ĐỀ THI THỬTỐT NGHIỆP QUỐC GIA NĂM 2015 SỐ 54 Ngày 18 tháng 3 năm 2015 Câu 1( 3,0 điểm ). Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2 40IA IB + = . Câu 2. ( 3,0 điểm ) 1) Giải phương trình : sin 2 cos 2 sin cos 1 0x x x x+ + + + = 2) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y − + + = + + − + = 3,Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2.log 1 log 2 1 log 1x x x + = − + + Câu 3.( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I = 1 5 3 0 1x x dx− ∫ . Câu 4.( 1,0 điểm ) .Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 0 45 . Tính thể tích khối chóp . Câu 5.( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c + + ≥ − − − Câu 6.(1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm )2;3(K và đường tròn 0142:)( 22 =+−−+ yxyxC với tâm là I. Tìm tọa độ điểm )(CM ∈ sao cho 0 60=∠IMK . Câu 7.(1,0 điểm) : Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 1 2 4 : 1 1 2 x y z d − + = = − và 2 8 6 10 : 2 1 1 x y z d + − − = = − . a. Chứng minh rằng 1 2 ,d d chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. b. Gọi AB là đường vuông góc chung của 1 d và 2 d ( 1 2 , A d B d∈ ∈ ). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. Câu 8.(1,0 điểm)Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 1z i z i+ = − + và 1 2 z i z i + − + là một số thuần ảo. Hết 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu Nội dung Điểm I Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( ) C . 3,0 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 2x 1 y x 1 − = + +Tập xác định { } \ 1D = −¡ +Sự biến thiên • -Chiều biến thiên: ( ) 2 3 ' 1 y x = + 0 > 1x ∀ ≠ − . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ • Cực trị : Hàm số không có cực trị. • Giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 2 1 lim lim 2 1 x x x y x →±∞ →±∞ − = = + ,đường thẳng 2y = là tiệm cận ngang 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x − + →− →− − − = +∞ = −∞ + + , đường thẳng 1x = − là tiệm cận đứng • Bảng biến thiên : x - ∞ - 1 + ∞ y' + || + y +∞ 2 || 2 −∞ +Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1 ;0 2 A ÷ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm ( ) 0; 1B − Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là ( ) 1;2I − làm tâm đối xứng. 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2 40IA IB + = . 2,0 0,25 0,5 0,5 0,5 1,0 2 8 6 4 2 -2 -4 -6 TCĐ ( ) 1 d : 1x = − ,TCN ( ) 2 : 2d y = ( ) 1;2I⇒ − .Gọi 0 0 0 2 1 ; 1 x M x x − ÷ + ( ) ( ) 0 , 0C x∈ > Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 1 3 : : 1 1 x M y x x x x − ∆ = − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 1 2 0 0 2 4 1; , 2 1;2 1 x d A d B x x − ∆ ∩ = − ∆ ∩ = + ÷ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 0 2 2 2 0 0 0 0 0 36 4 1 40 1 10 1 9 0 1 40 0 0 x x x x IA IB x x + + = + − + + = + + = ⇔ ⇔ > > 0 2x⇔ = ( ) 0 1y = ( ) 2;1M⇒ . 0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 Giải phương trình : sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x + + + + = 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin 2 cos 2 sin cos 1 0 sin cos cos sin sin cos 0 sin cos 0 4 sin cos 2cos 1 0 ( ) 1 2 cos 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x k x x x k Z x x k π π π π + + + + = ⇔ + + − + + = − + = = + ⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈ − = = ± + 0,5 0,5 2.2 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y − + + = + + − + = 1,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 (1) 1 2 0 2 0 (2) x y x y x y x y x x y y y x y x y y − + + = + = + ⇔ + + − + = + + − + = .Do 0y = không thỏa mãn nên: 0y ≠ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1x y x y x y⇔ + + − + = ⇔ + = Khi đó hệ trở thành 2 0, 1 1 1, 2 1 x y x y x y x y = = + = ⇔ = − = + = Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2) . 0,5 0,5 Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2.log 1 log 2 1 log 1x x x + = − + + ĐK : 1 1 2 x x > − ≠ 1,0 2.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 (1) 2log 1 2log 2 1 2log 1 log 1 log 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x loai x x x x x x x x ⇔ + = − + + ⇔ + = − + ⇔ + = − + ⇔ + − + − − = = − = − ⇔ − + = − ⇔ = = − + = − Vậy nghiệm phương trình là : 1 ; 2x x= = 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Tính tích phân: I = 1 5 3 0 1x x dx− ∫ . 1,00 1 1 5 3 3 3 2 0 0 1 1 .I x x dx x x x dx= − = − ∫ ∫ 0,5 3 Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 t x t x tdt x dx tdt x dx − = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = Khi 0 1; 1 0 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Vậy tai có : ( ) ( ) 1 0 1 3 5 3 3 2 2 2 4 0 1 0 1 2 2 2 2 2 4 1 . 1 . . . 0 3 3 3 3 5 3 15 45 t t I x x x dx t t tdt t t dt = − = − − = − = − = = ÷ ∫ ∫ ∫ 0,5 4 Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 0 45 . Tính thể tích khối chóp 1,00 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có ( )SG ABC⊥ Gọi I là trung điểm cạnh BC ta có (gt) suy ra 0 45SIG∠ = . Gọi cạnh của tam giác đều ABC là 2 ( 0)x x > Ta có 3AI x= , 3 3 IG x= và 2 2 0 2 3 2 2 (1) cos45 3 3 3 2 IG x SI x SI x= = = ⇒ = Lại có : 2 2 2 SI a x= − (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 2 2 3 5 3 3 5 x a x x a x a = − ⇔ = ⇔ = Vậy ta có : 2 0 2 1 3 3 3 .4. .sin 60 2 5 5 ABC S a a ∆ = = Và 3 3 . 5 3 5 a SG IG a= = = (Do tam giác ABC vuông cân ) Vậy thể tích khối chóp là : 3 2 . . 1 1 3 3 15 . . . 3 3 5 25 5 S ABC ABC a a V SG S a ∆ = = = (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 V Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c + + ≥ − − − 1,00 Từ giả thiết suy ra 1 1 1 2 a b c + + = Đặt : 1 1 1 ; y = ; z = b c x a = Suy ra x,y,z > 0 và x+y+z=2 Ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) ( ) ( ) ( ) x y z P a a b b c c y z x z y x = + + = + + − − − + + + Áp dụng bđt Cô-si: 3 2 3 ( ) 8 8 4 x y z y z x y z + + + + ≥ + 3 2 3 ( ) 8 8 4 y x z x z y x z + + + + ≥ + 3 2 3 ( ) 8 8 4 z y x y x z y x + + + + ≥ + Do đó: 1 1 ( ) 4 2 P x y z ≥ + + = ( Đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 6 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm )2;3(K và đường tròn 0142:)( 22 =+−−+ yxyxC với tâm là I. Tìm tọa độ điểm )(CM ∈ sao cho 0 60=∠IMK . 1,0 4 +) Ta có 4)2()1(:)( 22 =−+− yxC . Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2. Nhận thấy IK = 2. Suy ra ).(CK ∈ Do )(CM ∈ và 0 60=∠IMK . Suy ra IMK∆ đều. Do đó yêu cầu bài toán ⇔ Tìm )(CM ∈ sao cho KM = R = 2. +) Giả sử )(),( 00 CyxM ∈ 4)2()1( 2 0 2 0 =−+−⇔ yx (1) Ta có 4)2()3(2 2 0 2 0 =−+−⇔= yxKM (2) Từ (1) và (2) suy ra − + )32;2( )32;2( M M 0,25 0,25 0,25 0,25 7 Ta có: 1 2 4 : 1 1 2 x y z d − + = = − và 2 8 6 10 : 2 1 1 x y z d + − − = = − . 1 d đi qua điểm 1 (0;2; 4)M = − , có vectơ chỉ phương là 1 (1; -1; 2)u = ur 2 d đi qua điểm 2 ( 8;6;10)M = − , có vectơ chỉ phương là 2 (2;1; 1)u = − uur . a/ 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( 1;5;3), ( 8;4;14) , . 70 0u u M M u u M M = − = − ⇒ = ≠ ur uur uuuuuur ur uur uuuuuur Suy ra 1 d và 2 d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 1 2 , . 70 ( , ) 2 35 35 , u u M M d d d u u = = = ur uur uuuuuur ur uur b/ Ta có 1 2 , ( ;2 ; 4 2 ), ( 8 2 ;6 ;10 )A d B d A t t t B s s s∈ ∈ ⇒ = − − + = − + + − ( 8 2 ;4 ;14 2 )AB s t s t s t⇒ = − + − + + − − uuur Do AB là đường vuông góc chung nên 1 1 2 2 . 0 4 2 . 0 AB u AB u s t AB u AB u ⊥ = = ⇒ ⇔ ⇔ = ⊥ = uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur (2;0;0), (0;10;6)A B⇒ = = . Mặt cầu đường kính AB có PT là: 2 2 2 ( 1) ( 5) ( 3) 35x y z− + − + − = . 0.25 0.25 0.25 0.25 8 * Tìm số phức z Đặt 2 ( 2) ( , ) 1 ( 1) (1 ) z i a b i z a bi a b R z i a b i + = + + = + ∈ ⇒ − + = − + − 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 1) (1 ) 1 3z i z i a b a b a b⇒ + = − + ⇔ + + = − + − ⇔ = − − Và 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) (2 3) 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) z i a b i a a b b a b b i z i a b i a b a b + − + + − + − − − − + − = = + + + − + − + − là một số thuần ảo khi và chỉ khi 2 ( 1) ( 2)( 1) 0 4 3 1 0a a b b b b+ − − − = ⇔ + − = 1 2 1 7 4 4 b a b a = − = ⇔ ⇒ = = − . Vậy có hai số phức cần tìm: 2z i= − và 7 1 4 4 z i= − + 0,25 0,25 0,25 0,25 5 . ĐỀ THI THỬTỐT NGHIỆP QUỐC GIA NĂM 2015 SỐ 54 Ngày 18 tháng 3 năm 2015 Câu 1( 3,0 điểm ). Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số. 8.(1,0 điểm)Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 1z i z i+ = − + và 1 2 z i z i + − + là một số thuần ảo. Hết 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu Nội dung Điểm I Cho hàm số : 2x 1 y x. ) C . 3,0 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 2x 1 y x 1 − = + +Tập xác định { } 1D = −¡ +Sự biến thi n • -Chiều biến thi n: ( ) 2 3 ' 1 y x = + 0 > 1x ∀ ≠ − . Hàm số đồng biến trên các khoảng