Câu 1 (2,5 điểm). Cho trước số thực a 0 và cho dãy số thực xn xác định bởi x1 a và xn1 17 16xn với mọi n 1 . Chứng minh rằng với mọi a 0 dãy xn có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Câu 2 (1,5 điểm). Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x2 y2 z2 1 . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 6 2 2 2 x y y z x z . Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình x2 y y 2 x 2 x y3 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB AC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O, đường thẳng OT cắt đường thẳng BD tại điểm E. a) Chứng minh rằng AE song song với CD. b) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AT tại F. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt EO tại điểm G khác E. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên (O). Câu 5 (1,5 điểm). Một số nguyên dương k được gọi là đẹp nếu có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành k tập hợp A1, A2,..., Ak sao cho với mỗi số nguyên dương n 15 và với mọi i 1; 2;...; k đều tồn tại hai số thuộc tập Ai có tổng là n. a) Chứng minh rằng k 3 là đẹp. b) Chứng minh rằng mọi k 4 đều không đẹp.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT CHUYÊN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi 25/10/2013 Câu 1 (2,5 điểm). Cho trước số thực 0a và cho dãy số thực n x xác định bởi 1 x a và 1 17 16 n n x x với mọi 1n . Chứng minh rằng với mọi 0a dãy n x có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Câu 2 (1,5 điểm). Cho ba số , ,x y z không âm thỏa mãn 2 2 2 1 x y z . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 6 2 2 2 x y y z x z . Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số tự nhiên ,x y thỏa mãn phương trình 3 2 2 2 x y y x x y . Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB AC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O, đường thẳng OT cắt đường thẳng BD tại điểm E. a) Chứng minh rằng AE song song với CD. b) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AT tại F. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt EO tại điểm G khác E. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên (O). Câu 5 (1,5 điểm). Một số nguyên dương k được gọi là "đẹp" nếu có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành k tập hợp 1 2 , , , k A A A sao cho với mỗi số nguyên dương 15n và với mọi 1;2; ;i k đều tồn tại hai số thuộc tập i A có tổng là n. a) Chứng minh rằng 3k là đẹp. b) Chứng minh rằng mọi 4k đều không đẹp. ………. Hết………. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh…………………. 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung Điểm Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được 0 . n x n Xét hàm 17 16 , 0. f x x x Ta có 8 0 0 17 16 f x x x , do đó hàm số f x đồng biến trên (0; ) , suy ra dãy n x đơn điệu. Xét hàm , 0 g x f x x x ta thấy 2 17 1 17 16 17 16 17 16 x x x x g x x x x x suy ra 0 17 g x x và 0 0 17; 0 17 g x x g x x . * Nếu 17 a thì 17 1 n x n , do đó dãy n x hội tụ và lim 17. n n x * Nếu 0 17 a thì 2 1 x f a a x suy ra n x đơn điệu tăng. Dễ thấy n x bị chặn trên bởi 17. Suy ra dãy hội tụ về mà 0, g do đó lim 17. n n x * Nếu 17 a thì 2 1 x f a a x suy ra n x đơn điệu giảm. Dễ thấy dãy n x bị chặn dưới bởi 17, tương tự dãy hội tụ và lim 17. n n x Kết luận: Với mọi 0 a thì dãy hội tụ và lim 17. n n x Câu 2. (1,5 điểm) Nội dung Điểm Bình phương hai vế của BĐT cần chứng minh ta được BĐT tương đương: 2 2 2 2 2 3 2 1 . 1 6 2 2 2 2 2 cyc x y y z x z x y y z . 2 2 2 7 1 . 1 2 2 4 4 cyc x y y z xy yz zx (*). Ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 1 1 2 2 2 4 2 x y x y z x y x y z . Tương tự 2 2 2 ( ) 1 1 2 4 2 y z y z x . Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 1 . 1 . 2 2 4 2 4 2 ( 1)( 1) ( )( ) ( )( ) 1 4 2 4 2 1 4 2 x y y z x y z y z x x z x y z y x y z y xz y xz yz xy xz Cộng theo vế các BĐT tương tự ta được: 2 2 2 2 2 ( ) 3 1 . 1 2 2 4 2 cyc x y y z x y z xy yz zx xy yz zx . Hay 2 2 7 ( ) 1 . 1 2 2 4 4 cyc x y y z xy yz zx . Vậy (*) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 x y z . Câu 3. (1,5 điểm) Nội dung Điểm 3 2 2 2 x y y x x y (1) Nếu 0 x thì 0 y và ngược lại. Ta xét x,y nguyên dương. Từ (1) suy ra x y . Biến đổi (1): 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 8 8 x y y x x y x y y x x y y x x y Mà 2 2 1 x y y x x y x y nên ta được: 2 2 2 2 2 8 1 x y y x x y x y x y Do đó 2 8 1 x y x y là số chính phương. Ta có 2 2 2 1 8 1 3 x y x y x y x y (2) Mặt khác từ (1) suy ra x,y cùng tính chẵn lẻ. Kết hợp với (2) và 2 8 1 x y x y lẻ suy ra 2 2 8 1 1 3x y x y x y x y . 3 Khi đó 2 2 3 3 27x y y x x y và 3 3 2 16x y y , mâu thuẫn với (1). Vậy (1) có nghiệm duy nhất ; 0;0 x y . Câu 4. (3,0 điểm). Nội dung Điểm D M E B O A C T a) (2,0 điểm). Gọi M là trung điểm của BC thì OM BC , mà OA AT suy ra tứ giác AOMT nội tiếp, suy ra AOT AMT EOD AMC . Kết hợp với BDA ACB , suy ra AMC EOD . Mà M là trung điểm BC, O là trung điểm AD ta suy ra ABC EAD ABC EAD . Mà ABC ADC , suy ra EAD ADC ||AE CD (đpcm). D I G F M E B O A C T b) (1,0 điểm). Từ phần a) ta có FAE DAC FGE DBC FBT , suy ra tứ giác FGBT nội tiếp. Từ đó TGB TFB EGA . Do đó GO là phân giác của góc AGB . Mặt khác OA OB suy ra O là giao điểm của phân giác trong góc AGB và trung trực của AB. Do đó tứ giác AGBO nội tiếp. 4 Gọi I là giao điểm của đoạn GO với (O). Do OA OB OI nên ta suy ra ngay I chính là tâm nội tiếp tam giác AGB, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. (1,5 điểm) Nội dung Điểm a) (0,5 điểm ) . Với 3 k ta chỉ ra một cách phân hoạch tập thành 3 tập 1 2 3 , ,A A A thỏa mãn như sau: 1 1;2;3 3 | 4 A m m ; 2 4;5;6 3 1| 4 A m m ; 3 7;8;9 3 2 | 4 A m m . Vậy 3 k là đẹp. b) (1,0 điểm ) . Xét 4 k . Giả sử tồn tại cách chia thành k tập 1 2 , , , k A A A thỏa mãn đề bài. Khi đó cách phân hoạch thành 4 tập 1 2 3 , ,A A A và 4 5 k A A A cũng thỏa mãn đề bài. Do vậy chỉ cần xét với 4 k là đủ. Đặt 1;2;3; ;23 i i B A với 1,2,3,4 i . Ta thấy mỗi số thuộc tập 15;16;17; ;24 (gồm 10 số) đều viết được thành tổng của hai số thuộc tập i B (với mọi 1,2,3,4 i ). Như vậy nếu i B m thì số tổng là 2 10 5 m C m . Vậy mỗi tập i B đều có ít nhất 5 phần tử. Mà 1 2 3 4 23 B B B B nên không thể xảy ra 6, 1,2,3,4 i B i Do đó phải tồn tại một tập i B sao cho 5 i B . Giả sử 1 2 3 4 5 ; ; ; ; i B a a a a a . Khi đó ;1 5 15;16;17; ;24 i j a a i j . Suy ra 1 5 15 16 24 i j i j a a , hay 1 2 3 4 5 4 195 a a a a a , vô lí. Vậy mọi 4 k đều không đẹp. ………. Hết………. . Điểm 3 2 2 2 x y y x x y (1) Nếu 0 x thì 0 y và ngược lại. Ta xét x,y nguyên dương. Từ (1) suy ra x y . Biến đổi (1): 2 2 3 3 2 2 2 2. sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị. gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi 25/10/2013 Câu 1 (2,5 điểm). Cho trước số thực 0a và cho dãy số thực n x xác định bởi 1 x a và 1 17 16 n n x x với mọi