ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 60 Ngày 25 tháng 3 năm 2015 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 32 + − = x x y có đồ thị )(C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị )(C của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng d: mxy +−= cắt )(C tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của )(C tại hai điểm đó song song với nhau. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x − − + + − = Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( ) 4 1 0 ( ) 2 7 2 x x y y y y x y x y + + − + = + − − = (x, y ∈ R). Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: 2 2 2 1 ( 1) 2(ln ) (1 ) e x x x x I dx x + + + = + ∫ Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Chứng minh AM vuông góc với BN và tính thể tích hình chóp M.ABND biết SC 2a= . Câu 6 (1,0 điểm). Cho zyx ,, là các số dương thay đổi thỏa mãn 32 =++ zyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 xy yz zx x y z x y y z z x + + + + + + + . Câu 7.(1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ ABC cân tại A có chu vi là 18. Cạnh AB nằm trên đường thẳng ∆ : 07373 =−− yx ; điểm B, C ∈ Ox; điểm A có tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau. Câu 8.(1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 01 =+−+ zyx và đường thẳng d: 3 1 1 1 1 2 − − = − − = − − z y x . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng 23 . Câu 9.(1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn: 22 ++= zzz và số phức 2 −= zw có mô đun nhỏ nhất. Tìm một Argument của số phức z biết phần ảo của z là một số âm. Hết Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 60 Câu Ý Nội Dung Đ 1 Cho hàm số 1 32 )( + − == x x xfy có đồ thị )(C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1,0 *Tập xác định: R\{-1} *Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: 0 )1( 5 ' 2 > + = x y ∀x≠-1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞) -Cực trị: hàm số không có cực trị -Giới hạn và tiệm cận: ⇒== +∞→−∞→ 2limlim yy xx y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị ⇒−∞=+∞= +− −→−→ yy xx 11 lim;lim x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị. -Bảng biến thiên x ∞− -1 ∞+ y’ + + ∞+ 2 y 2 ∞− -Đồ thị: y x -3 O 3 2 -1 2 Nhận xét: Đồ thị nhận I(-1;2) làm tâm đối xứng. 0,25 0,25 0,25 0,25 b Tìm m để đường thẳng d: mxy +−= cắt )(C tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của )(C tại hai điểm đó song song với nhau. 1,0 -PT hoành độ giao điểm của d và )(C : 03)3()( 1 32 2 =−−−−=⇔+−= + − mxmxxgmx x x d cắt )(C tại hai điểm phân biệt m g ∀⇔ ≠− >∆ ⇔ 0)1( 0 Gọi 21 , xx là hoành độ hai giao điểm 3 21 −=+⇒ mxx (1) Theo bài ra tiếp tuyến của )(C tại hai điểm đó song song với nhau nên ( ) 2 )1( 5 )1( 5 ')(' 21 2 2 2 1 21 −=+⇔ + = + ⇒= xx xx xfxf (2) Từ (1) và (2) ta có 123 =⇔−=− mm 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Giải hệ phương trình: sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − = 1,0 sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x − − + + − = ⇔ (sin 3 sin ) 2sin 3sin 2 (cos2 2 3cos ) 0x x x x x x+ + − − + − = 2 2sin 2 .cos 2sin 6.sin .cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x x⇔ + − − − + = 2 2 2sin cos 2sin 6sin cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x x⇔ + − − − + = 2 1 1 (2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 sin ,cos 1,cos 2 2 x x x x x x⇔ − − + = ⇔ = = = Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 2 +) 1 5 sin 2 , 2 2 6 6 x x k x k π π π π = ⇔ = + = + +) 1 cos 2 2 3 x x k π π = ⇔ = ± + +) cos 1 2x x k π = ⇔ = KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên. 0,25 0, 5 0,25 3 Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( ) 4 1 0 ( ) 2 7 2 x x y y y y x y x y + + − + = + − − = (x, y ∈ R). 1,0 Dễ thấy 0y ≠ , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ( ) 4 1 0 1 ( ) 4 . ( ) 2( 1) 7 ( ) 2 7 2 1 ( ) 2 7 x x y x x y y y y x y y x y y x y x y y x y x y x x y y + + + = + + − + = + + + = ⇔ ⇔ + − + = + − − = + + − = Đặt 2 1 , x u v x y y + = = + ta có hệ: 2 2 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u + = = − = = ⇔ ⇔ − = + − = = − = +) Với 3, 1v u= = ta có hệ: 2 2 1, 2 1 2 0 2, 5 3 3 x y x y x x x y x y y x = = + = + − = ⇔ ⇔ = − = + = = − . +) Với 5, 9v u= − = ta có hệ: 2 2 2 1 9 1 9 9 46 0 5 5 5 x y x y x x x y y x y x + = + = + + = ⇔ ⇔ + = − = − − = − − VN. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1;2) và ( 2;5)− 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Tính tích phân: 2 2 2 1 ( 1) 2(ln ) (1 ) e x x x x I dx x + + + = + ∫ 1,0 Ta có: 2 2 2 1 1 1 ( 2 1) 2ln ln 2 (1 ) (1 ) e e e x x x x x I dx xdx dx x x + + + = = + + + ∫ ∫ ∫ = 2 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 ln 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) e e e x e x x dx x x − + = + + + ∫ ∫ + Ta có: 2 1 1 1 1 1 ln 1 2ln 2 1 1 2 2 ln 2 2 (1 ) 1 1 (1 ) 1 1 e e e e e x x dx dx xd dx x x x x x e x x − − = = − + = + − ÷ ÷ + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 2 2 2 2ln 2ln 1 1 1 1 e x e e x e e − − + = + + + + + . Vậy 2 1 2 2 2ln 2 1 1 e e I e e − = − + + + 0,25 0,25 0,5 5 Cho S.ABCD có đáy là hình vuông, ∆ SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, lần lượt là trung điểm SB, CD. Chứng minh AM ⊥ BN và tính thể tích hình chóp M.ABND biết 2aSC = . 1,0 Gọi H là trung điểm AD )(ABCDSHADSH ⊥⇒⊥⇒ Gọi E là trung điểm BC khi đó ta có: BNAEBCNABE ⊥⇒∆=∆ Gọi BNMIABCDMISHMIBHAEI ⊥⇒⊥⇒⇒∩= )(// AMBNAMEBN ⊥⇒⊥⇒ )( (Đpcm) Trong SDC ∆ vuông cân tại D nên ta có: aSDSCSD =⇒= 22 2 , 2 3a SH =⇒ 4 3 4 22 2 aa aSSS BCNABCDABND =−=−=⇒ Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 3 x d N H M C B A I E N M D C B H S A Mà 16 3 . 3 1 4 3 2 1 3 . a SMIV a MISHMI ABNDABNDM ==⇒=⇒= 0,25 0,25 0,25 0,25 6 Cho zyx ,, >0, 32 =++ zyx .Tìm MinP = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 xy yz zx x y z x y y z z x + + + + + + + . 1,0 333222222 8)4)(2()4(3 zyxzyxzyxzyx ++=++++=++ )42(324)28()4()( 222222232323 xzzyyxzyyxxzzxzyzyxyx ++≥++++++++= xzzyyxzyx 222222 424 ++≥++⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 xy yz zx P x y z x y z + + ⇒ ≥ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 4 4 2( 4 ) 2( 4 ) xy yz zx x y z x y z P x y z x y z x y z x y z + + + + − + + ⇒ ≥ + + + = + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 ( 4 ) 4 2( 4 ) x y z P x y z x y z − + + ⇒ ≥ + + + + + Đặt 2 2 2 4t x y z= + + . Do 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3( 4 ) 3x y z x y z t= + + ≤ + + ⇒ ≥ 9 2 t P t t − ⇒ ≥ + Xét hàm số 9 ( ) , 3 2 t f t t t t − = + ≥ Ta có 2 2 3 8 8 '( ) 0 in f ( ) (3) 4 3 4 t t f t M t f t t ≥ + = > ⇒ = = ⇔ = 1 2 3 1, 2 x y z x y z⇒ + + = ⇒ = = = . Vậy 1 4 1, 2 MinP x y z= ⇔ = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 7 ∆ ABC cân tại A, 2p= 18. ∈BA, ∆ : 07373 =−− yx ; B, C Ox∈ ; điểm A có tung độ dương. Viết PT d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau. 1,0 Ta có )0;1(BOxB ⇒∩∆= . Kẻ BCAH ⊥ Gọi )0;12()0;()7373;( −⇒⇒− aCaHaaA Từ gt 1>⇒ a )1(2),1(8 −=−==⇒ aBCaACAB 218)1(18 =⇔=−=++⇒ aaBCACAB )0;3(),73;2( CA⇒ .Đặt 879 ≤≤⇒−=⇒= xxBNxBM Mà 2 1 . . 2 1 =⇒= BCBA BNBM S S ABC BMN 8 2 1 2.8 )9( =⇔= − ⇒ x xx HNAM ≡≡⇒ )0;2(,)73;2( Vậy PT đường thẳng 02: =−xd 0,25 0,25 0,25 0,25 8 (P): 01 =+−+ zyx và d: 3 1 1 1 1 2 − − = − − = − − z y x , )(PdI ∩= . Viết PT đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng 23 . 1,0 • (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1( −=n và d có véc tơ chỉ phương )3;1;1( 1 −−=u )4;2;1()( IPdI ⇒∩= • vì ∆⇒⊥∆⊂∆ dP);( có véc tơ chỉ phương [ ] )1;1;2(2)2;2;4(; 1 −−=−−== unu 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 4 • Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ . Khi đó do ⇒∆⊥⊂ IHPIH ),( véc tơ chỉ phương của IH là [ ] )1;1;0(3)3;3;0(; 2 === unu ⇒ Phương trình += += = tz ty x IH 4 2 1 : );;0()4;2;1( ttIHttH =⇒++⇒ mà −= = ⇔=⇔= 3 3 23223 2 t t tIH + Với 1 7 1 5 2 1 :)7;5;1(3 − − = − = − − ∆⇒⇒= zyx ptHt + Với: 1 1 1 1 2 1 :)1;1;1(3 − − = + = − − ∆⇒−⇒−= zyx ptHt 0,25 0,25 0,25 9 Cho số phức z thỏa mãn: 22 ++= zzz và số phức 2 −= zw có mô đun nhỏ nhất. Tìm Argumen của số phức z biết phần ảo của z là một số âm. 1,0 Gọi số phức có dạng: ;biazbiaz −=⇒+= 0;, <∈ bRba Theo bài ra: 12)22(4422 2222 +=⇔+=+⇔++= ababazzz Mà 4)1(52)2(2 2222 +−=+−=+−=−= aaabazw ⇒ w nhỏ nhất khi a=1 izba 3131 −=⇒−=⇒=⇔ Ta có: − + − = −=−= 3 sin. 3 cos2 2 3 2 1 231 ππ iiiz Vậy số phức z có một Argumen bằng 6 π − 0,25 0,5 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 5 . GIẢI ĐỀ SỐ 60 Câu Ý Nội Dung Đ 1 Cho hàm số 1 32 )( + − == x x xfy có đồ thị )(C a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1,0 *Tập xác định: R{-1} *Sự biến thi n: -Chiều biến thi n:. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 60 Ngày 25 tháng 3 năm 2015 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 32 + − = x x y có đồ thị )(C a. Khảo sát sự biến thi n. 1 1 1 1 2 1 :)1;1;1(3 − − = + = − − ∆⇒−⇒−= zyx ptHt 0,25 0,25 0,25 9 Cho số phức z thỏa mãn: 22 ++= zzz và số phức 2 −= zw có mô đun nhỏ nhất. Tìm Argumen của số phức z biết phần ảo của z là một số âm. 1,0 Gọi số phức có dạng: ;biazbiaz