Đề thi thử Đại học môn Toán khối B, D năm 2013 - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán 12. Khối B − D Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm) Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số 3 2 3 4 y x x = − − + ( ) 1 1. Khả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố ( ) 1 . 2. V ớ i nh ữ ng giá tr ị nào c ủ a m thì đườ ng th ẳ ng n ố i hai c ự c tr ị đồ th ị c ủ a hàm s ố ( ) 1 ti ế p xúc v ớ i đườ ng tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 C x m y m − + − − = Câu II. (2,5 điểm) 1. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) 2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 x x x x + − + − = 2. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 2 2 3 2 8 12 2 12 0 x y x xy y + =   + + =  ( , ) x y ∈ ℝ Câu III. (1,0 điểm) Tìm gi ớ i h ạ n: 2 3 1 7 5 lim 1 x x x L x → + − − = − Câu IV. (1,0 điểm) Cho t ứ di ệ n ABCD có AD vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( ) ABC , 3 ; 2 ; 4 , AD a AB a AC a = = =  0 60 BAC = .G ọ i , H K l ầ n l ượ t là hình chi ế u vuông góc c ủ a B trên AC và CD . Đườ ng th ẳ ng HK c ắ t đườ ng th ẳ ng AD t ạ i E .Ch ứ ng minh r ằ ng BE vuông góc v ớ i CD và tính th ể tích kh ố i t ứ di ệ n BCDE theo a. Câu V. (1,0 điểm) Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a hàm s ố 2 1 4 1 2 x x y x x − − + = + − + PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ( 2;1) B − , đườ ng th ẳ ng ch ứ a c ạ nh AC có ph ươ ng trình: 2 1 0 x y + + = , đườ ng th ẳ ng ch ứ a trung tuy ế n AM có ph ươ ng trình: 3 2 3 0 x y + + = . Tính di ệ n tích c ủ a tam giác ABC . Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính t ổ ng: 0 1 2 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2 3 4 2013 S C C C C C = + + + + + B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxy , cho đ i ể m ( ) 1;0 E − và đườ ng tròn ( ) 2 2 : 8 4 16 0 C x y x y + − − − = . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua đ i ể m E c ắ t đườ ng tròn ( ) C theo dây cung MN có độ dài ng ắ n nh ấ t. Câu VIIb. (1,0 điểm) Đề chính thức ( Đề thi g ồ m 01 trang) www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Cho khai triển Niutơn ( ) 2 2 2 2 * 0 1 2 1 3 , n n n x a a x a x a x n − = + + + + ∈ ⋯ ℕ .Tính h ệ s ố 9 a bi ế t n tho ả mãn h ệ th ứ c: 2 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Hết ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán; Khối:B+ D (Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) 3 2 3 4 y x x = − − + + Tập xác định: D = ℝ + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 2 ' 3 6 , ' 0 0 x y x x y x = −  = − − = ⇔  =  Hàm s ố đã cho nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0; +∞ , đồng biến trên khoảng ( ) 2;0 − . 0,25 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại C (0) 0; 4 Đ x y y = = = Hàm số đạt cực tiểu tại CT ( 2) 2; 0 x y y − = − = = - Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ 0,25 - Bảng biến thiên: x −∞ -2 0 +∞ , y − 0 + 0 − y +∞ 0 4 −∞ 0,25 + Đồ thị 0,25 2. (1,0 điểm) I (2,0 điểm) Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu ( ) 2;0 A − ,cực đại ( ) 0;4 B .Phương trình đường 0,50 www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 th ẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( ) : 1 2 4 x y AB + = − ( ) :2 4 0 AB x y ⇔ − + = ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 C x m y m − + − − = có tâm ( ) ; 1 I m m + bán kính 5 R = Đườ ng th ẳ ng ( ) AB ti ế p xúc v ớ i đườ ng tròn ( ) ( ) ( ) ; C d I AB R ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 1 4 8 5 3 5 2 2 1 m m m m m − + + = −  ⇔ = ⇔ + = ⇔  =  + − 0,50 Đ áp s ố : 8 m = − hay 2 m = Câu II 1.( 1,25điểm) (2,5điểm ) Pt: ( ) ( ) 2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 x x x x + − + − = ( ) 2 2 3 1 sin 3cos 2 3 3sin 2sin cos 0 x x x x x ⇔ − + − + − = ( ) ( ) 3sin 3 2sin cos 3 2sin 0 x x x x − + − = 0,50 ( )( ) 3 2sin 0 3 2sin 3sin cos 0 3sin cos 0 x x x x x x  − = − + = ⇔  + =   0,25 2 3 3 sin 2 2 2 3 1 tan 3 6 x k x x k x x k π  = + π    =  π   ⇔ = + π   = −   π   = − + π   ( ) k ∈ Z 0,25 Phương trình có ba họ nghiệm 2 2 ; 2 ; 3 3 6 x k x k x k π π π = + π = + π = − + π ( ) k ∈ Z 0,25 2.( 1,25 điểm) H ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 2 3 2 8 12 * 2 12 0 ** x y x xy y + =    + + =   Th ế (*) vào (**) ta đượ c: ( ) 3 2 2 2 2 8 0 x xy x y y + + + = 0,25 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 8 2 0 2 2 4 0 x y xy x y x y x xy y xy ⇔ + + + = ⇔ + − + + = 0,25 Tr ườ ng h ợ p 1: 2 0 2 x y x y + = ⇔ = − th ế vào (*) ta đượ c 2 2 12 12 1 1 2 y y y x = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ∓ 0,25 www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 Trường hợp 2: 2 2 2 2 0 15 4 0 0 2 4 0 2 y y y x xy y x y x =     − + = ⇔ − + = ⇔    − =     0 x y ⇒ = = không thoả mãn (*) hệ vn 0,25 Đáp số: ( ) ( ) ( ) ; 2; 1 , 2;1 x y = − − 0,25 Câu III (1,0 điểm) 2 2 3 3 1 1 1 7 5 7 2 2 5 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x L x x x → → → + − − + − − − = = + − − − 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 1 3 3 2 5 7 2 lim lim 1 2 5 1 7 2 7 4 x x x x x x x x x → → − − + − = +   − + − − + + + +     0,25 ( ) ( ) 22 1 1 3 3 1 1 1 1 7 lim lim 12 2 12 2 5 7 2 7 4 x x x x x x → → + = + = + =   + − + + + +     0,25 Vậy : 7 12 L = 0,25 Câu IV (1,0 điểm) Vì ( ) ; BH AC BH AD BH ACD BH CD ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà ( ) BK CD CD BHK CD BE ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 T ừ gt ta có 0 2 2 1 1 3 sin60 8 2 3 2 2 2 ABC S AB AC a a ∆ = ⋅ ⋅ = = 0 1 cos60 2 . 2 AH AB a a = = = 0,25 Vì ( ) CD BHK CD KE AEH ACD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ ∆ ∼ do đ ó 4 4 13 3 3 3 3 AE AH AH AC a a a AE DE a AC AD AD ⋅ = ⇒ = = ⇒ = + = 0,25 3 2 . . 1 1 13 26 3 2 3 2 3 3 9 BCDE D ABC E ABC ABC a a V V V DE S a ∆ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 0,25 Câu V (1,0 điểm) 2 1 4 1 2 x x y x x − − + = + − + T ậ p xác đị nh c ủ a hàm s ố là [ ] 0;1 D = Đặ t cos 0; 2 1 sin x t t x t  = π      ∈          − =   0,25 Khi đ ó ( ) 2cos sin 4 cos sin 2 t t y f t t t − + = = + + v ớ i 0; 2 t π   ∈     0,25 www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 xét hàm số ( ) 2cos sin 4 cos sin 2 t t f t t t − + = + + với 0; 2 t π   ∈     ( ) ( ) ' 2 3 6cos 0 0; 2 sin cos 2 t f t t t t − − π   = < ∀ ∈   + +   v ậ y hàm s ố ( ) f t liên t ụ c và ngh ị ch bi ế n trên đ o ạ n 0; 2 π       0,25 do đ ó ( ) ( ) ( ) 0 0; 1 2 0; 2 2 2 f f t f t f t t π π π       ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈             giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a ( ) ( ) max 0 2 0 0 y f t f t x = = = ⇔ = ⇔ = giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a ( ) min 1 1 2 2 y f t f t x π π   = = = ⇔ = ⇔ =     0,25 câu VIA (1,0 điểm) Do : C dt ∈ 2 2 1 0 ( , 2 1) , 2 a x y C a a M a −   + + = ⇒ − − ⇒ −     : M dt ∈ 3 2 3 0 0 (0, 1) x y a C + + = ⇒ = ⇒ − . To ạ độ A là nghi ệ m h ệ 3 2 3 0 (1, 3) ( 1,2) 5 2 1 0 x y A AC AC x y + + =  ⇒ − ⇒ − ⇒ =  + + =   0,50 K ẻ ( ) BH AC H AC ⊥ ∈ 4 1 1 2 1 ( , ) . 1 2 5 5 ABC BH d B AC S AC BH − + + = = = ⇒ = = (dvdt). V ậ y 1 ABC S = (dvdt). 0,50 Câu 7A (1,0điểm ) 0 1 2 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2 3 4 2013 S C C C C C = + + + + + Ta có ( ) ( ) 1 2012 2012 2012 2012 2011 2012 2012! 1 2012 ! 2012 ! k k k k k k k C kC C k C C C k k − + = + = + = + − với 0,1,2, ,2012 k ∀ = 0,25 www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 ( ) ( ) 0 1 2011 0 1 2012 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012S C C C C C C= + + + + + + +⋯ ⋯ 0,25 ( ) ( ) 2011 2012 2011 2012 2012 2012 1 1 1 1 2012 2 2 1007 2 S = + + + = ⋅ + = ⋅ 0,25 Vậy 2012 1007 2 S = ⋅ 0,25 Câu VI B (1,0 điểm) Đường tròn ( ) C có bán kính 6 R = và tâm (4;2) I Khi đó: 29 6 , IE R = < = suy ra điểm E nằm trong hình tròn ( ) C . Giả sử đường thẳng ∆ đi qua E cắt ( ) C tại M và N . Kẻ IH ⊥ ∆ . Ta có ( , ) IH d I IE = ∆ ≤ . 0,50 Như vậy để MN ngắn nhất IH ⇔ dài nhất H E ⇔ ≡ ⇔ ∆ đi qua E và vuông góc với IE 0,25 Ta có (5;2) EI =  nên đường thẳng ∆ đi qua E và vuông góc với IE có phương trình là: 5( 1) 2 0 5 2 5 0 x y x y + + = ⇔ + + = . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 5 2 5 0 x y + + = . 0,25 Câu 7B (1,0 điểm ) …. ( ) 2 2 2 2 * 0 1 2 1 3 , n n n x a a x a x a x n − = + + + + ∈ ⋯ ℕ . Tính h ệ s ố 9 a bi ế t n tho ả mãn h ệ th ứ c: 2 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Điều kiện * , 3 n n ∈ ≥ ℕ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 14 1 4 28 1 ! ! 1 1 2 3 2! 2 ! 3! 3 ! GT n n n n n n n n n n n ⇔ + = ⇔ + = − − − − − 0,50 2 3 9 7 18 0 n n n n ≥  ⇔ ⇔ =  − − =  0,25 T ừ đ ó ( ) ( ) 18 18 2 18 0 1 3 1 3 k k k k k x C x = − = − ∑ Do đ ó h ệ s ố c ủ a 9 9 18 81 3 3938220 3 a C= − = − 0,25 Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết . www.mathvn.com 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012 -2 013 Môn: Toán 12. Khối B − D Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG. 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Hết ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 -2 013 Môn: Toán; Khối: B+ D (Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang) Câu Đáp. ( ) CD BHK CD KE AEH ACD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ ∆ ∼ do đ ó 4 4 13 3 3 3 3 AE AH AH AC a a a AE DE a AC AD AD ⋅ = ⇒ = = ⇒ = + = 0,25 3 2 . . 1 1 13 26 3 2 3 2 3 3 9 BCDE D ABC E ABC ABC a a V V V DE S