SỞ GD -ĐT VĨNH LONG ĐỀ THAM KHẢO THI HS GIỎI TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG MÔN : TOÁN 12 THỜI GIAN : 180 PHÚT BÀI I : (2 ĐIỂM) Không giải phương trình bậc ba : x 3 – x + 1 = 0 Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của ba nghiệm của nó. BÀI II : (2 ĐIỂM) Hãy xác đònh hàm số f : R → R sao cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực x, y , z bất kỳ : 2 1 f(xy) + 2 1 f(xz) – f(x).f(yz) ≥ 4 1 BÀI III : (2 ĐIỂM) Gọi R và r là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp 2008 giác đều. a) Chứng minh rằng : R 1 1 r cos 2008 ≥ + π b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp có cạnh đáy bằng a, khi bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng. BÀI IV : (2 ĐIỂM) Cho cấp số cộng gồm 2008 số hạng với số hạng đầu u 1 = 2008 π và công sai d = 4016 π . Tính giá trò của tổng : S = 1 2 2008 cos( u u u ) ± ± ± ± ∑ ở đó tổng ∑ chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các số hạng khác nhau có thể được để lấy dấu (+) hay (-) trước các số u 1 , u 2 , …. , u 2008 . BÀI V : (2 ĐIỂM) 1) Chứng minh rằng : 2 (sint + cost) ≥ 2 4 sìnt (0 ≤ t ≤ 2 π ) 2) Tìm y sao cho : 1 + 2cot y cot y ≥ tan2y tany (0 ≤ y ≤ π ) HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN BÀI HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM I Xét phương trình bậc ba : x 3 – x + 1 = 0 (1) Theo đònh lý Viét ta có : −= −=++ =++ 1 1 0 321 133221 321 xxx xxxxxx xxx Từ (1) ta được : −+=−= −= 1 1 22 35 3 iiiii ii xxxxx xx (với i = 1, 2, 3) 1 Như vậy : 232 28 +−= iii xxx . Từ đó suy ra : 8 1 x + 8 2 x + 8 3 x = 2 ( 2 1 x + 2 2 x + 2 3 x ) - ( 321 xxx ++ ) + 6 (2) Nhưng : 2 1 x + 2 2 x + 2 3 x = ( 321 xxx ++ ) 2 - 2( 133221 xxxxxx ++ ) = 2 Thay vào (2) ta được : 8 1 x + 8 2 x + 8 3 x = 10 1 II Cho x = y = z = 0 , thay vào bất đẳûng thức ta có : f 2 (0) – f(0) + 4 1 ≤ 0 hay − 2 1 )0(f ≤ 0 Suy ra f(0) = 2 1 Cho y = z = 0 , còn x tùy ý thay vào bất đẳûng thức đã cho và chú ý rằng f(0) = 2 1 , ta có : 2 1 f(0) + 2 1 f(0) – f(x)f(0) ≥ 4 1 Hay f(0) – f(x)f(0) ≥ 4 1 ; 2 1 - 2 1 f(x) ≥ 4 1 Từ đó : f(x) ≤ 2 1 (1) 1 Cho x = y = z = 1 , thay vào bất đẳûng thức đã cho, ta có f(1) – f 2 (1) ≥ 4 1 hay − 2 1 )1(f ≤ 0 suy ra f(1) = 2 1 Cho y = z = 1 , còn x tùy ý , chú ý rằng f(1) = 2 1 , ta có : 1 BÀI HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM 2 1 f(x) + 2 1 f(x) – f(x)f(1) ≥ 4 1 hay 2 1 f(x) ≥ 4 1 , f(x) ≥ 2 1 (2) Từ (1) và (2)suy ra f(x) = 2 1 với mọi số thực x. NX : Thử lại, ta thấy đúng. III a) Ta phải xét hai trường hợp tùy theo tâm O củu mặt cầu ngoại tiếp ở trong hoặc ở ngoài hình chóp. Ta có : SH = SO + OH (trường hợp O nằm ở trong ) Hoặc SH = SO - OH (trường hợp O nằm ở ngoài ) 1 b) Diện tích xung quanh của hình chóp là : Sxq = 2 2008a cos 2008 4sin 2008 π ÷ π 1 IV Để giài bài toán ta cần chứng minh (bằng pp qui nạp) : { } n n n j 1 n j 1 j 1 u , cos( u u ) 2 . cosu = ∀ ± ± ± = ∑ ∏ ª Với n = 1 : cos u 1 + cos (-u 1 ) = 2 cos u 1 n = 2 : cos(u 1 +u 2 ) + cos(u 1 - u 2 ) + cos(-u 1 +u 2 ) + cos(-u 1 - u 2 ) = 2 cos u 1 cosu 2 + 2 cos(- u 1 ) cosu 2 = 4 cos u 1 cosu 2 ª G/s bài toán đúng với n, khí đó : n 1 n 1 j j 1 2 . cosu + + = ∏ = 2( n n j j 1 2 . cosu = ∏ ) cos u n+1 = 2 1 1 n cos( u u ) ± ± ± ∑ cos u n+1 = 1 n n 1 cos( u u u ) + ± ± ± ± ∑ Trở lại đề bài, ta có : 2008 2008 j j 1 S 2 . cosu = = ∏ . Vì { } j u là cấp số cộng nên : u 2007 = u 1 + 2006 d = 2008 π + 2006 2.2008 π = 2 π Do đó : cos u 2007 = 0 . Vậy : S = 0 1 BÀI HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM V a) Ta có : (1 – sin2t) 2 = (1 – 2sintcost) 2 ³ 0 (1) hay 1 – 4sint cost + 4 sin 2 t cos 2 t ³ 0 Mặt khác : (1 + 2sintcost) 2 - 8 sintcost = (1 – 2 sint cost) 2 ³ 0 theo (1) hay (sint + cost) 4 ³ 8 sintcost (2) Do 0 £ t £ 2 p nên sint , cost ³ 0 Vậy từ (2) suy ra : 1 sin2t 2 + ³ sin2t Theo BĐT Cô-si . dấu bằng xãy ra khi và khi : sin2t = 1 , t = 4 p 1 b) Thay tan 2y = 2 2tany 1 tan y- ; cot 2y = 2 cot y 1 2cot y - và coty = 1 tany vào BĐT phải CM ta được : 2 4 2 2 tan y tan y 1 tan y + - - £ 2 (1) Nếu : tan 2 y < 1 thì tứ (1) : tan 2 y (3- tan 2 y) £ 0 (2) Do : 0 < y < p nên tan 2 y > 0 và từ (2) có : tan 2 y ³ 3 , không được Nếu : tan 2 y > 1 thì từ (1) có : tan 2 y (3- tan 2 y) ³ 0 , từ đó tan 2 y £ 3 Vậy với mọi y ta có : 1 < tan 2 y £ 3 , tức là 1 < tany £ 3 và giá trò của y phải tìm là : 4 p £ y £ 3 p và 2 3 p £ y £ 3 4 p 1 GV : NGUYỄN TRÍ HUỆ . SỞ GD -ĐT VĨNH LONG ĐỀ THAM KHẢO THI HS GIỎI TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG MÔN : TOÁN 12 THỜI GIAN : 180 PHÚT BÀI I : (2 ĐIỂM) Không giải phương trình. 4 1 BÀI III : (2 ĐIỂM) Gọi R và r là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp 2008 giác đều. a) Chứng minh rằng : R 1 1 r cos 2008 ≥ + π b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp có. 2 1 f(x) ≥ 4 1 , f(x) ≥ 2 1 (2) Từ (1) và (2)suy ra f(x) = 2 1 với mọi số thực x. NX : Thử lại, ta thấy đúng. III a) Ta phải xét hai trường hợp tùy theo tâm O củu mặt cầu ngoại tiếp