đề thi và đá án kì thi hsg toán 12

TRƯỜNG THPT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU Độc lập – Tự do – Hạnh phúc TỔ TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = + (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = − − − Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. Bài 3: (3.0 điểm) 1.Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 6 3 2 2 2 2 3 15 3 ( 5)x z x z x y z y + − = − + 2. Chứng minh rằng: 2009 2007 2007 2009+ chia hết cho 8. Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (U n ) xác định bởi: 1 1 2 1 1 (1) 1 n n n U a U U U + = ì ï ï ï ï + í ï = - ï ï + ï î trong đó -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 với n" Î ¥ và (U n ) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim U n Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + ³ + + + Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1. Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 điểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: a. Chúng được mắc song song. b. Chúng được mắc nối tiếp. -Hết- 1 2 . Độc lập – Tự do – Hạnh phúc TỔ TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phương. B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = − − − Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm. - ï ï + ï î trong đó -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 với n" Î ¥ và (U n ) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim U n Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: 3