Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 2x 3 1 2cos 2 x . Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số y x3 3mx2 m 4 (1), m là tham số thực. a) Tìm m để đường thẳng y x m 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó C(0;1) . Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực 3 2 2 2 3 3 2 ( , ) 2 6 x x y x xy m x y x x y m a) Giải hệ khi m 2 . b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết HB HC a , 0 HBC 30 ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC . Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D; AB 2 AD, CD 3 AD . Đường thẳng BD có phương trình x 2 y 1 0 , đường thẳng AC đi qua điểm M4; 2 . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 0 a b c và a 2 b 2 c2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 3abc 201 4a b c .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi 25/10/2013 Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 3sin 2 3 1 2cosx x . Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 4 3 y x mx m (1), m là tham số thực. a) Tìm m để đường thẳng 4 y x m cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó (0; 1)C . Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực 3 2 2 2 3 3 2 ( , ) 2 6 x x y x xy m x y x x y m a) Giải hệ khi 2m . b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của .AM Biết HB HC a , 0 30HBC ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 0 60 . Tính theo a thể tích khối chóp .S HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC . Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D; 2 , 3AB AD CD AD . Đường thẳng BD có phương trình 2 1 0x y , đường thẳng AC đi qua điểm 4;2 M . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 0 a b c và 2 2 2 3a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 2014P abc a b c . ………. Hết………. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh…………………………. 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Phương trình tương đương: 3sin 2 3 1 1 cos 2x x . 1 3 3 cos2 sin 2 2 2 2 x x . 3 cos 2 3 2 x . 12 4 x k k x k Vậy phương trình có nghiệm là 12 x k hoặc ( ) 4 x k k . Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 4 4 3 x mx m x m . 2 0 3 1 0 (1) x x mx Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2 9 4 0 m 2 3 2 3 m m . Vậy các giá trị cần tìm của m là 2 3 m hoặc 2 3 m . 2 b) (1,0 điểm). Ta có 2 ' 3 6y x mx ; ' 0 0 y x hoặc 2x m . Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m (*) Các điểm cực trị của đồ thị là 4 4 3 0; ; 2 ; 4 A m B m m m . Suy ra 4 4 1 1 AC m m ; , 2C Oy d B AC m . Do đó 4 1 . , 1 2 ABC S AC d B AC m m ; 4 2 1 2 ABC S m m . Đặt 0m t ta được 5 4 3 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1t t t t t t t t Do đó 1 m (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy 1 m . Câu 3. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Với m=2 ta có hệ 3 2 2 2 2 2 3 3 4 ( )(3 ) 4 2 4 ( ) (3 ) 4 x x y x xy x x x y x x y x x x y Đặt 2 ;3 x x a x y b , ta có hệ: 4 2 4 ab a b a b . Giải hệ 4 4 ab a b ta được 2 a b . Suy ra 2 2 3 2 x x x y . Giải hệ ta được ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y . Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y . Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế. b) (1,0 điểm). Hệ tương đương 2 2 ( )(3 ) 2 ( ) (3 ) 6 x x x y m x x x y m Đặt 2 1 , ;3 4 x x a a x y b , ta có hệ: 2 6 ab m a b m 2 6 2 (6 ) 2 (1) 2 6 6 6 a a ab m a m a m m a a b m b m a b m a Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn 1 4 a . Xét hàm số 2 6 1 ( ) ; 2 4 a a f a a a . Ta có 2 2 4 12 '( ) ( 2) a a f a a . 3 Với 1 4 a thì '( ) 0 2 f a a . Bảng biến thiên: 2 ∞ - 25 28 + 0 +∞ 2 -1 4 f(a) f'(a) a Suy ra giá trị cần tìm của m là: 2 m . Câu 4. (2,0 điểm) 60° 30° S A B C K C B B' M H I Nội dung Điểm 2 0 1 3 . .sin120 2 4 HBC a S HB HC . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. Ta có 0 0 3 sin 30 .sin 60 2 4 a a AH HM HB AK AH . 4 Góc giữa (SHC) và (ABC) là 0 0 3 60 .tan 60 4 a SKA SA AK Vậy 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 4 16 S HBC HBC a a a V SA S . Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là '.BCB Gọi I là hình chiếu của A trên SK ( )AI SHC . Ta có ' ( ,( )) 2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2BB d B SHC d M SHC d A SHC AI . Trong tam giác vuông SAK, ta có 2 2 2 . 3 3 2 3 3 . ' . 16 8 4 3 AK AS a a a AI BB a AK AS Do đó 0 ' 3 3 3 sin ' 4.2 8. .cos30 4 BB a a BCB BC BM HB . Vậy 3 13 cos ' 1 . 16 4 BCB Câu 5 (1,0 điểm) Nội dung Điểm H 1 1 E I A D B C Gọi I AC BD , H là hình chiếu của B trên CD. Ta có 0 1 1 1 1 1 1 1 1 tan tan 2 3 tan tan 1 45 1 1 1 tan tan 1 . 2 3 D C AID D C AID D C . Đường thẳng AC có dạng: 2 2 ( 4) ( 2) 0 4 2 0 ( 0) a x b y ax by a b a b . Góc giữa AC và BD bằng 0 45 nên 0 2 2 2 2 2 cos45 3 8 3 0 . 5 a b a ab b a b Chọn b=1 ta được 1 ; 3 3 a a . Từ đó suy ra phương trình AC là 3 10 0 x y hoặc 3 10 0 x y . Gọi E BH AC , ta có 3 2 2 BE AB IA AD EH CH IE BE . Ta có 2 3 . 10 2 2 ABCD AD AD AD S AD . Từ đó tìm được 4 10 5 AI . 5 * Nếu : 3 10 0 AC x y , suy ra 17 11 ; 5 5 I . Gọi 10 3 ;A t t thì từ 4 10 5 AI ta có 2 2 17 11 32 7 10 3 3; 5 5 5 5 t t t t . Suy ra 29 7 1;3 ; ; 5 5 A A Do 2 1;3 A x A . * Nếu :3 10 0 AC x y , suy ra 21 13 ; 5 5 I . Gọi ;3 10 A t t thì từ 4 10 5 AI ta có 2 2 21 13 32 17 3 10 5; 5 5 5 5 t t t t (không thỏa mãn 2 A x t ). Vậy điểm A cần tìm là 1;3 A . Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh 2AD thì cho 0,25 điểm. Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 a b c a b a c b c a b c a a a Suy ra 2 3 2bc a a . 2 2 2 2 2 2 3 9 3 3 2013 3 3 3 2 2013 3. a b c a b c a b c P abc a a a a Xét hàm 2 2 ( ) 3 3 2 2013 3; 0;1 f a a a a a . Ta có 2 2 2 2 2 2 18 1 2 '( ) 3 2 3 2 . 2013 2013 18 1 2013 3 2 3 2 a a a f a a a a a a a a . Ta có 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 1 .2 1 1 2 2 3 27 a a a a a a a a Suy ra 2 2 1 3 3 a a 2 '( ) 18. 2013 4 3 2013 0 3 3 f a . Suy ra ( )f a nghịch biến trên đoạn 0;1 . Do đó ( ) (1) 2013 f a f . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi 1a b c . ………. Hết………. . TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi 25/10/2013 Câu. …………………………………Số báo danh…………………………. 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu. giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp