0 .25 +) Để ( ) · · = ⇔ = o o IB,ID 60 BID 120 · · ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + o o o 2 2 BIO