đề chọn đội tuyển hsg môn toán thpt

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 phút Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định Bài 2: 1/ Cho = + + + + + + 1 1 1 1 S 1.2008 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1 So sánh S với 2008 2. 2009 2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng: + + = + + + + + + 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c 1 Bài 3: Cho x = + 3 3 1 2 4 . Tính giá trị của P = x 2009 3x 2008 + 9x 2007 9x 2006 + 2009 Bài 4: Giải phơng trình: ( ) ( ) + + + 2 x 2009 x 2009 x x = 2009 Bài 5: Cho 0 0 < < 90 0 . Chứng minh rằng: + < 2008 2009 sin cos 1 Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + 1 1 1 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b + + 1 ab bc ca Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đờng tròn nội tiếp; r a là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p a) A tg 2 = S Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. M chuyển động trên nửa đờng tròn. Xác định vị trí điểm M để MA + 3 MB đạt giá trị lớn nhất Bài 10: Cho dãy số { } n a đợc xác định theo công thức: = = + + 1 3 2 n n 1 a 2 a 3a 2n 9n 9n 3; n = 2,3, . Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tơng ứng a 1 + a 2 + a p 1 đều chia hết cho p Hết H ớng dẫn chấm Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 m(2x + y) + 3 x = 0 1đ Với mọi m thì + = = = = 2x y 0 x 3 3 x 0 y 6 1đ Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: + 1 2 a b ab 0,5đ áp dụng BĐT trên đợc: + + + = 2 2 2 2008 S 2. 2009 2009 2009 2009 1đ 2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có: 0,5đ + + + + = = + + + + + + + + 2008 b bc bc b 2008 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 1đ Bài 3: (2 đ) Từ x = + 3 3 1 2 4 ( ) + = 3 x 1 2 3 3 x = x 3 2 x 3 3x 2 + 9x 9 = 0 1đ P = x 2009 3x 2008 + 9x 2007 9x 2006 + 2009 = x 2006 (x 3 3x 2 + 9x 9) + 2009 = 2009 1đ Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0 0,5đ Ta có ( ) ( ) + = + 2 2009 2009 x x 2009 2009 x x (1) 0,5đ ( ) ( ) + + = + + 2 2009 2009 x x 2009 2009 x x (2) 0,5đ Cộng (1) và (2) suy ra: x = x hay x = 0 và x = 1 0,5đ Bài 5: (2 đ). Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < 1 với < 90 0 1đ Nên sin 2008 < sin 2 và cos 2009 < cos 2 nên + < 2008 2009 sin cos 1 1đ Bài 6: (2 đ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + 1 bc 2a b 2a c 2ac bc 2ab bc ( ) + + 2 bc ab bc ca (Cauchy) 1đ Tơng tự ( ) ( ) ( ) + + + + 2 1 ca 2b c 2b a ab bc ca ; ( ) ( ) ( ) + + + + 2 1 ab 2c b 2c a ab bc ca 0,5đ Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c 0,5đ Bài 7: (2 đ). Ta có P(x + 1) + x 2 = p(x) + x 2 + 2x + 1 P(x + 1) (x + 1) 2 = P(x) x 2 0,5đ Đặt Q(x) = P(x) x 2 , khi đó Q(x) = Q(x + 1) 0,5đ Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ Suy ra phơng trình Q(x) Q(0) = 0 có vô số nghiệm. Do đó Q(x) Q(0) 0 P(x) x 2 = Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x 2 + a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán 0,5đ Bài 8: (2 đ). Chứng minh đợc S = (p a)r a và r a = p A tg 2 1,5 đ S = p(p a) A tg 2 0,5đ Bài 9: (2 đ). Chứng minh đợc ã AMB = 90 0 . Theo Pitago: MA 2 + MB 2 = AB 2 = R 2 0,5đ áp dụng BĐT: ( ) ( ) + + + 2 2 2 2 ax by a b x y ta có MA + 3 MB 4R 1đ Dấu = xảy ra khi 3 MA = MB hay M ở vị trí sao cho à A = 60 0 0,5đ Bài 10: (1 đ). Theo giả thiết ( ) ( ) + = + = + = 3 3 3 2 n n 1 n 2 a n 3 a n 1 3 a n 2 = ( ) + n 1 1 3 a 1 = 3 n . Vậy nên a n = 3 n n 3 với mọi n N * . 0,5đ Với p = 2 thì a 1 = 2 M 2 Với p > 2 thì a 1 + a 2 + a p 1 = ( ) ( ) + + + + + + 3 2 p 1 3 3 3 3 3 1 2 p 1 Do ( ) + M 3 3 k p k p và ( ) + + + = M 2 p 1 p 1 3 3 3 3 3 p 2 nên a 1 + a 2 + a p 1 M p 0,5đ . phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 phút Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi,. 2,3, . Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tơng ứng a 1 + a 2 + a p 1 đều chia hết cho p Hết H ớng dẫn chấm Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 m(2x + y) + 3. x 2 = Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x 2 + a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán 0,5đ Bài 8: (2 đ). Chứng minh đợc S = (p a)r a và r a = p A tg 2 1,5 đ S = p(p a) A tg 2 0,5đ Bài