Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 30/50 Ngày thi : 22/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;-1). Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho số thực a thoả mãn cos 4a = 1 3 . Tính giá trị biểu thức M = sin 6 a + cos 6 a + 1 4 . b) Tính môđun của số phức z thoả mãn z 2 + 2z − 1 = 0 . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 1 2 log 2 (x + 3)+ 1 = 3log 8 (8x) . Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (x + 1)(y + 1)(xy + 4) = 20 2( x + y) 2 = xy + 12 − x 2 y 2 + 24xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (x, y ∈!) . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x(1+ sin x) cos 2 x dx 0 π 4 ∫ . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 4a, AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm E thuộc đoạn AB thoả mãn AB = 4AE,SE = a 3,SD = 2a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1;3). Một đường thẳng d đi qua A, gọi B,C là giao điểm của d và đường tròn (C). Lập phương trình đường thẳng d sao cho AB + AC nhỏ nhất. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 10x − 2y − 6z + 10 = 0 . Chứng minh (S) và (P) không có điểm chung. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm N thoả mãn MN = 11 . Câu 9 (0,5 điểm). Cho A = (x − 1 x 2 ) 20 + (x 3 − 1 x ) 10 . Hỏi sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A dưới dạng đa thức thì A gồm bao nhiêu số hạng? Câu 10 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn min a;b;c { } ≤ 1 4 và a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + (b − c) 2 2 + b + (c − a) 2 2 + c + (a − b) 2 2 . HẾT Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 2 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;-1). 1. Học sinh tự giải. 2. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, đi qua điểm M(0;-1), phương trình tiếp tuyến là: y = kx − 1 . +) Ta có hệ phương trình: x 4 − 2x 2 −1 = kx −1 4x 3 − 4x = k ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ x 4 − 2x 2 = (4x 3 − 4x) x k = 4 x 3 − 4x ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ . ! ⇔ 3x 4 − 2x 2 = 0 k = 4 x 3 − 4x ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ x 2 (3x 2 − 2) = 0 k = 4 x 3 − 4x ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ x = 0, k = 0 x = − 6 3 , k = 4 6 9 x = 6 3 , k = − 4 6 9 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ !.! +) Nếu k = 0 , tiếp tuyến là y = −1 . +) Nếu k = 4 6 9 , tiếp tuyến là y = 4 6 9 x − 1 . +) Nếu k = − 4 6 9 , tiếp tuyến là y = − 4 6 9 x − 1 . Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho số thực a thoả mãn cos 4a = 1 3 . Tính giá trị biểu thức M = sin 6 a + cos 6 a + 1 4 . b) Tính môđun của số phức z thoả mãn z 2 + 2z − 1 = 0 . a) Ta có: M = 1− 3 4 sin 2 2a + 1 4 = 1− 3 8 (1 − cos 4a) + 1 4 = 7 + 3cos 4a 8 = 1 . b) Theo bài ra, ta có: (z + 1) 2 = 2 ⇒ z = −1± 2i ⇒ z = 1 2 + ( 2) 2 = 3 . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 1 2 log 2 (x + 3) + 1 = 3log 8 (8x) . Điều kiện: x > 0 . Phương trình tương đương với: log 2 (x + 3) + 1 = log 2 (8x) ⇔ log 2 2(x + 3) [ ] = log 2 (8x) ⇔ 2(x + 3) = 8x ⇔ x = 1(t / m) . Vậy phương trình có nghiệm x = 1 . Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (x + 1)(y + 1)(xy + 4) = 20 2( x + y) 2 = xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (x, y ∈!) . Điều kiện: x, y ≥ 0 . Hệ phương trình tương đương với: x + y + xy + 1 = 20 xy + 4 2(x + y + 2 xy) = xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ x + y = 20 xy + 4 − xy −1 x + y = xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy 2 − 2 xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 3 20 xy + 4 − xy − 1 = xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy 2 − 2 xy ⇔ ( xy −1) 2 = 20 xy + 4 − xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy 2 ⇔ ( xy − 1) 2 = x 2 y 2 + 24 xy 2 + 20 xy + 4 − xy + 12 2 . Suy ra: VP = x 2 y 2 + 24 xy 2 + 20 xy + 4 − xy + 12 2 ≥ 0 . Đặt t = xy ≥ 0 , suy ra: t 2 + 24t + 40 t + 4 − (t +12) ≥ 0 . ! ⇔ t 2 + 24t ≥ t + 12 − 40 t + 4 ⇔ t 2 + 24t ≥ (t + 12 − 40 t + 4 ) 2 ⇔ − 64(t − 1) 2 (t + 4) 2 ≥ 0 ⇔ t = 1 !.! Do đó xy = 1 ⇒ x + y = 2 xy = 1 ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ x = 1 y = 1 ⎧ ⎨ ⎩ . Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1;1) . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x(1+ sin x) cos 2 x dx 0 π 4 ∫ . +) Đặt u = x dv = 1 + sin x cos 2 x dx ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ du = dx v = tan x + 1 cos x ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ . +) Suy ra: I = x(tan x + 1 cos x ) π 3 0 − (tan x + 1 cos x )dx 0 π 3 ∫ = (2 + 3) 3 π − K . +) Tính K = (tan x + 1 cos x )dx 0 π 3 ∫ . K = sin x cos x dx 0 π 3 ∫ + cos x 1− sin 2 x dx 0 π 3 ∫ = − d(cos x) cos x 0 π 3 ∫ + d(sin x) 1− sin 2 x 0 π 3 ∫ = (− ln cos x + 1 2 ln sin x + 1 sin x −1 ) π 3 0 = − ln(1− 3 2 ) . Kết luận: Vậy I = 2 + 3 3 π + ln(1− 3 2 ) . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 4a, AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm E thuộc đoạn AB thoả mãn AB = 4AE,SE = a 3,SD = 2a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC. Tam giác vuông SDE có: DE = SD 2 − SE 2 = 8a 2 − 3a 2 = a 5 . Tam giác ADE có AD 2 + AE 2 = DE 2 = 5a 2 nên vuông tại A. Do đó ABCD là hình chữ nhật. V S.ABCD = 1 3 SE.S ABCD = 1 3 .a 3.4a.2a = 8a 3 3 3 (đvtt). Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 4 +) Dựng hình bình hành BDCF ta có BD//CF suy ra BD//(SCF). Ta có: d(BD;SC) = d(BD;(SCF)) = d(B;(SCF )) = BF EF .d(E;(SCF )) = 4 7 d(E;(SCF)) . +) Kẻ EH vuông góc với CF tại H và EK vuông góc với SH tại K ta có EK ⊥ (SCF) và EK = d(E;(SCF)) . Tam giác vuông EHF có cos EFH ! = cos BDC ! = CD BD = 4a 16a 2 + 4a 2 = 2 5 . Vì vậy EH = EF.sin EFH ! = 7a. 1 5 = 7a 5 . Tam giác vuông SHE có: 1 EK 2 = 1 SH 2 + 1 EH 2 = 1 3a 2 + 5 49a 2 ⇒ EK = 7a 3 8 . Do đó d(BD;SC) = 4 7 . 7a 3 8 = a 3 2 . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1;3). Một đường thẳng d đi qua A, gọi B,C là giao điểm của d và đường tròn (C). Lập phương trình đường thẳng d sao cho AB + AC nhỏ nhất. +) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 2 . +) Giả sử AC ≥ AB , và gọi D là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A. Xét tam giác ACD và ADB có: A ! (chung);C ! = D ! (cung chan BD " ) . Suy ra tam giác ACD đồng dạng với tam giác ADB. Do đó: AB AD = AD AC ⇒ AB.AC = AD 2 = AI 2 − ID 2 = 16 . +) Ta có: AB + AC ≥ 2 AB.AC = 2 16 = 8 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB = AC ⇔ B ≡ C ⇒ d là tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn (C). +) Đường thẳng d có dạng: a(x − 1) + b(y − 3) = 0,a 2 + b 2 > 0 . Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I;d) = R ⇔ 2a − 4b a 2 + b 2 = 2 ⇔ (a − 2b) 2 = a 2 + b 2 ⇔ 3b 2 − 4ab = 0 ⇔ b = 0 4a = 3b ⎡ ⎣ ⎢ . Từ đó có hai đường thẳng cần tìm là x − 1 = 0;3x + 4 y − 15 = 0 . Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 10x − 2y − 6z + 10 = 0 . Chứng minh (S) và (P) không có điểm chung. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm N thoả mãn MN = 11 . +) Mặt cầu (S) có tâm I(5;1;3) và bán kính R = 5 , Ta có: d(I;(P)) = 5 + 2.1+ 2.3+ 5 1 2 + 2 2 + 2 2 = 6 > R nên (S) và (P) không có điểm chung. +) Do MN tiếp xúc với (S) nên IN vuông góc với MN hay tam giác IMN vuông tại N, ta có: IM 2 = IN 2 + MN 2 = 5 2 + 11 = 36 ⇒ IM = 6 = d(I;(P)) . Do đó M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). +) Đường thẳng IM vuông góc với (P) nên nhận (1;2;2) làm vtcp nên có pt là: x = 5 + t y = 1 + 2t z = 3 + 2t ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ . Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 5 Thay x,y,z từ phương trình của IM và phương trình của (P) ta được: (5 + t ) + 2(1+ 2t ) + 2(3 + 2t ) + 5 = 0 ⇔ 9t +18 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ M (3;−3;−1) . Kết luận: Vậy M(3;-3;-1). Câu 9 (0,5 điểm). Cho A = (x − 1 x 2 ) 20 + (x 3 − 1 x ) 10 . Hỏi sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A dưới dạng đa thức thì A gồm bao nhiêu số hạng? Ta có: A = C 20 k x 20−k .(−x −2 ) k k=0 20 ∑ + C 10 n x 3(10−n ) .(−x −1 ) n n= 0 10 ∑ = C 20 k (−1) k .x 20−3k k=0 20 ∑ + C 10 n (−1) n .x 30−4 n n= 0 10 ∑ . +) Ta tìm các số hạng mà luỹ thừa của x giống nhau: 20 − 3k = 30 − 4n 0 ≤ k ≤ 20 0 ≤ n ≤ 10 n, k ∈! ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ 4n − 3k = 10 0 ≤ k ≤ 20 0 ≤ n ≤ 10 n, k ∈! ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ n = 4 n = 7 n = 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ . Vậy 2 biểu thức trong A có 3 số hạng giống nhau, suy ra số các số hạng của A sau khi rút gọn thành đa thức là 21 + 11− 3 = 29 số hạng. Bình luận. Chú ý khai triển (a + b) n có tất cả n+1 số hạng. Câu 10 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn min a;b;c { } ≤ 1 4 và a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + (b − c) 2 2 + b + (c − a) 2 2 + c + (a − b) 2 2 . Không mất tính tổng quát giả sử c = min a,b,c { } ⇒ c ≤ 1 4 ⇒ 3c ≤ a + b . Ta dồn biến về hai biến bằng nhau a = b = a + b 2 , ta chứng minh. a + (b − c) 2 2 + b + (c − a) 2 2 ≥ 2(a + b) + (a + b − 2c) 2 2 . Thật vậy bất đẳng thức tương đương với: 2a + (b − c) 2 . 2b + (c − a) 2 ≥ a + b + (c − a)(c − b) ⇔ (2a + (b − c) 2 )(2b + (c − a) 2 ) ≥ (a + b + (c − a)(c − b)) 2 ⇔ (a − b) 2 (2a + 2b − 2c − 1) ≥ 0 ⇔ (a − b) 2 (a + b − 3c) ≥ 0 . Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Do!đó! P ≥ 2(a + b) + (a + b − 2c) 2 2 + c + (a − b) 2 2 ≥ c + 2(1− c) + (1 − 3c) 2 2 = c + 9c 2 − 10c + 5 2 ≥ 10 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c = 0 a = b a + b + c = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇔ a = b = 1 2 c = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 10 2 . . 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 30/50 Ngày thi : 22/04 /2015 Thời gian làm bài:. gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ. ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 2 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ