Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 61

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 61 Ngày 26 tháng 3 năm 2015 Câu 1(2,0 điểm): Cho hàm số: ( ) ( ) , 1 , 1 m x m y m C x + = ≠ + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)với m=-1. 2. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C m ) với trục hoành còn điểm B là điểm có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của (C m ), k và k 1 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C m ) tại A và B.Tìm tất cả các giá trị tham số m sao cho 1 k k+ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2.(2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 2 3 2cos 2 3 sin 2 1 2cos 2 4 x x x π π π     − + − = − −  ÷  ÷     2.Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 2 2 x y x x y x y y y x y x − −  − + =   − = + − +   ( ) ( ) 1 2 Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân: ( ) 1 2 0 . 1 x x x e x x I dx x e + + = + ∫ Câu 4.(1,0 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=2012xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 2 2 2 A x y z x y z x y z = + + + + + + + + Câu 5.(1,0 điểm).Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A. AB=a, AC= 3, .a DA DB DC= = Biết DBC là tam giác vuông và điểm E nằm trên DA sao cho 2EA ED= − uuur uuur .Tính thể tích tứ diện EBCD theo a. Câu 6.(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d 1 :2x+y-2=0, 2 : 2 1 0d x y− + = .Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm 5 12 ; 13 13 M   −  ÷   xuông d 1 ,d 2 và trục Ox. Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng. Câu 7.(1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ( ) 1 1 2 : 2 1 1 x y z d − + = = − và (d): 1 1 3 2 1 1 x y z+ − − = = điểm M thuộc (d 1 ) còn N thuộc (d 2 ) sao cho khoảng cách MN ngắn nhất.Viết phương trình mặt cầu đường kính MN. Câu 8.(1,0 điểm): Cho 5 1 1 i z i +   =  ÷ −   .Chứng minh rằng : 5 6 7 8 0z z z z+ + + = HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 61 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 1 Câu 1: 1, Bạn đọc tự làm 2, ta có ( ) 1 ;0 , 1; 2 m A m B +   −  ÷   .lại có ( ) / 2 1 1 m y x − = + nên 1 1 1 , 1 4 m k k m − = = − suy ra 1 1 1 1 1 1 1 , . 0 1 4 1 4 4 1 m m m k k do m m m − − − + = + = + > − − − mà 1 1 1 1 2 . 1, 1 1 4 1 4 m m m m m − − + ≥ = ∀ ≠ − − Dấu “=” xảy ra khi 1 1 1, 3 1 4 m m m m − = ⇔ = − = − .vậy 1 1k k+ = là nhỏ nhất khi m= -1,m=3 Câu 2(2,0 điểm) 1, ( ) 2 3 3 2cos 2 3 sin 2 1 2cos 2cos 3 cos 2 cos 2 2 4 2 x x x x x x π π π π       − + − = − − ⇔ + = − −  ÷  ÷  ÷       1 3 2cos 3 cos 2 sin 2 cos sin 2 cos2 sin 2 sin 2 2 3 2 x x x x x x x x π π     + = ⇔ = − ⇔ − = −  ÷  ÷     5 2 5 , 2 , 18 3 6 x k x k k π π π π ⇔ = + = + ∈¢ 2. ĐK 0x y≥ ≥ Khi đó từ PT(2): ( ) ( ) 2 2 2x y y y x y x− = + − + ( ) ( ) 2 2x y y y x y x⇔ − − = − + , (2) Nếu 0 0, 0x y y x y− + = ⇔ = = thay vào hệ thấy thỏa mãn .vậy (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ Nếu 0x y y− + ≠ Khi đó từ (2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2x y y x x y y y x x y y x y⇔ − = − − + ⇔ − − + + = ⇔ = Câu 3(1,0 điểm) Hệ PT trở thành ( ) 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0 , 2log 2;log 2 2 2 x y x x y x x x x y x y x y − −     − + = − + = ⇔ ⇔ =    ÷ = =     Hệ PT có hai nghiệm: ( ) 3 3 2 2 , 2log 2;log 2x y   =  ÷   và (0;0) Câu 3(1,0 điểm) Tính tích phân: ( ) 1 2 0 . 1 x x x e x x I dx x e + + = + ∫ 1 1 0 0 1 x x x dx dx e x = + + ∫ ∫ Tính 1 1 0 x x I dx e = ∫ Đặt x x u x du dx dv e dx v e dx − − = =   ⇒   = = −   Khi đó ( ) 1 1 1 1 0 0 0 1 2 | | 1 x x x I xe e dx e e e − − − = − − = − − = − ∫ Tính 1 2 0 1 x I dx x = + ∫ Đăt 2t x dx tdt= ⇒ = . Đổi cận với x=0 thì t=o,với x=1 thì t=1 Khi đó 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2 t I dt dt t t π   = = − = −  ÷ + +   ∫ ∫ .vậy 1 2 2 3 2 I I I e π = + = − − Câu 4(1,0 điểm): Chứng minh bổ đề : ( ) 1 1 1 1 1 1 4 , , 0 4 x y x y x y x y x y     + + ≥ ⇔ ≤ + ∀ >  ÷  ÷ +     Theo giả thiết 1 1 1 2012 2012xy yz zx xyz x y z + + = ⇔ + + = Ta có 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 16x y z x y x z x y xzz x y z     = ≤ + ≤ + +  ÷  ÷ + + + + + +     Chứng minh tương tự ta có: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ; 2 16 2 16x y z x y z x y z x y z     ≤ + + ≤ + +  ÷  ÷ + + + +     Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 2 Vậy: 1 1 1 1 1 1 1 2012 503 2 2 2 4 4x y z x y z x y z x y z   + + ≤ + + = =  ÷ + + + + + +   A=503 là lớn nhất khi x=y=z=3/2012 Câu 5(1,0 điểm). Ta có : 1 3 3 DEBC DABC DEBC DABC V DE V V V DA = = ⇒ = . Tính ABCD V có DA=DB=DC nên hình chiếu của D lên mp(ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Tức là trung điểm I của Bc.ta tính được BC=2a.Từ tam giác DBc vuông cân tại D nên chiều cao DI=1/BC=a. Khi đó ( ) 3 3 1 1 3 . 3 3 6 18 DABC ABC DEBC a V DI S a V dvtt= = ⇒ = Câu 6.(1,0 điểm). Giải A(a;2-2a) thuộc d 1 ,B(2b-1;b) thuộc d 2 5 38 ; 2 , 13 13 MA a a   = − −  ÷   uuur 18 12 2 ; 13 13 MB b b   − +  ÷   uuur Từ 1 2 81 81 32 24 17 24 . 0 ; , . 0 ; 65 65 65 65 65 65 MA d a A MB d b B     = ⇔ = ⇒ − = ⇔ = ⇒ −  ÷  ÷     uuur uur uuur uur Mặt khác 5 ;0 13 C    ÷   khi đó 56 32 42 24 3 ; , ; 65 65 65 65 4 AC BC BC AC     − − ⇒ = −  ÷  ÷     uuur uuur uuur uuur . Vây A,B,C thẳng hàng. Câu 7.(1,0 điểm) :Tâm mặt cầu là I và bán kính là 2 MN Câu 8.(1,0 điểm): ta có 5 3 5 2 2 1 1 2 2 1 1 2 i i i i z i i i   + + +     = = = =  ÷  ÷  ÷ − −       Do đó ( ) ( ) ( ) 5 5 6 7 8 5 2 3 2 3 1 1 0z z z z z z z z i i i i+ + + = + + + = + + + = Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 3 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 61 Ngày 26 tháng 3 năm 2015 Câu 1(2,0 điểm): Cho hàm số: ( ) ( ) , 1 , 1 m x m y m C x + = ≠ + 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C)với m=-1. 2. Gọi A là giao. Cho 5 1 1 i z i +   =  ÷ −   .Chứng minh rằng : 5 6 7 8 0z z z z+ + + = HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 61 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 1 Câu 1: 1, Bạn đọc tự làm 2,. độ bằng 1 thuộc đồ thị của (C m ), k và k 1 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C m ) tại A và B.Tìm tất cả các giá trị tham số m sao cho 1 k k+ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2.(2,0 điểm)